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- 2021-06-25 发布
2017-2018学年天津市滨海新区大港八中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）
一、填空题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0与l2：2x+（m+5）y﹣8=0平行，则m的值为（ ）
A．﹣7 B．﹣1或﹣7 C．﹣6 D．
3．（5分）两直线3x﹣2y﹣1=0与3x﹣2y+1=0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（5分）圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
5．（5分）圆心在x轴上，半径长为 ，且过点（﹣2，1）的圆的方程为（ ）
A．（x+1）2+y2=2 B．x2+（y+2）2=2
C．（x+3）2+y2=2 D．（x+1）2+y2=2或（x+3）2+y2=2
6．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（ ）
A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣15
7．（5分）设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l⊂α，则l∥β；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）已知两点A（﹣1，2），B（2，1），直线l：3x﹣my﹣m=0与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[﹣3，+∞） B．[1，+∞） C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．（5分）在直角坐标系中，直线3x﹣的倾斜角是 ．
10．（5分）圆O1：x2+y2+6x﹣7=0与圆O2：x2+y2+6y﹣27=0的位置关系是 ．
11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为 ．
12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
13．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为2，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为 ．
14．（5分）不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题有4小题，共50分）
15．已知直线过点P（2，1）．
（1）若直线与3x﹣2y+4=0平行，求直线的方程．
（2）若直线与3x﹣2y+4=0垂直，求直线的方程．
（3）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．
17．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4及圆内一点P（2，5）．
（Ⅰ）求过P点且弦长最短的弦所在直线方程；
（Ⅱ）求过点M（5，0）与圆C相切的直线方程．
18．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与BC所成的角是60°．
2017-2018学年天津市滨海新区大港八中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，根据tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函数值得到直线l的斜率即可．
【解答】解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，
所以直线l的斜率k=tan120°=tan（180°﹣60°）=﹣tan60°=﹣．
故选B
【点评】此题比较简单，要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，以及灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值进行化简求值．
2．（5分）若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0与l2：2x+（m+5）y﹣8=0平行，则m的值为（ ）
A．﹣7 B．﹣1或﹣7 C．﹣6 D．
【分析】直线l1的斜率一定存在，为，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，
利用它们的斜率相等解出m的值．
【解答】解：直线l1的斜率一定存在，为，但当m=﹣5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．
当m≠﹣5时，l2的斜率存在且等于，由两直线平行，斜率相等得 =，
解得m=﹣1 或﹣7．
当m=﹣1时，两直线重合，故不满足条件；经检验，m=﹣7满足条件，
故选A．
【点评】本题考查两直线平行的条件，两直线平行时，它们的斜率相等或者都不存在．
3．（5分）两直线3x﹣2y﹣1=0与3x﹣2y+1=0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式求得平行直线3x﹣2y﹣1=0与3x﹣2y+1=0之间的距离．
【解答】解：平行直线3x﹣2y﹣1=0与3x﹣2y+1=0之间的距离是=，
故选：B．
【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，属于基础题．
4．（5分）圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】先将圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0转化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，明确圆心和半径，再求得圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为标准形式：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
∴圆心为（1，1），半径为1
圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，
则所求距离最大为，
故选B．
【点评】
