- 2.39 MB
- 2021-06-25 发布
第二篇 重点专题分层练
，
中高档题得高分
第
26
练 导数的概念及简单
应用
[
小题提速练
]
明晰
考
情
1.
命题角度：考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和最值
.
2.
题目难度：中档偏难
.
核心考点突破练
栏目索引
易错易混专项练
高考押题冲刺练
考点一 导数的几何意义
方法技巧
(1)
f
′
(
x
0
)
表示函数
f
(
x
)
在
x
＝
x
0
处的瞬时变化率
.
(2)
f
′
(
x
0
)
的几何意义是曲线
y
＝
f
(
x
)
在点
P
(
x
0
，
y
0
)
处切线的斜率
.
核心考点突破练
A.1
B
.
－
1
C.2
D
.
－
2
√
解析
答案
由导数的几何意义，得所求切线的斜率
k
＝
1.
2.
函数
f
(
x
)
＝
e
x
cos
x
的图象在点
(0
，
f
(0))
处的切线方程是
A.
x
＋
y
＋
1
＝
0 B.
x
＋
y
－
1
＝
0
C.
x
－
y
＋
1
＝
0 D.
x
－
y
－
1
＝
0
√
解析
答案
解析
f
(0)
＝
e
0
cos 0
＝
1
，
因为
f
′
(
x
)
＝
e
x
cos
x
－
e
x
sin
x
，
所以
f
′
(0)
＝
1
，所以切线方程为
y
－
1
＝
x
－
0
，
即
x
－
y
＋
1
＝
0
，故选
C.
3.(2018·
全国
Ⅰ
)
设函数
f
(
x
)
＝
x
3
＋
(
a
－
1)
x
2
＋
ax
，若
f
(
x
)
为奇函数，则曲线
y
＝
f
(
x
)
在点
(0
，
0)
处的切线方程为
A.
y
＝－
2
x
B.
y
＝－
x
C.
y
＝
2
x
D.
y
＝
x
√
解析
答案
解析
方法一
∵
f
(
x
)
＝
x
3
＋
(
a
－
1)
x
2
＋
ax
，
∴
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
＋
2(
a
－
1)
x
＋
a
.
又
f
(
x
)
为奇函数，
∴
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
恒成立，
即－
x
3
＋
(
a
－
1)
x
2
－
ax
＝－
x
3
－
(
a
－
1)
x
2
－
ax
恒成立，
∴
a
＝
1
，
∴
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
＋
1
，
∴
f
′
(0)
＝
1
，
∴
曲线
y
＝
f
(
x
)
在点
(0
，
0)
处的切线方程为
y
＝
x
.
故选
D.
方法二
∵
f
(
x
)
＝
x
3
＋
(
a
－
1)
x
2
＋
ax
为奇函数，
∴
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
＋
2(
a
－
1)
x
＋
a
为偶函数，
∴
a
＝
1
，即
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
＋
1
，
∴
f
′
(0)
＝
1
，
∴
曲线
y
＝
f
(
x
)
在点
(0
，
0)
处的切线方程为
y
＝
x
.
故选
D.
4.(2016·
全国
Ⅱ
)
若直线
y
＝
kx
＋
b
是曲线
y
＝
ln
x
＋
2
的切线，也是曲线
y
＝
ln(
x
＋
1)
的切线，则
b
＝
________.
1
－
ln
2
解析
答案
考点二 导数与函数的单调性
方法技巧
(1)
若求单调区间
(
或证明单调性
)
，只要在函数定义域内解
(
或证明
)
不等式
f
′
(
x
)>0
或
f
′
(
x
)<0.
(2)
若已知函数的单调性，则转化为不等式
f
′
(
x
)
≥
0
或
f
′
(
x
)
≤
0
在单调区间上恒成立问题来求解
.
A.
c
<
b
<
a
B.
c
<
a
<
b
C.
b
<
c
<
a
D.
a
<
c
<
b
√
解析
答案
∴
f
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
上为减函数
.
