2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第八章素养提升4　高考中立体几何解答题的提分策略 5页

素养提升4　高考中立体几何解答题的提分策略 素养解读　每年高考数学试卷都有一道立体几何解答题.主要采用“论证与计算”相结合的模式,即先利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直,再利用有关公式进行体积的计算,重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力.解决立体几何问题要用的数学思想方法主要有:(1)转化与化归(空间问题转化为平面问题);(2)数形结合(根据空间位置关系,利用向量转化为代数运算).考查的核心素养主要有:逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等.‎ ‎1[2019全国卷Ⅰ,19,12分][文]如图4 - 1,直四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面C1DE;‎ ‎(2)求点C到平面C1DE的距离.‎ ‎(1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME为△B1BC的中位线,所以ME∥B1C,且ME=‎1‎‎2‎B1C.①‎ 又N为A1D的中点,所以ND=‎1‎‎2‎A1D.‎ 由题设知A1B1∥DC且A1B1=DC,所以A1B1CD为平行四边形,所以B1C∥A1D且B1C=A1D,故ME∥ ND且ME=ND,因此四边形MNDE为平行四边形.②‎ 所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE,DE⊂平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.③‎ ‎(2)在菱形ABCD中,由E为BC的中点,∠BAD=60°,可知DE⊥BC,‎ 根据题意得DE=‎3‎,C1E=‎17‎,④‎ 因为棱柱ABCD - A1B1C1D1为直棱柱,所以CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥DE,又BC∩CC1=C,‎ 所以DE⊥平面BCC1B1,‎ 所以DE⊥EC1,所以S‎△DEC‎1‎‎=‎1‎‎2‎×‎3‎×‎‎17‎,⑤‎ 设点C到平面C1DE的距离为d,根据题意得V三棱锥C‎1‎ - CDE‎=‎V三棱锥C - C‎1‎DE,则‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×1×‎3‎×4=‎1‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎×‎3‎×‎‎17‎×d,⑥‎ 解得d=‎4‎‎17‎‎=‎‎4‎‎17‎‎17‎,‎ 所以点C到平面C1DE的距离为‎4‎‎17‎‎17‎.⑦‎ 感悟升华 阅卷 现场 得分点 第(1)‎ 问采点 得 分 说 明 ‎①根据三角形中位线的性质得出ME∥B1C得1分;‎ ‎②根据平行四边形的定义证出四边形MNDE为平行四边形得2分;‎ ‎6分 ‎③根据线面平行的判定定理证得结论得3分.‎ 第(2)‎ 问采点 得 分 说 明 ‎④求出DE,C1E的长度得1分;‎ ‎⑤求出△DEC1的面积得1分;‎ ‎⑥利用等积法建立关于d的方程得2分;‎ ‎⑦求出最终结果得2分.‎ ‎6分 一题 多解 第(2)问也可用如下解法:‎ 过C作C1E的垂线,垂足为H.‎ 由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,BC∩C1C=C,所以DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH.‎ 又DE∩C1E=E,‎ 从而CH⊥平面C1DE,故CH的长即点C到平面C1DE的距离.‎ 由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=‎17‎,故CH=‎4‎‎17‎‎17‎.‎ 从而点C到平面C1DE的距离为‎4‎‎17‎‎17‎.‎ 满分 策略 ‎1.解决空间中的平行与垂直问题的关键 熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理是解题的关键.‎ ‎2.切记定理的条件要齐全 在运用定理证明问题时,要注意运用定理所需的条件是否齐全,例如本例的第(1)问,一定要指明线在面内、线在面外这些条件,否则会失分.‎ ‎3.求空间几何体的体积的方法 ‎(1)公式法:直接代入公式求解.‎ ‎(2)等积法:如果四面体的任何一个面都可以作为底面,则只需选用都易求的底面积和高即可.‎ ‎(3)补体法:将几何体补成易求体积的几何体,如将棱锥补成棱柱、将三棱柱补成四棱柱等.‎ ‎(4)分割法:将几何体分割成易求体积的几部分,分别求体积.‎ ‎2[2017全国卷Ⅲ,19,12分][文]如图4 - 2,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.‎ ‎(1)证明:AC⊥BD;‎ ‎(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.‎ 图4 - 2‎ ‎(1)取AC的中点OAC⊥OD,AC⊥OBAC⊥平面BODAC⊥BD;‎ ‎(2)∠ADC=90°→DO=AO→AO‎2‎+OB‎2‎=AB‎2‎,‎AB=BD→DO‎2‎+OB‎2‎=BD‎2‎→∠DOB=90°‎‎∠AEC=90°→EO=‎1‎‎2‎AC,‎AC=AB=BD‎→EO=‎1‎‎2‎BD→E为BD的中点→四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.