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- 2021-06-25 发布
第三章 导数与定积分
第一节 导数的概念与运算
题型30 导数的定义——暂无
题型31 求函数的导数
1．（2013江西理13）设函数在内可导，且，则 ．
2.（2016全国丙理21）21.设函数，其中，记 的最大值为.
（1）求；
（2）求；
（3）证明
2.解析 (1).
（2）当时，.
因此.当时，将变形为.
令，则是在上的最大值，，
，且当时，取得极小值，极小值为.
令，解得且，所以.
（i）当时，在内无极值点，，，，所以.
（ii）当时，在同一坐标中画出函数，，在
上的图像.
由上图，我们得到如下结论当时，.
综上，.
（3）由（1）得.
当时，；
当时，，所以；
当时，.所以；
综上所述，有.
题型32 导数的几何意义
1.(2013广东理10）若曲线在点处的切线平行于轴，则 ．
2.（2014 大纲理 7） 曲线在点处切线的斜率等于（ ）.
A． B． C． D．
3.（2014 新课标2理8）设曲线在点处的切线方程为，则（ ）.
A. B. C. D.
4.（2014 江苏理 11）在平面直角坐标系中，若曲线 （为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是 ．
5.（2014 江西理 13）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是 .
6.（2015陕西理15）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．
6. 解析 因为在上，所以在处切线的斜率.
设，则在处的切线斜率.
因为，所以.又因为，所以，.
7.（2015四川理15）已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数，都有；
②对于任意的及任意不相等的实数，都有；
③对于任意的，存在不相等的实数，使得；
④对于任意的，存在不相等的实数，使得.
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).
7. 解析①.由得.
令，则，故不单调.
当时，为单调递减函数，不符合题意.
当时，,由于是值域为的单调递增函数，
故必存在一个，使得.且当时，.当时，
.即不单调.所以①正确.
②.由得.
令，则，
即对任意的，不单调.取，则。此时对任意的，都不单调.所以不一定有.②错误.
③.若，则，即.
令，则不单调.
令，得要有根.
令则，是值域为的增函数.
所以存在，使得.
所以在单调递减，在上单调递增，存在最小值.因此，对于任意的，不一定有根.所以③错误.
④.若，则，即.
令,则不单调.
令，得要有根.而是值域为
的减函数，所以一定会有根.
所以对任意的，存在不相等的实数，使得.④正确.
所以真命题为①，④.
8.（2015安徽理18（1））设，是曲线在点处的切线与
轴交点的横坐标．求数列的通项公式；
9.（2015北京理18（1））已知函数.求曲线在点处的切线方程；
9. 解析 由题可知函数的定义域是，则，，，
从而曲线在点处的切线方程为.
10.（2015全国1理21（1））（本小题满分12分）已知函数，
当为何值时，轴为曲线的切线；
10. 解析 设曲线与轴相切于点，则，，
即，解得，，
所以当时，轴为曲线的切线．
11.（2015重庆理20（1））设函数.若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
11. 解析 对求导得，
因为在处取得极值，所以，即．
经检验，为的极小值点.当时，， ，
故，．
从而在点处的切线方程，化简得．
12.（2016山东理10）若函数
的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）.
A. B. C. D.
12.A 解析 因为函数，的图像上任何一点的切线的斜率都是正数；
函数的图像上任何一点的切线的斜率都是非负数.在这三个函数的图像上都不可能存在这样的两点，使得在这两点处的切线互相垂直，即不具有性质.利用排除法. 故选A.
13.（2016全国丙理15）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________.
13. 解析 解法一：先求函数在上的解析式，再求切线方程.
设，则，又，所以，，所以在点处的切线方程为，即.
解法二：由函数性质来求切线方程.因为为偶函数，所以若在点处的切线方程为，则在点处的切线方程为.因此，先求出在点处的切线方程.
又，得，所以在点处的切线方程为，所以在点处的切线方程为，即.
14.（2016全国甲理16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
14. 解析 的切点为，则它的切线为.的切点为，则它的切线为：，
所以，解得，，所.
15.（2016北京理18）设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；（2）求的单调区间.
15. 解析 （1）由题可得. 再由题设，可得，解得.
（2）由（1）的解答及题设，可得，的导函数.
所以函数在上是减函数，在上是增函数，
所以，即对恒成立，
所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间.
16.(2017北京理19)已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
16.解析 （1）因为，所以，.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）
设，则.
当时，，所以在区间上单调递减.
所以对任意，有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.