∵
3<π<5
，
∴
f
(3)>
f
(π)>
f
(5)
，
∴
a
>
b
>
c
.
故选
A.
6.
设函数
f
(
x
)
＝
－
9ln
x
在区间
[
a
－
1
，
a
＋
1]
上单调递减，则实数
a
的取值范围是
A.(1
，
2]
B
.[4
，＋
∞
)
C.(
－
∞
，
2]
D.(0
，
3]
√
解析
答案
解析
答案
7.
定义在
R
上的函数
f
(
x
)
满足
f
′
(
x
)>
f
(
x
)
恒成立，若
x
1
<
x
2
，则
与
的
大小关系为
A.
B.
C.
D.
与
的大小关系不确定
√
由题意知
g
′
(
x
)>0
，所以
g
(
x
)
单调递增，当
x
1
<
x
2
时，
g
(
x
1
)<
g
(
x
2
)
，
即
，
所以
.
考点三 导数与函数的极值、最值
方法技巧
(1)
函数零点问题，常利用数形结合与函数极值求解
.
(2)
含参恒成立或存在性问题，可转化为函数最值问题；若能分离参数，可先分离
.
特别提醒
(1)
f
′
(
x
0
)
＝
0
是函数
y
＝
f
(
x
)
在
x
＝
x
0
处取得极值的必要不充分条件
.
(2)
函数
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点
.
8.(2017·
全国
Ⅱ
)
若
x
＝－
2
是函数
f
(
x
)
＝
(
x
2
＋
ax
－
1)·e
x
－
1
的极值点，则
f
(
x
)
的极小值为
A.
－
1
B.
－
2e
－
3
C.5e
－
3
D.1
√
解析
答案
解析
函数
f
(
x
)
＝
(
x
2
＋
ax
－
1)e
x
－
1
，
则
f
′
(
x
)
＝
(2
x
＋
a
)e
x
－
1
＋
(
x
2
＋
ax
－
1)e
x
－
1
＝
e
x
－
1
·[
x
2
＋
(
a
＋
2)
x
＋
a
－
1]
.
由
x
＝－
2
是函数
f
(
x
)
的极值点
，
得
f
′
(
－
2)
＝
e
－
3
·(4
－
2
a
－
4
＋
a
－
1)
＝
(
－
a
－
1)e
－
3
＝
0
，
所以
a
＝－
1.
所以
f
(
x
)
＝
(
x
2
－
x
－
1)e
x
－
1
，
f
′
(
x
)
＝
e
x
－
1
·(
x
2
＋
x
－
2).
由
e
x
－
1
＞
0
恒成立，得当
x
＝－
2
或
x
＝
1
时，
f
′
(
x
)
＝
0
，且当
x
＜－
2
时，
f
′
(
x
)
＞
0
；
当－
2
＜
x
＜
1
时，
f
′
(
x
)
＜
0
；
当
x
＞
1
时，
f
′
(
x
)
＞
0.
所以
x
＝
1
是函数
f
(
x
)
的极小值点
.
所以函数
f
(
x
)
的极小值为
f
(1)
＝－
1.
故选
A
.
9.
已知
f
′
(
x
)
是定义在
R
上的可导函数
f
(
x
)
的导数，对任意
x
∈
R
，
x
≠
3
且
x
≠
－
1
，都有
(
x
2
－
2
x
－
3)
f
′
(
x
)
－
e
x
＝
0
，
f
(
－
1)<0
，
f
(
－
2)<
f
(3)
，
f
(5)>0
，则下列结论错误的是
A.
f
(
x
)
的增区间为
(
－
∞
，－
1)
，
(3
，＋
∞
)
B.
f
(
x
)
在
x
＝
3
处取极小值，在
x
＝－
1
处取极大值
C.
f
(
x
)
有
3
个零点
D.
f
(
x
)
无最大值也无最小值
√
解析
答案
当
x
<
－
1
或
x
>3
时，
x
2
－
2
x
－
3>0
，
∴
f
′
(
x
)>0
，当－
1<
x
<3
时，
x
2
－
2
x
－
3<0
，
f
′
(
x
)<0
，
∴
f
(
x
)
的增区间为
(
－
∞
，－
1)
，
(3
，＋
∞
)
，减区间为
(
－
1
，
3)
；
f
(
x
)
在
x
＝
3
处取极小值，在
x
＝－
1
处取极大值
.
