2020届二轮复习圆锥曲线课件（全国通用） 47页

圆锥曲线 圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线是平面解析几何的重点内容，本讲主要围绕下面三个问题加以讲解： （ 1 ）理解并掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及性质； （ 2 ）掌握确定曲线方程的基本方法； （ 3 ）初步了解曲线方程的应用． 例 1 双曲线 4 x 2 -9 y 2 -32 x -36 y + 64=0 的标准方程是 ___________ ，中心坐标 O ′( _______ ) ，实轴长 ___________ ，虚轴长 _________ ，焦距 _______ ，顶点坐标 ________ ，焦点坐标 ______ ，准线方程 _____________ ，渐近线方程 ______ ，准线间距离 _________ ，焦准距 ____________ ． 解： ， O ′ 2 a =4, , 2 b =6, 顶点 (4, － 4), (4, 0), 焦点 ， 准线 , 渐近线 2 x ＋ 3 y － 2=0 或 2 x － 3 y － 14=0, 两准线间距离 ， 焦准距 ． (4 ， － 2), 评析与引申 （ 1 ）求有心二次曲线与坐标系有关的性质的方法是：一求中心，二求出基 本量 a ， b ， c ， ，再以中心为准左右或上下移动即可求出，对于抛物线则以 顶点为准； （ 2 ）求双曲线的渐近线方程，只需将方程中的常数项改为零分解因式即可． 例 2 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 M （ m , － 2 ）到焦点的距离为 4 ，则 m 等于 （ ） （ A ） 4 （ B ）－ 2 （ C ） 4 或－ 4 （ D ） 2 或－ 2 分析 由已知可知抛物线如图所示，设所求抛物线方程为 x 2 = － 2 py ( p >0) ．由已知和抛物线定义可得 ．所求抛物线方程为： x 2 = － 8 y ，将 ( m , － 2) 代入上式 m 2 =16  m =±4 ，应选 (C) ． 例 3 在直线 L ： x ＋ y － 8 ＝ 0 上任 取一点 M ，以双曲线 的焦点为焦点，过 M 作椭圆，问当 M 点在何处时所作椭圆的长轴最短，此时椭 圆方程是什么？ 分析 由已知得 F 1 ( － 4, 0), F 2 (4, 0) . 由图，原命题  在 L 上求一点 M ，使 | F 1 M | ＋ | F 2 M | 最小． 解： 由已知 F 1 ( － 4,0) ， F 2 (4,0) ，设 F 2 关于 L 的对称点为 ，则 的方程为 x － 3 y ＋ 4 ＝ 0 ． 由 交点 M (5 ， 3) ． 即当 M 点坐标为 (5 ， 3) 时，以 F 1 ， F 2 为焦点的椭圆长轴长 ， 此时椭圆方程为 ． 例 4 求中心在原点，对称轴在坐标轴上，且过 的椭圆方程． 解： 因为很难判断焦点在哪个坐标轴上，所以用一般式较好．可设所求椭圆方程为： Ax 2 ＋ Cy 2 = F ( A ， C ， F 同号 ) 将 M 1 ， M 2 分别代入上式 所求椭圆方程为 ． 　 例 5 　 设双曲线 （ 0 < a < b ）的半焦距为 c ，直线 L 过点（ a ， 0 ）和（ 0 ， b ），已知原点到直线 L 的距离为 ，则双曲线的离心率为 （ ） （ A ） 2 （ B ） （ C ） （ D ） 解： 如图，在 Rt△ AOB 中， | OA |= a ， | OB |= b ， | AB | = c ，由面积公式得： 或 又 a ＜ b  a 2 ＜ c 2 － a 2  e 2 ＞ 2 所以 e ＝ 2 ，应选（ A ）． 例 6 已知两点 给出下列曲线方程． ① 4 x ＋ 2 y － 1= 0 ；② x 2 ＋ y 2 =3 ； ③ ；④ ．在 曲线上存在点 P ，满足 | MP |=| NP | 的所 有曲线方程是 （ ） （ A ）①③ （ B ）②④ （ C ）①②③ （ D ）②③④ 解： 首先求出 MN 的垂直平分线方程是： 2 x ＋ y ＋ 3 ＝ 0 ，显然与①平行，从而排除了选项 (A) 和 (C) ，由余下的 (B) ， (D) 可知只需判断 2 x ＋ y ＋ 3 ＝ 0 与③的关系，前者代入后者得： ∴△ x =(24) 2 － 4×9×16 ＝ 0 ∴2 x ＋ y ＋ 3 ＝ 0 与③有公共点，所以应选 D ． 评析与引申 本题既考查了直线与直线、直线与曲线的位置关系，更重要是考查了考生的分析问题的能力．