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- 2021-06-25 发布
1
1 2
2019 学年度第二学期期中考试
高二数学试卷（理）
k
6. ∫
(2x − 3x2 )dx = 0 ,则 k = ( )
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试
时 间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
0
A． 1 B．0 C．0 或 1 D．以上都不对
n (2n2 +1)
2 2 2 2 2 2 2
（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚
；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效
；
7.用数学归纳法证明：1 +
2
+ + ( n −1) + n + (n −1 ) + +
2
+ 1 = 时，从
3
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸
刀．
n = k 到 n = k +1 时，等边左边应添加的式子是（ ）
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有 一个是符合题目要求的
A． ( k − 1)2 + 2k
2
C. ( k + 1)2
B． ( k + 1)2 + k 2
D． ( k + 1) 2 ( k + 1) + 1
3
1.复数 2 + i 的共轭复数是( )
1 − 2i
8．若函数 f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )
π
A． − 3 i
5
B．
3 i
C． −i
5
2
.
D． i
A. B．0 C．钝角
D．锐角
2
9．设函数 f ( x ) 的导函
数为 f ′( x ) ，且 f ( x) =
x2 + 2 xf ′(1) ，则 f ′(0) =
（ ）
2.指数函数 y = ax 是增函数，而 y = ( 1 ) x 是指数函数，所以 y = ( 1 ) x 是增函数,关于上面
2 2
推理正确的说法是( )
A. 0 B．2 C． −4 D. −2
A.推理的形式错误 B.大前提是错误的 C.小前提是错误的 D.结论是正确的
10．函数 f ( x) = x + 2 cos x 在[0,π]上的极小值点为（ ）
3. f ( x) = ax3 + x2 + 2 ,若 f ′(1) = 5 ,则 a 的值等于( )
π
（A） 0 （B）
6
5π
（C）
6
（D）π
11
A． 1 B． 2 C.
5
D．
3
11．观察数组：（—1，1，—1），（1，2，2），（3，4，12），（5，8，40）---------
（ an，bn，cn）则 cn 的值不可能是（ ）
4 .用反证法证明“如果 a>b，那么 3 a ＞ 3 b ”假设的内容应是 （ ）
A. 3 a = 3 b B. 3 a ＜ 3 b C. 3 a = 3 b 且 3 a ＜ 3 b D. 3 a = 3 b 或 3 a ＜ 3 b
A，112， B，278， C，704 D，1664
12. 若点 P 是曲线 y=x2﹣lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为（ ）
5. 函数 f ( x ) = (2x − 3) ex 的单调递增区间是（ ）
3
A．1 B． 2 C． 2 D． 3
2
（A） −∞, 1 （B） (2, +∞) （C） 0, 1
（D） 1 , +∞
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分（共 20 分）．
2
2
2
13.若复数 z = (a2 − 2a) + (a2 − a − 2)i 为纯虚数，则实数 a 的值等于 ．
4
2 = 2 2 ， 3 +3 = 3 3 ， 4 + 4 = 4 4
3 3 8 8 15 15
2
a1 + a2 + + an * 1
14.若数列{an }是等差数列，则数列
n
(n ∈ N
) 也是等差数列；类比上
述
20（本小题满分 12 分）在数列{an } 中， a1 = ，且前 n 项的算术平均数等于第 n 项
的 2n − 1 倍
3
性质,相应地， {bn }是正项等比数列，则也是等比数列 . （ n ∈ N∗ ）．
（1）写出此数列的前 3 项；
15. 已知
2 +
，.，类比这些等式
，
（2）归纳猜想{an } 的通项公式，并加以证明．
若 7 + a = 7 a
（ a, b 均为正整数），则 a + b = .
b b 21（本小题满分 12 分）等差数列{ 的前 n 项和为 ， =5+ =9+3
16 .已知 a, b 为正实数，直线 y = x − a 与曲线 y = ln ( x + b ) 相切，则 a 的取值范围
是
（1）求 以及
.
三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤. 1 + b
5
（2
）设 = ，证明数列{}中不存在不同的三项成等比数列
17（本小题 10 分）已知复数 z1 , z 2 在复平面内对应的点分别为 A(−2,1) ， B(a,3) ，（ a ∈ R ）．
（Ⅰ）若 z1 + z 2 ≤ 5 ，求 a 的值
；
22 （本小题 12 分) 已知函数 ，其中 a∈R．
（Ⅱ）若复数 · 对应的点在二、四象限的角平分线上，求 a 的值．
（Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间；
18（本小题 12 分)设函数
（1）求 a 、 b 的值；
f ( x) = 2x 3 + 3ax 2 + 3bx + 8c 在 x = 1 及 x = 2 时取得极值
．
（Ⅱ）若 a＞0 直线 x﹣y﹣1=0 是曲线 y=f（x）的切线，求实数 a 的值；
（Ⅲ）若 a＞0 设 g（x）=xlnx﹣x2f（x），求 g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中 e
为自然对数的底)
若对于任意的 x ∈[0, 3] ，都有 f ( x) < c 2 成立，求 c 的取值范围。
.19（本小题 12 分）设函数 f(x)＝ax－
b
曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
，
x
7x－4y－12＝0.