又
∵
f
(
－
1)<0
，由
f
(
x
)
的草图
(
图略
)
知，
f
(
x
)
恰有一个零点
.
f
(
x
)
无最大值也无最小值，故
A
，
B
，
D
结论正确，错误的结论为
C.
10.(2018·
江苏
)
若函数
f
(
x
)
＝
2
x
3
－
ax
2
＋
1(
a
∈
R
)
在
(0
，＋
∞
)
内有且只有一个零点，则
f
(
x
)
在
[
－
1
，
1]
上的最大值与最小值的和为
_____.
解析
答案
－
3
解析
f
′
(
x
)
＝
6
x
2
－
2
ax
＝
2
x
(3
x
－
a
)(
x
＞
0).
①
当
a
≤
0
时，
f
′
(
x
)
＞
0
，
f
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
上单调递增，
又
f
(0)
＝
1
，
∴
f
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
上无零点，不合题意
.
此时
f
(
x
)
＝
2
x
3
－
3
x
2
＋
1
，
f
′
(
x
)
＝
6
x
(
x
－
1)
，
当
x
∈
[
－
1
，
1
]
时，
f
(
x
)
在
[
－
1
，
0]
上单调递增，在
(0
，
1]
上单调递减
.
又
f
(1)
＝
0
，
f
(
－
1)
＝－
4
，
f
(0)
＝
1
，
∴
f
(
x
)
max
＋
f
(
x
)
min
＝
f
(0)
＋
f
(
－
1)
＝
1
－
4
＝－
3
.
11.
已知
f
(
x
)
＝
x
3
－
3
x
＋
3
－
，
g
(
x
)
＝－
(
x
＋
1)
2
＋
a
，
∃
x
1
∈
[0
，
2]
，
∀
x
2
∈
[0
，
2]
，
使得
f
(
x
1
)
≤
g
(
x
2
)
成立，则实数
a
的取值范围是
______________.
解析
答案
解析
∃
x
1
∈
[
0
，
2
]
，
∀
x
2
∈
[0
，
2]
，使得
f
(
x
1
)
≤
g
(
x
2
)
成立
，
等价
于
f
(
x
)
min
≤
g
(
x
)
min
，
故当
x
∈
(0
，
1)
时，
f
′
(
x
)<0
；
当
x
＝
2
时，
g
(
x
)
取得最小值
g
(2)
＝
a
－
9
，
考点四 定积分
要点重组
微积分基本定理：
一般地，如果
f
(
x
)
是区间
[
a
，
b
]
上的连续函数，且
F
′
(
x
)
＝
f
(
x
)
，那么
√
解析
答案
√
解析
答案
解析
根据定积分的性质，
根据定积分的几何意义，
√
解析
答案
＝
＝
3
.
√
解析
答案
1.
已知
f
(
x
)
＝
ln
x
，
g
(
x
)
直线
l
与函数
f
(
x
)
，
g
(
x
)
的图象都相切，且与
f
(
x
)
图象的切点为
(1
，
f
(1))
，则
m
等于
A.
－
1
B.
－
3
C.
－
4
D.
－
2
易错易混专项练
√
解析
答案
∴
直线
l
的斜率为
k
＝
f
′
(1)
＝
1.
又
f
(1)
＝
0
，
∴
切线
l
的方程为
y
＝
x
－
1.
g
′
(
x
)
＝
x
＋
m
，
设直线
l
与
g
(
x
)
的图象的切点为
(
x
0
，
y
0
)
，
于是解得
m
＝－
2.
