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- 2021-06-25 发布
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，且是纯虚数，则实数（ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
【答案】A
【解析】是纯虚数，所以
点睛：考察复数的分类
2. 若公差为2的等差数列的前9项和为81，则（ ）
A. 1 B. 9 C. 17 D. 19
【答案】C
点睛：考察等差数列的求和公式及通项的性质
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据奇偶性判定得为偶函数，所以排除B、C，又当，故选A
点睛：考察函数图像，首先根据奇偶性排除某些答案，然后根据某些特殊点再逐一进行排除即可.
4. 已知集合，那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
点睛：考察逻辑关系，熟记其推理即可
5. 当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】C
【解析】设死亡生物体内原有碳14含量为1，则经过n个半衰期后的含量为，由得：，故选C
6. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】有题意可知：可将三棱锥放入长方体中考虑，则长方体的外接球即三棱锥的外接球，故球的半径为长方体体对角线的一半，设，则 ，故 ,得球的体积为：
点睛：考察三棱锥外接球的体积，要习惯将其放在长方体中考虑
7. 执行如图所示的程序框图，若输入，输出的值为0，则的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
点睛：考察程序框图及函数的周期性
8. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 有极值 B. 有零点 C. 是奇函数 D. 是增函数
【答案】D
点睛：考察函数的奇偶性和单调性，根据定义一一验证即可
9. 如图，与轴的正半轴交点为，点，在上，且，点在第一象限，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题得：，得OB=OC=1又 ,由三角函数定义得: ,,,
点睛：考察三角函数的定义及三角和差公式得运用
10. 已知直线过点且与相切于点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，其一条渐近线平行于，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】可设直线方程： 的圆心为半径为1，由相切得条件可得：，所以直线方程：，联立圆解得： ，故渐近线方程为，设双曲线方程为代入D可得双曲线方程：
点睛：考察直线与双曲线得综合问题，先利用直线于圆的相切关系求出直线斜率，然后根据渐近线方程求解双曲方程
11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）
A. B. C. 6 D.
【答案】C
点睛：考察三视图
12. 已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，所以又两个不同的解，即有两个不同的解，设，，所以，函数取得最小值当，从而的取值范围是
点睛：考察函数的应用，导数切线方程的综合运用，注意分离参数法方法
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13. 设向量，且的夹角为，则实数__________．
【答案】-1
【解析】由题得：得
点睛：考察向量的数量公式，熟记公式即可
14. 若满足约束条件，则的最小值为__________．
【答案】2
点睛：要注意画图，切记不可直接求交点坐标往目标函数代入求解
15. 椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，右顶点为，直线与交于点.若，则的离心率等于__________．
【答案】
【解析】如图：设 ，由，得根据相似三角形得：求得，又直线方程为：，将点D代入得：
点睛：考察椭圆得简单性质，要借助几何图形建立等式关系从而求解离心率
16. 已知函数在上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是__________．
【答案】
点睛：考察三角函数的最值及周期
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 中，角的对边分别为，.
（1）求的大小；
（2）若，且边上的中线长为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：
试题解析：
解：（1）因为，所以由余弦定理可得，，
化简得，
所以，
因为，所以.
（2）
点睛：考察解三角形，要注意运用正余弦定理得边化角和角化边
18. 如图，三棱柱中，侧面侧面，，.
（1）求证：；
（2）求三棱柱的侧面积.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）取中点，连结，，推导出，，，从而平面，由此能证明结论；（Ⅱ）在平行四边形中，过作于点，过作于点，则为矩形，推导出，，由此能求出三棱锥的侧面积.
试题解析：（Ⅰ）取中点，连结，，
∵，，∴为正三角形，
∴，，
又侧面侧面，面面，面，
∴平面，
又平面，∴，
在中，∵，，，
∴，解得，
∴，∴，
又，平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴．
∴，
∴三棱锥的侧面积．
19. 某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.
（1）求第年的预计投入资金与出售产品的收入；
（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）
【答案】（1），；（2）第8年.
令，得，解得，
所以，，.
（2）由（1）可知当时，总利润
，
所以，，
因为为增函数，，
所以，当时，；当时，，
又因为，
所以，当时，，即前6年未盈利，
当时，，
令，得.
综上，预计该公司从第8年起开始盈利.
点睛：考察数列的实际运用和分段函数，要熟悉等差等比得通项公式和求和公式，对于应用题要多读题搞清题意在动笔
20. 已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点，过且与轴不垂直的直线交于两点，直线分别交于点，求证：以为直径的圆必过定点.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】试题分析：
由题意可设直线，代入，得，
设，则；
又，设直线的斜率分别为，
则，
设，
令，得，
同理，得，
从而；
.
点睛：考察直线和抛物线及圆的关系，要多化草图帮助自己分析其中的量得关系，多注意总结题型同时要深刻理解三大圆锥曲线得定义.
21. 已知函数.
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】试题分析：
点睛：考察导数的综合运用，求单调区间的讨论，在证明有关导数的不等式题型时要注意构造函数，形成具体函数去分析其单调性和最值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求的直角坐标方程；
（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.
【答案】（1），；（2）.
把代入，
得，即，
则，，
把，代入，
得，即，
则，，
所以.
点睛：考察极坐标参数方程化普通方程，对于直线要特别注意直线参数方程中t的几何意义，借助t的意义来表示线段长会很方便.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
点睛：考察绝对值不等式的解法和三角绝对值不等式求最值.