(1)求 f(x)的解析式；
(2)证明：曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成三角形面积为 定值，并求此定值.
6
2
理科参考答案
一）选择题
1） C 由 Z= 2+i =5i=i 所以
z 为-i
13. 0
14. √a1a2 …an
15. 55
16. (0,1)
1−2i 5 设 P(x ,y )为切点，由 ẏ = 1 所以 1 =1 所以
x
b=1
2）
B
0 0 x0+b x0 +b 0
3） A f(ẋ )=3ax2+2x,由 f(1̇ )=5 所以 3a+2=5 所以
a=1
4） D
所以 y0 =0 又 P(x0 ,y0 )在 y=x-a 上 所以 0=x0 − a 所以 x0 a
所以 a+b=1 所以 a=1-b 又 a>0 b>0 所以 00 即 2x-1>0
所以 x>1
因为
a2
=(1−b)
2
=(b+1)+ 4 -4 又因为 00 即 x < 1
2
又 0≤x≤
π
∴-1≤a≤5-----------------------（6）分
所以 f(x）在[0,π]、[5π,π]为增函数，f(x)在[π,5π]为减函数
6 6 6 6
11） B 由{an }为等差数列且 an =2n-3,{bn }为等比数列，且 bn =2n−1 又 Cn =an ·
bn
2)由 z1=-2-i-------------------------（7）分 ∴
z ·z =(-2-i)(a+3i)=(3-2a)-(a+6)i-------------------（8）分
1 2
所以 Cn =（2n-3）·2n−1 由 z=z ·z 对应的点在二、四象限的角分线上可知(3-2a)-(a+6)=0------（9）分
1 2
12） B 由 P 与 y=x2-lnx 相切且与 y=x-2 相切时 p 到 y=x-2 的距离最小 由 ẏ =2x-1
x
∴a=-1---------------------------------------（10）分
8
2
所以 2x-1=1 所以 x=1 或 x=-1（舍去）所以 y=1 所以 P（1，1）设 P 到 y=x-2 的 18. 解：（1） f ′(x) = 6x + 6ax + 3b ，---------------------------------------------------------（1）分
二）填空
x 2
距离为 d，则 d=√2 ∵函数 f ( x) 在 x = 1 及 x = 2 取得极值，则有 f ′(1) = 0 ， f ′(2) = 0 ．-------（2）分
9
3 3 3
即6 + 6a + 3b = 0 ，解得 a = −3 ， b = 4 ．--------------------------------------= -（4）
分
为 y－y0＝(1＋ 2)(x－x0)，即 y－(x0－ )＝(1＋ 2)(x－x0).----------------（6）分
0
24 + 12a + 3b = 0 x0 x x0
（2）由（1）可知， f (x) = 2x3 − 9x2 +12x + 8c ， 令 x＝0，得 y＝－ 6 ，从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为(0，－ 6 )-----（8）
分
x0 x0
f ′(x) = 6x2 −18x +12 = 6(x −1)(x − 2) ．------------------------------------（5）分
令 y＝x，得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0).-----（10
）分
1 6
所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为 |－
||2x0|＝6.
当 x ∈ (0,1) 时， f ′( x) > 0 ；---------------------------------------------------------------------------（6）
分
2 x0
当 x ∈ (1, 2) 时， f ′( x) < 0
----------（7）
分
故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为定值
，
此定值为 6.----------------------------------------------------------------------------------（12）分
当 x ∈ (2, 3) 时， f ′( x) > 0 ．---------（8）分 20. 解：（1）由已
知
1 ， a1 + a2 + a3 +
+ an
，分别取
a1 = 3 = (2n − 1)an
10
n n = 2，3，4，5
∴当 x = 1 时， f ( x) 取得极大值 f (1) = 5 + 8c ，又 f (0) = 8c ， f (3) = 9 + 8c ．
得 1 1 1
， a
= 1 (a + a ) = 1 = 1 ，
a2 = a1 = =
5 3 × 5 15 3 14
1 2
5 × 7 35
则当 x ∈[0, 3] 时， f ( x) 的最大值为 f (3) = 9 + 8c -------------------------------（10）
分
1 1 1 1 ， 1
所以数列的前 3 项是： a1 = ， a2
=
，a3
=
，a4 =
63
a5 =
99
∵对于任意的 x ∈[0, 3] ，有 f ( x) < c2 恒成立，∴ 9 + 8c < c2 ，解得 c < −1 或 c > 9
，
3 15 35
1
-----------------（5）--
因此 c 的取值范围为 (−∞, −1) (9, +∞) ．------------------------------------（12）分
7
19.解：(1)方程 7x－4y－12＝0 可化为 y＝4x－3.