故选
D.
√
解析
答案
解析
方法一
(
特殊值法
)
不具备在
(
－
∞
，＋
∞
)
上单调递增，排除
A
，
B
，
D.
故选
C.
方法二
(
综合法
)
3.
函数
f
(
x
)
的定义域为开区间
(
a
，
b
)
，导函数
f
′
(
x
)
在
(
a
，
b
)
内的图象如图所示，则函数
f
(
x
)
在开区间
(
a
，
b
)
内的极小值点有
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
√
解析
答案
解析
由极小值的定义及导函数
f
′
(
x
)
的图象可知，
f
(
x
)
在开区间
(
a
，
b
)
内有
1
个极小值点
.
4.
若直线
y
＝
a
分别与直线
y
＝
2(
x
＋
1)
，曲线
y
＝
x
＋
ln
x
交于点
A
，
B
，则
|
AB
|
的最小值为
____.
解析
答案
设方程
x
＋
ln
x
＝
a
的根为
t
(
t
＞
0)
，则
t
＋
ln
t
＝
a
，
令
g
′
(
t
)
＝
0
，得
t
＝
1.
当
t
∈
(0
，
1)
时，
g
′
(
t
)
＜
0
，
g
(
t
)
单调递减；
当
t
∈
(1
，＋
∞
)
时，
g
′
(
t
)
＞
0
，
g
(
t
)
单调递增，
解题秘籍
(1)
对于未知切点的切线问题，一般要先设出切点
.
(2)
f
(
x
)
递增的充要条件是
f
′
(
x
)
≥
0
，且
f
′
(
x
)
在任意区间内不恒为零
.
(3)
利用导数求解函数的极值、最值问题要利用数形结合思想，根据条件和结论的联系灵活进行转化
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
高考押题冲刺练
1.
已知函数
y
＝－
xf
′
(
x
)
的图象如图所示
(
其中
f
′
(
x
)
是函数
f
(
x
)
的导函数
)
，下面四个图象中，
y
＝
f
(
x
)
的图象可能是
解析
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析
由函数
y
＝－
xf
′
(
x
)
的图象知，当
x
<
－
1
时，
f
′
(
x
)>0
，
f
(
x
)
为增函数
；
当
－
1<
x
<0
时，
f
′
(
x
)<0
，
f
(
x
)
为减函数
；
当
0<
x
<1
时，
f
′
(
x
)<0
，
f
(
x
)
为减函数
；
当
x
>1
时，
f
′
(
x
)>0
，
f
(
x
)
为增函数
.
故选项
B
的图象符合
.
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
12
2.
函数
f
(
x
)
＝
(
x
－
3)e
x
的单调递增区间是
A.(
－
∞
，
2
)
B.(0
，
3
)
C.(1
，
4
)
D.(2
，＋
∞
)
√
解析
答案
解析
函数
f
(
x
)
＝
(
x
－
3)e
x
的导函数为
f
′
(
x
)
＝
[(
x
－
3)·e
x
]
′
＝
e
x
＋
(
x
－
3)e
x
＝
(
x
－
2)e
x
.
由函数导数与函数单调性的关系，得当
f
′
(
x
)>0
时，函数
f
(
x
)
单调递增，
此时由不等式
f
′
(
x
)
＝
(
x
－
2)e
x
>0
，解得
x
>2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A.4
≤
m
≤
5
B.2
≤
m
≤
4
C.
m
≤
2
D.
m
≤
4
√
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
可得
x
2
－
mx
＋
4
≥
0
在区间
[1
，
2]
上恒成立，
1
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9
10
11
12
4.
若函数
f
(
x
)
＝
(
x
＋
1)·e
x
，则下列命题正确的是
√
解析
答案
1
2
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6
7
8
9
10
11
12
解析
∵
f
′
(
x
)
＝
(
x
＋
2)·e
x
，
∴
当
x
>
－
2
时，
f
′
(
x
)>0
，
f
(
x
)
为增函数；
当
x
<
－
2
时，
f
′
(
x
)<0
，
f
(
x
)
为
减函
数
.
