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- 2021-06-25 发布
高二年级第一学期第一次调研考试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1.给出下列四个命题：
①若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b；
②若直线a∥直线b，直线a、c∥平面α，b、c∥平面β，则α∥β；
③若平面α∥平面β，直线a⊂α，则a∥β；
④若直线a∥平面α，直线a∥平面β，则α∥β.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2.在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是 （ ）
A． B． C． D．
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比( )6题图
A B C D 6题图
4题图
4.如图，为正方体，下面结论错误的是( )(填序号)
A.∥平面 B.
C.平面 D.异面直线与所成的角为60°.
5.将正三棱柱截去三个角如图一所示，A,B,C分别是三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为（ ）
6.直角三角形的斜边在平面内，直角顶点在平面外，在平面内的射影为,且,则为（ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 以上都不对
7题图
7．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ，则原图形是( )
A.正方形 B. 菱形
C. 矩形 D.一般的平行四边形
8题图
8.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）
A B
C D
9.正方体中，点M是棱CD的中点，点O是侧面的中点，若点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持,则动点P的轨迹是（ ）
10题图
A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
10.梯形ABCD中，,以A为圆心，AD为半径作圆，如图所示（单位：cm），则图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的表面积为（ )
A B 84 C 60 D 68
11．已知三点的坐标分别是，，，，若，则的值为 （ ）
A． B． C．2 D．3
12.已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13．我国古代数学名著 《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长 尺。”（注：1丈等于10尺）
14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为
15题图
15、如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是
16、在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值的取值范围是 ．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，把正确答案填在答题卡中的对应位置上）.
17、已知正项等差数列的前项和为，，且成等比数列.
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求数列的前项和.
18、已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C所对的边，，。
（Ⅰ）证明：A=2B
（Ⅱ）若，求A
19题图
19、（本题满分12分）设是边长为的正方体的面、面的中心,如图
（1）证明PQ∥平面AA1B1B； （2）求线段PQ的长.
20题图
20、（本题满分12分）已知在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)，如图．
(1)求证：不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
21题图
21、（本题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，，，点，分别是，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求三棱锥的体积.
22题图
22、（本题满分12分）在四棱锥中，底面
为矩形，平面平面,,,为线段上一点，且，点分别为线段的中点。
⑴求证:平面；
⑵若平面将四棱锥分成左右两部分，求这两部分的体积之比。
附加题：（第23,24题每题5分，第25题10分）
23、如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
24、已知三棱锥中，,，点是的中点，点在平面的射影恰好为的中点，则该三棱锥外接球的表面积为 。
25、（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P,Q分别为线段AB，CD的中点，EP平面ABCD。
⑴求证：DP平面EPC；
⑵问在EP上是否存在点F使平面AFD平面BFC？若存在，求出的值；
⑶求证：平面平面DEP.
高二年级第一学期第一次调研考试
数学试题参考答案及评分参考
一、选择题：（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
D
A
C
B
B
B
A
B
D
二、填空题：(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13、26 14、 15、16、
三、 解答题：（本大题包括6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，把正确答案填在答题卡中的对应位置上）
17、 ⑴由题数列为等差数列，且成等比数列，则，
即，又，解之得或，数列为正项等差数列，所以，所以；……………………………………………………5分
⑵ 由⑴得则
……………………10分
18、（本题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵,由得,………………3分
∵，∴，∴
∴或，………………………………………………4分
若,则,这与“”矛盾,.……………………5分
∴………………………………………………6分
（Ⅱ）∵，∴，
由余弦定理得,………………………………………………8分
∵，∴或，………………………………………………9分
①当时，则，这与“”矛盾,；…………10分
②当，由（1）得，∴，
∴………………………………………………12分
17、 ⑴∵∥,,∥,,∴∥且.
∴四边形为平行四边形,∴∥.∵平面,平面
∴PQ∥平面AA1B1B. …………………………………………6分
⑵连接则为中位线 ，∴.……………………12分
20、(1)证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.因为CD⊥BC，且AB∩BC＝B，
所以CD⊥平面ABC.又因为＝＝λ(0<λ<1)，
所以不论λ为何值，恒有EF∥CD.所以EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF，
所以不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.…………………………………6分
(2)解：由(1)知，BE⊥EF.又平面BEF⊥平面ACD，所以BE⊥平面ACD.
所以BE⊥AC.因为BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
所以BD＝，AB＝tan 60°＝.所以AC＝＝.
由AB2＝AE·AC，得AE＝，所以λ＝＝.
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD…………………………………………………12分
21、 ⑴证明：如图，取的中点，连接,在中，点分别为的中点，所以有∥,同理得∥∥,,
所以平面∥平面，又平面，所以平面.…………5分
⑵过点做的垂线，垂足为，由题知，侧面底面，故底面
，在中，由,,则
,,点是的中点，
,…………………………………8分
点为的中点，
…………………………………… ……………………12分
22、 ⑴证明：在等腰中，,
则由余弦定理可得……………………2分
,…………………………………………3分
平面平面，平面平面
平面 .………………………………………………………………4分
⑵解：设平面与棱交于点，连接,因为∥，所以∥平面。从而可得∥. …………………………6分
延长至点,使，连接,则为直三棱柱。………7分
到的距离为
……………………………………………………8分
,…………………9分
…………………………………………10分
又…………………………………………11分
………………………………………12分
附加题：
23、 C 24、
25、 ⑴证明：在矩形中，AB=2BC，P,Q分别为线段AB，CD的中点，,,,平面ABCD,平面ABCD,,又DP平面EPC; ……………………………3分
25题图
⑵解：假设存在F使平面AFD平面BFC，∥,平面,不包含于平面，∥平面，∴平行于平面与平面的交线,∵平面ABCD,∴,而,,∴平面,∴平面,
∴为平面与平面所成二面角的平面角,∵P为线段AB的中点,且,
∴当时,,∴当时,平面AFD平面BFC .………………7分
⑶证明 ：∵EP平面ABCD,平面ABCD,∴,∵在矩形ABCD中，AB=2BC，P,Q分别为线段AB，CD的中点，∴为正方形，,∵,∴平面,平面,∴平面平面DEP .……………………………10分