本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径．
5．（5分）圆心在x轴上，半径长为 ，且过点（﹣2，1）的圆的方程为（ ）
A．（x+1）2+y2=2 B．x2+（y+2）2=2
C．（x+3）2+y2=2 D．（x+1）2+y2=2或（x+3）2+y2=2
【分析】设圆心坐标为（a，0），则由题意知=，解得a，即可求出圆的方程．
【解答】解：设圆心坐标为（a，0），则由题意知=，解得a=﹣1或a=﹣3，
故圆的方程为（x+1）2+y2=2或（x+3）2+y2=2．
故选：D．
【点评】本题考查圆的方程，考查方程思想，比较基础．
6．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（ ）
A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣15
【分析】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出．
【解答】解：∵⊥，
∴=3+5﹣2Z=0，解得z=4．
∴．
∵BP⊥平面ABC，
∴，．
∴化为，
解得．
∴，，z=4．
故选：B．
【点评】本题考查了数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理，属于中档题．
7．（5分）设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l⊂α，则l∥β；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由空间中面面平面关系的判定方法，线面平等的判定方法及线面平行的性质定理，我们逐一对四个答案进行分析，即可得到答案．
【解答】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故①错误；
由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故②错误；
由面面平行的性质定理，易得③正确；
由线面平行的性质定理，我们易得④正确；
故选B
【点评】在判断空间线面的关系，熟练掌握线线、线面、面面平行（或垂直）的判定及性质定理是解决此类问题的基础．
8．（5分）已知两点A（﹣1，2），B（2，1），直线l：3x﹣my﹣m=0与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[﹣3，+∞） B．[1，+∞） C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
【分析】如图所示，kl≥kPB或kl≤kPA，利用斜率计算公式得出即可．
【解答】解：把A（﹣1，2）代入直线l：3x﹣my﹣m=0，得﹣3﹣2m﹣m=0，解得m=﹣1，∴=﹣3；
把B（2，1）代入直线l：3x﹣my﹣m=0得3×2﹣m﹣m=0，解得m=3，∴=1．
由题意可得：直线l的斜率的取值范围是kl≥1，或kl≤﹣3．
故选D．
【点评】由题意得出kl≥kPB或kl≤kPA和熟练掌握斜率计算公式等是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．（5分）在直角坐标系中，直线3x﹣的倾斜角是 ．
【分析】设直线3x﹣的倾斜角是θ，θ∈[0，π）．可得tanθ=，即可得出．
【解答】解：设直线3x﹣的倾斜角是θ，θ∈[0，π）．
则tanθ=﹣=，
解得θ=．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）圆O1：x2+y2+6x﹣7=0与圆O2：x2+y2+6y﹣27=0的位置关系是 相交 ．
【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，可得圆心距，即可得出结论．
【解答】解：圆O1：x2+y2+6x﹣7=0，化为标准方程为（x+3）2+y2=16，圆心为（﹣3，0），半径为4，
圆O2：x2+y2+6y﹣27=0，化为标准方程为x2+（y+3）2=36，圆心为（0，﹣3），半径为6，
圆心距为3
∵6﹣4＜3＜6+4，
∴两圆相交，
故答案为：相交．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查学生的计算能力，比较基础．
11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为 ．
【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．
【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，
设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，
球的体积为：，
解得a=．
故答案为：．
【点评】
本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．
12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 16π﹣16 ．
【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．
【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，
圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，
四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．
故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，
故答案为：16π﹣16．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．
13．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为2，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为 30° ．
【分析】取AC的中点E，连接BE，C1E，∠BC1E就是BC1与侧面ACC1A1
所成的角，由此能求出BC1与侧面ACC1A1所成角的大小．
【解答】解：取AC的中点E，连接BE，C1E，
∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴BE⊥面ACC1A1，
∴∠BC1E就是BC1与侧面ACC1A1所成的角，
BC1=，BE==，
∴sin∠BC1E===，
∴∠BC1E=30°．