（2）由（1）中的分析可以猜想 an = ．---------------------（6）分
(2n − 1)(2n + 1)
下面用数学归纳法证明：
①当 n = 1 时，公式显然成立．-------------------------------------------------------（7）分
1
11
当 x＝2 时，y
x
－x
k
x
2
2
1 b
＝ .又 f′(x)＝a＋ 2，------------------------（2）分
②假设当 n = k 时成立，即 ak = ，那么由已知，
(2k − 1)(2k + 1)
2a − b = 1 ,
得 a1 + a2 + a3 + +
ak + ak +1
k + 1
= (2k + 1)ak +1
，即
a1 + a2 + a3 + +
ak = (2k
+ 3k )ak +1 ，
于是 2 2 解得 a =
1,
故 f(x)＝x 3.------------（4
）分
所以
(2k
2 − k)a = (2k
2
+ 3k)ak +1 ，即 (2k −1)ak = (2k + 3)ak +1 ，---------------（10）分
a + 7 = 7 , b = 3,
4 4 又由归纳假设，得 (2k − 1) 1 = (2k + 3)a ，
3
(2) 设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋ 2，知曲线在点 P(x0，y0)处的切线
方程
所以 ak
+1
= 1
(2k + 1)(2k + 3)
(2k − 1)(2k + 1) k +1
，即当 n = k + 1 时，公式也成立．------------（12）分
12
n =
21，解：（1）设{an }的首项为 a1
由已知得 5+√2=a1 +2d
9+3√2=3a1 +3d 求得 a1 =√2+1 d=2---------（2）分
解：所以 an =2n+√2-1 Sn = 2+√2n------------------------------（4）分
（2)由 b Sn =n+√2-----------------------------------------------------（5）
分
n
假设 bn 中存在不同的三项能构成等比数列，即 an 、am 、ap 成等比
数列 所以 am 2 =an . ap
2
即(m √2) =( √2). (p √2)
所以(m2-np)+ √2[2m-(n+p)]=0----------------------------------------（7）分
因为 m、n、p 是正整数， 所以 m2-np 和 2m-(n+p)均为有理数
2) 由切线斜率 k=1= ，⇒x3=﹣ax+2a，①--------------------------（5）分
由 x﹣y﹣1=x﹣ ﹣1=0⇒（x2﹣a）（x﹣1）=0⇒x=1，x=± ．------（6）分
把 x=1 代入①得 a=1，
把 x= 代入①得 a=1，--------------------------------------------------------------------（7）分 把 x=﹣
代入①得 a=﹣1（舍去），
故所求实数 a 的值为 1．------------------------------------------------------------------（8）分
3) ∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），
∴g′（x）=lnx+1﹣a，解 lnx+1﹣a=0 得 x=ea﹣1，
故 g（x）在区间（ea﹣1，+∞）上递增，在区间（0，ea﹣1）上递减，-------------（9）分
a﹣1
所以 m2-np=0 ， 2m-(n+p)=0------------------------------------------------ （9）
分
①当
e
≤1 时，即 0＜a≤1 时，g（x）在区间上递增，其最小值为 g（1）=0；---（10）
分
所以( p)2=4np ， 所以( − p)2=0 所以 n=p 与 n≠p 矛盾------（11）分
所以数列{bn }中不存在不同的三项成等比数列-----------------------------（12）
分
②当 1＜ea﹣1＜e 时，即 1＜a＜2 时，g（x）的最小值为 g（ea﹣1）=a﹣ea﹣1；------
（11）分
a﹣1
13
2
22: 1)①当 a=0 时 f(x)=0 为常函数------------------------------(1)分
②当 a＞0 时 由 f(ẋ )=a·2x−x x4
令 f(ẋ )＞0 即 2x-x2 ＞0所以 0＜x＜2
∴f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上为减函数，在(0,2]上为增函数-------(2)分
③当 a＜0 时 由 f(ẋ )=a·2x−x x4
令 f(ẋ )＜0 即 2x-x2 ＞0所以 0＜x＜2
∴f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上为增函数，在(0,2]上为减函数-------（3）分
∴综上所述：当 a=0 时 f(x)=0 为常函数
当 a＞0 时 f(x)在(-∞,0)和（2,+∞)上为减函数，在(0,2]上为增函数
当 a＜0 时 f(x)在(-∞,0)和（2,+∞)上为增函数，在(0,2]上为减函数-----（4）分
14
③当 e
≥e，即 a≥2 时，g（x）在区间上递减，其最小值为 g（e）=e+a﹣ae．----（12）分
．