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- 2021-06-25 发布
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（二）
理科数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
3.命题，，若命题为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．4 B．-4 C.5 D．-5
5.已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（ ）
A．-2 B．-3 C. -4 D．-5
6.若的展开式中常数项为，则实数的值为（ ）
A． B． C.-2 D．
7.将函数（）的图象向右平移个单位，得取函数的图象，若在上为减函数，则的最大值为（ ）
A．2 B． 3 C. 4 D．5
8.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C. D．
9.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
10.点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（ ）
A． B． C. D．
11.已知函数，，如果对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
12.已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C.-3 D．-4
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若实数满足不等式组，则的最小值为 ．
14.设数列的前项和为，且，，则 ．
15.已知平面区域，，在区域内随机选取一点，则点恰好取自区域的概率是 ．
16.已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，分别是角的对边，.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值.
18. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了70人，从女生中随机抽取了50人，男生中喜欢数学课程的占，女生中喜欢数学课程的占，得到如下列联表.
喜欢数学课程
不喜欢数学课程
合计
男生
女生
合计
（1）请将列联表补充完整；试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关；
（2）从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）是侧棱上一点，记（），是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20. 已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21. 已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线经过点，倾斜角，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的参数方程，并把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设与曲线相交于两点，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）解不等式；
（2）若对于，使恒成立，求实数的取值范围.
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（二）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
A
D
D
B
A
A
D
C
C
【解析】
1．，∴，故选C．
2．，，故选B．
3．对于成立是真命题，∴，即，故选B．
4．由题意可知输出结果为，故选A．
5．∵，∴，故选D．
6．的展开式通项为，令，则有，∴，即，解得，故选D．
7．由题意可得函数的解析式为，函数的一个单调递减区间是，若函数在区间上为减函数，则，只要，∴，则的最大值为，故选B．
8．由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图1，平面，，，，，经计算，，，，∴，∴，，，，，∴，故选A．
9．设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴
，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．
10．设，由椭圆的定义得：，∵的三条边
成等差数列，∴，联立，，解得
，由余弦定理得：，将
代入可得，
，整理得：，由，得，解得：或（舍去），故选D．
11．对于任意的，都有成立，等价于在，函数，，在上单调递减，在上单调递增，且，∴．在上，恒成立，等价于恒成立．设，，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选C．
12．因为，由于圆
的半径为，是圆的一条直径，所以，，又，所以
，所以，当时，，故的最小值为，故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
【解析】
13．画出不等式组表示的可行域知，的最小值为．
14．①，②，①②得：，又 ∴数列
首项为1，公比为的等比数列，∴．
15．依题意知，平面区域是一个边长为的正方形区域（包括边界），其面积为，
，如图2，
点恰好取自区域的概率．
16．由，得，设，则直线过定点
作出函数的图象（图象省略）．两函数图象有三个交点.
当时，不满足条件；
当时，当直线经过点时，此时两函数图象有个交点，此时，；当直线与相切时，有两个交点，此时函数的导数，设切点坐标为，则，切线的斜率为
，则切线方程为，即，∵且，∴，即，则，即，则，∴，∴要使两个函数图象有个交点，则．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为，
所以，
由正弦定理得，
即，
又，所以，
所以，
在中，，所以，所以．
（Ⅱ）由余弦定理得：，
∴，
∴，
当且仅当时“”成立，此时为等边三角形，
∴的面积的最大值为．
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）列联表补充如下：
喜欢数学课程
不喜欢数学课程
合计
男生
女生
合计
由题意得，
∵，∴没有的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关．）
（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是，
则抽取男生人，抽取女生人，
所以的分布列服从参数的超几何分布，
的所有可能取值为，其中．
由公式可得，，，
所以的分布列为：
所以的数学期望为．
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：由已知，得，
∵，，[]
又，∴．
又底面，平面，
则，
∵平面，平面，且，
∴平面．
∵平面，∴平面平面．
（Ⅱ）解：以为坐标原点，过点作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图3所示．
则，
因为在平行四边形中，，
则，∴．
又，知．
设平面的法向量为，
则即
取，则．
设平面的法向量为，
则即
取，则．
若平面与平面所成的二面角为，
则，即，
化简得，即，
解得（舍去）或．
于是，存在，使平面与平面所成的二面角为．
20．（本小题满分12分）
解：由题意知函数的定义域为，．
（Ⅰ）①当时，，所以函数的单调递增区间是，无极值；
②当时，由，解得，所以函数的单调递增区间是，
由，解得，所以函数的单调递减区间是．
所以当时，函数有极小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，①当时，函数在为增函数，
∴函数在上的最小值为，显然，故不满足条件；
②当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
故函数在上的最小值为的极小值，即，满足条件；
③当时，函数在为减函数，
故函数在上的最小值为，即，不满足条件．
综上所述，存在实数，使得函数在上的最小值为．
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设动点，则，且，①
又，得，
代入①得动点的轨迹方程为．
（Ⅱ）当时，动点的轨迹曲线为．
直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，代入，
得，
由，
解得，②
设，线段的中点，
则．
由题设知，正方形在轴左边的两边所在的直线方程分别为，注意到点不可能在轴右侧，则点在正方形内（包括边界）的条件是
即
解得，此时②也成立．
于是直线的斜率的取值范围为．
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）直线的参数方程为：，
曲线的直角坐标方程为：．
（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的方程中，
得，即，
设点所对应的参数分别为，则，
∴．
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）不等式，即，即，
，解得，
所以不等式的解集为.
（Ⅱ）
故的最大值为，
因为对于，使恒成立，
所以，即，
解得，∴．