当排除 (A) 、 (C) 后，根据 (B)(D) 的特点，找到问题的切入点是判断 2 x ＋ y ＋ 3 ＝ 0 与③的位置关系． 例 7 过抛物线 y ＝ ax 2 的焦点 F 作直线 L 与抛物线交于 A 、 B 两点， 记 | AF | = m ， | BF |= n ，则 等于 （ ） （ A ） 4 a （ B ）－ 4 a （ C ） （ D ） 分析 在题设中只给出了 AB 过焦点 ，并没有限定倾角  ，这就间 接告诉我们 与 AB 的倾角  无关， 这就是变量数学中的不变性 ．可设  ＝ 0 ， 由抛物线的定义 ． ∴ ，应选（ A ）． 评析与引申 （ 1 ）注意到 ，其中 m + n =| AB | 表示弦 AB 的长， m · n =| AF |·| BF | 表示线段积，显然用极 坐标 和直线 AB 的参数方 程 ，也可以求出 ．特别是用极坐标更简 捷，但这里更重要是考查学生的直觉 思维能力． （ 2 ）本题解法的逻辑依据是： 一般成立，特殊一定成立  特殊不成立，一般一定不成立 ． 例 8 如图，直线 l 1 ⊥ l 2 于 M 点，点 N  l 1 ，以 A 、 B 为端点的曲线 C 上任意一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离 相等．若△ AMN 为锐角三角形， ，且 | BN |= 6 ，建立适当的坐标系，求曲线 C 的方程． 分析 由已知，根据抛物线的定义，可知曲线 C 是以 N 为焦点，直线 l 2 为准线的抛物线的一段，于是有 解 : 以 MN 的中点 O 为原点， l 1 为 x 轴如图建立直角坐标系 x o y ． 由已知可设曲线 C 的方程为： y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0 ， x A ≤ x ≤ x B ， y ＞ 0) 又 ∵ 解得： 或 ① ② ∴ 因为△ AMN 为锐角三角形，所以 ，故 p ＝ 4 ， x A ＝ 1 ． 由 B 点在曲线 C 上， ． 综上：曲线 C 的方程为 y 2 ＝ 8 x （ 1≤ x ≤4 ， y ＞ 0 ）． 评析与引 申 确定曲线方程基本方法之一就是布列关于未知量的方程（组），解之即可． 例 9 正方形 ABCD 在直角坐标平面内，已知其中一条边 AB 在直线 y ＝ x ＋ 4 上， C 、 D 两点在抛物线 x ＝ y 2 上，求正方形面积． 分析 由图，不难发现，求 ABCD 的面积  求弦 CD 的长．若设 CD 方程为 y ＝ x ＋ b ，则 | CD | ＝ f ( b ) ．又 AB 与 CD 距离为 g ( b ) ．由 f ( b ) ＝ g ( b ) 可求出 b ，即可求出 | CD | ＝ f ( b ) ． 解： 设 CD 方程为 y ＝ x ＋ b ，代入 y 2 ＝ x x 2 ＋ (2 b － 1) x ＋ b 2 ＝ 0 ∴ . ∴ 又 ∴ b 2 ＋ 8 b ＋ 12 ＝ 0  b ＝－ 2 或 b ＝－ 6 ∴ 边长 或 . 所以正方形面积为 18 或 50 ． 由 例 10 已知定点 A （ a ， 0 ）（ a ＞ 0 ） 和定直线 l ： x ＝－ 1 ， B 是直线 l 上的动点，∠ BOA 的平分线交 AB 于 C 点，求 C 点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 a 的关系． 分析 这是两条动直线 OC 与 AB 的交点轨迹问题，其思路是引入变量，分别写出两条直线方程，消参数即可． α B 解： 当 B 点不在 x 轴上时， 设∠ AOC ＝  ，则∠ AOB ＝ 2  ， 则 OC 方程为 y ＝ x tan  ① OB 方程为 y ＝ x tan2  ∴ B （－ 1 ，－ tan2  ） AB 方程为： ② 由① x ≠0 ∴ 代入②得 ( a － 1) x 2 － ( a ＋ 1) y 2 ＋ 2 ax ＝ 0 (0 ＜ x ＜ a ) ③ 当 B 点在 x 轴上时， C （ 0,0 ）显然在③上．综上 C 点的轨迹方程为 ( a － 1) x 2 － ( a ＋ 1) y 2 ＋ 2 ax ＝ 0 (0≤ x ＜ a ) 讨论： （ 1 ）当 a ＝ 1 时，轨迹方程化为 y 2 ＝ x (0≤ x ＜ 1) ，此时，方程③表示抛物线弧段； （ 2 ）当 a ≠1 时，轨迹方程化为 所以，当 0 ＜ a ＜ 1 时，方程③表示椭圆弧段； 当 a ＞ 1 时，方程③表示双曲线一支的弧段．