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- 2021-06-25 发布
课时作业(二十四) [第24讲 平面向量的概念及其线性运算]
[时间：35分钟 分值：80分]
1． 如图K24－1，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
图K24－1
A．0
B.
C.
D.
2． 设非零向量a，b，c，若p＝＋＋，那么|p|的取值范围为( )
A．[0,1] B．[0,2] C．[0,3] D．[1,2]
3． 已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )
A．－3 B．2 C．4 D．－6
4． 如图K24－2所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
图K24－2
A.
B.
C.
D.
5．已知λ∈R，则下列命题正确的是( )
A．|λa|＝λ|a|
B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a|
D．|λa|＞0
6． △ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinB＝1，向量p＝(a，b)，q＝(1,2)．若p∥q，则C的大小为( )
A. B. C. D.
7．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8． 如图K24－3，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F.设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为( )
图K24－3
A.
B.
C.
D.
图K24－4
9． 如图K24－4，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
10． 若M为△ABC内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
11．设a、b为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λa＋μb＝0，则称a、b线性相关，下面的命题中，a、b、c均为已知平面M上的向量．
①若a＝2b，则a、b线性相关；
②若a、b为非零向量，且a⊥b，则a、b线性相关；
③若a、b线性相关，b、c线性相关，则a、c线性相关；
④向量a、b线性相关的充要条件是a、b共线．
上述命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号)
12．(13分) 如图K24－5所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.
图K24－5
13．(12分) 如图K24－6，G是△ABC的重心，OG延长线交AB于点M，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
(1)设＝λ，将用λ、、表示；
(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．
图K24－6
课时作业(二十四)
【基础热身】
1．D [解析] ＋＋＝＋－＝－＝，所以选D.
2．C [解析] 因为，，是三个单位向量，因此三个向量同向时，|p|的最大值为3.
3．D [解析] 因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，
∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.
4．C [解析] 设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
【能力提升】
5．C [解析] 当λ＜0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|应该是一个非负实数，而非向量，所以B不正确；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．
6．B [解析] 由sinB＝1⇒B＝，在△ABC中cosC＝，
又由p＝(a，b)，q＝(1,2)，p∥q⇒2a－b＝0⇒a＝，故cosC＝⇒C＝.
7．B [解析] 由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，
则＝①，因为AD为中线，则＋＝2＝m，
即2＝m②，联立①②可得m＝3，故B正确．
8．C [解析] ∵AD＝DB，AE＝EC，
∴F是△ABC的重心，则＝，
∴＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋，
∴x＝，y＝.
9. [解析] ＝＋＝m＋，＝m－.
＝＋＝＋(－)＝－，设＝λ，则λ－λ＝m－，m＝λ＝.
10. [解析] 由题知B、M、C三点共线，设＝λ，则：－＝λ(－)，
∴＝(1－λ)＋λ，
∴λ＝，
∴＝.
11．①④ [解析] ②若a⊥b，则a、b不线性相关，命题错误；③b为零向量时，命题错误．
12．[解答] ＝＋＋＝－a＋b＋c，
∵＝＋＋，
又∵＝－，＝－，＝，
∴＝a－b－c.
【难点突破】
13．[解答] (1)＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)证明：由(1)，得
＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy.①
∵G是△OAB的垂心，
∴＝＝×(＋)＝＋.②
而、不共线，
∴由①②，得.
解之，得
∴＋＝3，即＋是定值．