江苏省扬州中学2013届高三年级周练数学试卷2012 11页

江苏省扬州中学高三年级周练数学试卷 ‎ 2012.12.22‎ 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案直接写在答题纸上)‎ ‎1．集合，，若，则实数的值为 ．‎ ‎2．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的，则中间一组的频数为 . ‎ ‎3. 从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_________。 ‎ ‎4．曲线在点（1，2）处的切线方程是 ． ‎ ‎5.在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：垂直，则实数 ．‎ ‎6．设向量a，b满足：，，则 ． ‎ ‎7．正方体中，，是的中点，则四棱锥的体积为______ _______． ‎ ‎8.已知锐角的终边经过点,则 . ‎ ‎9. 观察下列不等式：≥，≥ ，‎ ‎≥，…，由此猜测第个不等式为 ．（）‎ ‎10．将正偶数按如图所示的规律排列：‎ ‎2‎ ‎4 6‎ ‎8 10 12‎ ‎14 16 18 20‎ ‎……‎ 则第n（n≥4）行从左向右的第4个数为 ． ‎ ‎11.P是椭圆上的一点，F是椭圆左焦点，且，则点P到左准线的距离 。‎ ‎12．在斜三角形中，角所对的边分别为，若，则 ‎ ． ‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数，使得=，则的取值范围是 ． ‎ ‎14．已知正方形的中心在原点，四个顶点都在函数图象上．若正方形唯一确定，则的值为 ． ‎ 二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ 在△中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎20070316‎ ‎（2）设取最小值时，求值.‎ ‎16． (本小题满分14分)‎ D ‎ C B ‎ A E ‎ P ‎（第16题图）目 如图，在四棱锥中，∥，，，⊥，⊥，为的中点．‎ ‎ 求证：（1）∥平面；‎ ‎（2）⊥平面．‎ ‎17.（本题满分15分）‎ 扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.‎ ‎⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；‎ ‎⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？‎ ‎⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.‎ ‎18.（本小题满分15分）‎ 已知半椭圆和半圆组成曲线，其中；如图，半椭圆内切于矩形，且交轴于点，点是半圆上异于的任意一点，当点位于点时，的面积最大。‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）连、交分别于点，求证：为定值。‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ ‎ 已知函数（，实数，为常数）．‎ ‎（1）若（），且函数在上的最小值为0，求的值；‎ ‎（2）若对于任意的实数，，函数在区间上总是减函数，对每个给定的n，求的最大值h(n)．‎ ‎ ‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ 已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列．‎ ‎（1）若数列的前项和为,且,,求整数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；‎ ‎（3）若（其中，且（）是（）的约数），‎ 求证：数列中每一项都是数列中的项.‎ ‎ 考试号________________ 学号_____ 班级___________ 姓名_____________ ‎ ‎………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………‎ 数学附加题试卷 ‎1. 已知矩阵 ‎(1)计算；‎ ‎(2) 若矩阵把直线：+2=0变为直线，求直线的方程．‎ ‎2.已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．‎ ‎3. 一个袋中装有黑球，白球和红球共n()个，这些球除颜色外完全相同．‎ 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球． ‎ ‎（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望；‎ ‎（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?‎ ‎4. 设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，．‎ ‎（1）当a∈（－∞，－2）时，求证：M；‎ ‎（2）当a∈（0，］时，求证：a∈M；‎ ‎（3）当a∈（，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．‎ 答案 ‎1. 2. 50 3. 4. 5.2 6.2 7. 8. ‎ ‎9. 10. ‎ ‎11. 12. 3 13. 14. ‎ ‎15.（1），所以 7分 ‎（2）‎ 所以时取最小值，，‎ F P E A B C D ‎16.证明：（1）取中点，连结，，∵为中点，∴∥且=．‎ ‎∵∥且，∴∥且=．‎ ‎∴四边形为平行四边形． ∴∥．‎ ‎ ∵平面，平面，∴∥平面. ‎ ‎（2）∵⊥，⊥，，∴平面．∵平面，∴．∵，为的中点，∴．‎ ‎∵，∴⊥平面. ‎ ‎17．解：⑴，其中，， ‎ ‎∴ ，得， 由，得 ‎∴； --------------------6分 ‎⑵得∵ ∴腰长的范围是 ------10分 ‎⑶，当并且仅当，即 时等号成立．∴外周长的最小值为米，此时腰长为米。 ------15分 ‎18．解：（1）已知点在半圆上，所以，又，所以， （2分）当半圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最大，此时的面积取得最大值，故半圆在点处的切线与直线平行，所以，又，所以，又，所以，（4分）所以曲线的方程为或。 （6分）‎ ‎（2）点，点，设，则有直线的方程为，令，得，所以； （9分）‎ 直线的方程为，令，得，所以； （12分）则，‎ 又由，得，代入上式得 ‎，所以为定值。 15分 ‎20．解：（1）当时，．‎ 则．‎ 令，得（舍），．…………………3分 ‎ ①当>1时，‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎∴当时, ．令，得． ……………5分 ‎②当时，≥0在上恒成立，在上为增函数，当时, ．令，得（舍）． 综上所述，所求为．……7分 ‎(2) ∵对于任意的实数，，在区间上总是减函数，则对于x∈，0， ……9分 设g(x)=，∵，∴g(x)在区间[1,3]上恒成立．由g(x)二次项系数为正，得 ‎ 即 亦即 ……12分 ‎∵ =，‎ ‎∴ 当n＜6时，m≤，当n≥6时，m≤，…14分 ‎∴ 当n＜6时，h(n)= ，当n≥6时，h(n)= ，‎ ‎ 即 …………16分 ‎20.解：（1）由题意知，，所以由，‎ ‎…3分。解得，又为整数，所以…………………………5分 ‎（2）假设数列中存在一项，满足，‎ 因为，∴（*）……8分 ‎ 又=，所以，此与（*）式矛盾. 所以，这要的项不存在……11分 ‎（3）由，得，则 ………12分 ‎ 又，‎ ‎ 从而，因为，所以，，‎ 故. 又,且（）是（）的约数,所以是整数,且…14分 对于数列中任一项（这里只要讨论的情形），‎ 有 ‎，‎ 由于是正整数，所以一定是数列的项……16分 附加答案 ‎1. 解: (Ⅰ)= ； ………………4分 ‎(Ⅱ) 任取直线上一点（，）经矩阵变换后为点， ‎ 则， ‎ ‎∴ 代入+2=0得：‎ ‎∴∴直线的方程为． ……………10分 ‎2.解：曲线的直角坐标方程，曲线的直角坐标方程是抛物线，…4分 设，，将这两个方程联立，消去，‎ 得，． ‎ ‎．‎ ‎∴，．………………………………………………………10分 ‎3.解：（1）设袋中黑球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则．‎ ‎∴．…1分，设袋中白球的个数为(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则，∴， ∴或(舍)． ‎ ‎ ∴红球的个数为(个)．………3分 ‎∴随机变量的取值为0，1，2，分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望． …………6分 ‎（2）设袋中有黑球个，则…）．‎ 设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，‎ 则， …………………………………8分 当时，最大，最大值为．…………………………………10分 ‎4.证明：（1）如果，则，．……2分 ‎（2） 当 时，（）．‎ 事实上，当时，． ‎ 假设时成立（），则时 由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤＜2，所以a∈M．…………………………6分 ‎ （3） 当时，．证明如下：对于任意，，且．‎ 对于任意，， 则．所以，．‎ 当时，，即，因此．…………10分