∴BC1与侧面ACC1A1所成角为30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
14．（5分）不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，则实数a的取值范围是 ﹣1≤a≤3 ．
【分析】直线y=kx+1与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内．
【解答】解：直线y=kx+1恒过（0，1）点的直线系，
曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0表示圆圆心（a，0），半径为：），
直线与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，必须定点在圆上或圆内，
即：所以，﹣1≤a≤3
故答案为：﹣1≤a≤3．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，两点间的距离公式，直线系等知识是中档题．
三、解答题（本大题有4小题，共50分）
15．已知直线过点P（2，1）．
（1）若直线与3x﹣2y+4=0平行，求直线的方程．
（2）若直线与3x﹣2y+4=0垂直，求直线的方程．
（3）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
【分析】（1）设直线方程为，过点P（2，1），代入解得m即可得出．
（2）设直线方程为，过点P（2，1），代入解得n即可得出．
（3）①当直线经过原点时，可得直线方程为：y=x．②当直线不经过原点时，可得直线方程为：设直线方程为y+x=a，把点（2，1）代入可得：a．
【解答】解：（1）设直线方程为，过点P（2，1）…（2分）
所以3+m=1，所以m=﹣2
从而直线方程为…（4分）
（2）设直线方程为，过点P（2，1）…（6分）
所以，所以
从而直线方程为…（9分）
（3）①当直线经过原点时，可得直线方程为：y=x，即x﹣2y=0．
②当直线不经过原点时，可得直线方程为：设直线方程为y+x=a，
把点（2，1）代入可得：a=2+1=3．可得直线方程为x+y﹣3=0．
综上可得：要求的直线方程为：x﹣2y=0，或x+y﹣3=0．
【点评】本题考查了相互平行于垂直的直线斜率之间的关系、截距式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．
【分析】（Ⅰ）设AB中点为D，连结PD，CD，推导出PD⊥AB，CD⊥AB，从而AB⊥平面PCD，进而PC⊥AB．
（Ⅱ）由已知推导出，，，从而CD⊥PD，进而CD⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面ABC．
【解答】证明：（Ⅰ）设AB中点为D，连结PD，CD，（ 1分）
∵侧面PAB为等边三角形，AP=BP，
∴PD⊥AB，（2分）
又AC=BC，∴CD⊥AB．（3分）
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．（5分）
∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB．（6分）
（Ⅱ）由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴，．（7分）
又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，∴．（8分）
∵，∴PC2=CD2+PD2．
∴∠CDP=90°，∴CD⊥PD（9分）
∵CD⊥AB，∴CD⊥平面PAB，（11分）
∵CD⊂平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC．（12分）
【点评】本题考查线线垂直、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
17．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4及圆内一点P（2，5）．
（Ⅰ）求过P点且弦长最短的弦所在直线方程；
（Ⅱ）求过点M（5，0）与圆C相切的直线方程．
【分析】（Ⅰ）直接利用半径与弦垂直时的弦长最短求出直线的方程．
（Ⅱ）利用分类讨论的思想，进一步利用直线与圆相切求出切线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4及圆内一点P（2，5），
∴由题意，过P点且与CP垂直的弦长最短，
∵圆心C点坐标为（3，4），
∴，
∴所求直线的斜率k=1，代入点斜式方程，
得y﹣5=x﹣2，
即x﹣y+3=0．
过P点的所有弦中，
弦长最短的弦所在的直线方程为x﹣y+3=0．
（Ⅱ）①当直线垂直x轴时，即x=5，
圆心C到直线的距离为2，
此时直线x=5与圆C相切，（8分）
②当直线不垂直x轴时，
设直线方程为y=k（x﹣5），
即kx﹣y﹣5k=0，
圆心C到直线的距离，
解得：，
∴所求切线方程为3x+4y﹣15=0或x=5．
【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．
18．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与BC所成的角是60°．
【分析】（1）要证AM∥平面BDE，直线证明直线AM平行平面BDE内的直线OE即可；
（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，说明∠BSA是二面角A﹣DF﹣B的平面角，然后求二面角A﹣DF﹣B的大小．
（3）设出线段AC上P点的坐标，由PF与CD所成的角是60°，得到向量夹角的余弦值为，得到关于t 的等式，由此可求得P点的坐标
【解答】解：（1）记AC与BD的交点为O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE
∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDE
（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A﹣DF﹣B的平面角
在Rt△ASB中，AS==，AB=，
∴tan∠ASB=，∠ASB=60°，
∴二面角A﹣DF﹣B的大小为60°；
（3）如图设P（t，t，0）（0≤t≤），
则=（﹣t，﹣t，1），=（，0，0）
又∵，夹角为60°，∴，
解之得t=或t=（舍去），
故点P为AC的中点时满足题意．
【点评】本题考查直线与平面平行，二面角的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题；（1，2也可以利用空间直角坐标系）