1
2
3
4
5
6
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9
10
11
12
A.{
x
|
x
＞－
2 013}
B.{
x
|
x
＜－
2 013}
C.{
x
|
－
2 013
＜
x
＜
0}
D.{
x
|
－
2 018
＜
x
＜－
2 013}
√
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
解析
构造函数
g
(
x
)
＝
x
2
f
(
x
)
，则
g
′
(
x
)
＝
x
[2
f
(
x
)
＋
xf
′
(
x
)].
当
x
＞
0
时，
∵
2
f
(
x
)
＋
xf
′
(
x
)
＞
0
，
∴
g
′
(
x
)
＞
0
，
∴
g
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
上单调递增
.
∴
当
x
＋
2 018
＞
0
，即
x
＞－
2 018
时
，
(
x
＋
2 018)
2
f
(
x
＋
2 018)
＜
5
2
f
(5)
，
即
g
(
x
＋
2 018)
＜
g
(5)
，
∴
0<
x
＋
2 018
＜
5
，
∴
－
2 018
＜
x
＜－
2 013
.
1
2
3
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9
10
11
12
6.
函数
y
＝
与
y
＝
x
2
所围成的封闭区域的面积为
√
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A.[1
，＋
∞
)
B
.(1
，＋
∞
)
C.[2
，＋
∞
)
D
.(2
，＋
∞
)
√
解析
答案
1
2
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6
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10
11
12
令
h
(
x
)
＝
(
x
＋
2)[1
－
ln(1
＋
x
)](
x
>0)
，
所以
h
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
上是减函数，所以当
x
>0
时，
h
(
x
)<
h
(0)
＝
2
，
所以
a
的取值范围是
[2
，＋
∞
).
故选
C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析
因为
f
(1)
＝
0
，由题意可知
f
(1)
为极小值，
∴
f
′
(1)
＝
a
＋
2
－
b
＝
0
，
b
＝
a
＋
2.
1
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12
1
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3
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12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9.
已知
f
(
x
)
为偶函数，当
x
<0
时，
f
(
x
)
＝
ln(
－
x
)
＋
3
x
，则曲线
y
＝
f
(
x
)
在
点
(
1
，－
3)
处的切线方程是
____________.
解析
答案
2
x
＋
y
＋
1
＝
0
解析
当
x
>0
时，－
x
<0
，则
f
(
－
x
)
＝
ln
x
－
3
x
.
因为
f
(
x
)
是偶函数，所以
f
(
x
)
＝
f
(
－
x
)
＝
ln
x
－
3
x
，
所以切线方程为
y
＋
3
＝－
2(
x
－
1)
，即
2
x
＋
y
＋
1
＝
0.
1
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6
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9
10
11
12
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11.(2018·
全国
Ⅰ
)
已知函数
f
(
x
)
＝
2sin
x
＋
sin 2
x
，则
f
(
x
)
的最小值是
________.
解析
答案
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10
11
12
解析
f
′
(
x
)
＝
2cos
x
＋
2cos 2
x
＝
2cos
x
＋
2(2cos
2
x
－
1)
＝
2(2cos
2
x
＋
cos
x
－
1)
＝
2(2cos
x
－
1)(cos
x
＋
1).
∵
cos
x
＋
1
≥
0
，
又
f
(
x
)
＝
2sin
x
＋
sin 2
x
＝
2sin
x
(1
＋
cos
x
)
，
1
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11
12
12.
已知函数
f
(
x
)
＝
若
f
(
x
)<0
的解集中只有一个正整数，则实数
k
的取值范围为
_________________.
解析
答案
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11
12
当
x
<1
时，
g
′
(
x
)>0
，当
x
>1
时，
g
′
(
x
)<0
，
所以
g
(
x
)
在
(
－
∞
，
1)
上单调递增，在
(1
，＋
∞
)
上单调递减，
1
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