‎ ‎(1)如图4 - 3,取AC的中点O,连接DO,BO.①‎ 因为AD=CD,所以AC⊥DO.‎ 因为△ABC是正三角形,所以AC⊥BO,又BO∩DO=O,‎ 所以AC⊥平面DOB,②‎ 因为BD⊂平面BOD,故AC⊥BD.③‎ ‎ (2)连接EO,如图4 - 3所示.④‎ 由题设知∠ADC=90°,所以DO=AO.‎ 在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.‎ 又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,‎ 故∠DOB=90°.⑤‎ 因为AE⊥EC,‎ 所以在△AEC中,EO=‎1‎‎2‎AC.⑥‎ 又△ABC是正三角形,所以AC=AB,又AB=BD,所以EO=‎1‎‎2‎BD.‎ 故E为BD的中点.⑦‎ 从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的‎1‎‎2‎,‎ 所以四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的‎1‎‎2‎,⑧‎ 即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.⑨‎ 感悟升华 第(1)问采点得分说明 ‎①作出辅助线,并用语言正确表述得1分;‎ ‎②分别得出AC⊥DO和AC⊥BO得1分,由线面垂直的判定写出AC⊥平面DOB,再得1分;‎ ‎③由线面垂直的性质得出结论得1分.‎ 第(2)问采点得分说明 ‎④作出辅助线,并用语言正确表述得1分;‎ ‎⑤由勾股定理的逆定理得到∠DOB=90°得2分;‎ ‎⑥由直角三角形的性质得出EO=‎1‎‎2‎AC得1分;‎ ‎⑦得出E为BD的中点得2分;‎ ‎⑧得出四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的‎1‎‎2‎得1分;‎ ‎⑨正确求出体积比得1分.‎ 满分心得——把握规律,争取满分 ‎(1)写全得分步骤.在立体几何解答题中,对于证明与计算过程中得分的步骤,有则给分,无则没分,所以得分的步骤一定要写,如第(1)问中AC⊥DO,AC⊥BO,第(2)问中BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2等.‎ ‎(2)牢记空间几何体的结构特征,准确运用线面平行、垂直的判定和性质定理及体积公式.在立体几何解答题中,通常以常见的空间几何体为载体去证明空间中的垂直或平行关系及求几何体的体积,因此要牢记常见的空间几何体的结构特征,正确运用相关的判定定理、性质定理及体积公式.‎ 答 题 策 略 ‎【审题方法】——审图形 图形或者图象的力量比文字更简洁而有力,挖掘其中蕴含的有效信息,正确理解图中信息是解决问题的关键.‎ ‎3[2017全国卷Ⅱ,18,12分][文]如图4 - 4,四棱锥P - ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=‎1‎‎2‎AD,∠BAD=∠ABC=90°.‎ ‎ (1)证明:直线BC∥平面PAD;‎ ‎(2)若△PCD的面积为2‎7‎,求四棱锥P - ABCD的体积.‎ ‎(1)根据线面平行的判定定理即可得出结论;(2)根据已知条件找到四棱锥P - ABCD的高,设BC=x,由△PCD的面积求得x,即可求得该四棱锥的体积.‎ ‎(1)在平面ABCD中,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD1分(得分点1)‎ 又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.……‎ ‎3分(得分点2)‎ ‎(2)如图4 - 5,取AD的中点M,连接PM,CM.‎ 由AB=BC=‎1‎‎2‎AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD5分(得分点3)‎ 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,‎ 所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD7分(得分点4)‎ 因为CM⊂底面ABCD,‎ 所以PM⊥CM8分(得分点5)‎ 设BC=x,则CM=x,CD=‎2‎x,PM=‎3‎x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,‎ 所以PN=‎14‎‎2‎x.‎ 因为△PCD的面积为2‎7‎,‎ 所以‎1‎‎2‎‎×‎‎2‎x×‎14‎‎2‎x=2‎7‎,‎ 解得x= - 2(舍去)或x=210分(得分点6)‎ 于是AB=BC=2,AD=4,PM=2‎3‎.‎ 所以四棱锥P - ABCD的体积V=‎1‎‎3‎‎×‎‎2×(2+4)‎‎2‎×2‎3‎=4‎3‎12分(得分点7)‎ 感悟升华 教材 探源 ‎1.考题源于人教A版教材《数学2》P62【习题2.2】A组T3,将教材中的以三棱锥为载体改成以四棱锥为载体,考查空间线、面的平行与垂直,在计算体积的过程中,考查面面垂直与线面垂直.‎ ‎2.考题将教材中多个问题整合,并添加数据,层层递进设置问题,匠心独运,考题源于教材并高于教材.‎ 素养 探源 素养 考查途径 直观想象 能根据四棱锥的结构特征和已知条件得出线面位置关系.‎ 逻辑推理 根据已知条件,通过推理表示出△PCD的面积,求出相关量,进而运用四棱锥的体积公式求解.‎ 思想 方法 转化思想 将线面平行转化为线线平行,将面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.‎ 得分 要点 ‎1.得步骤分:在立 体几何解答题中,对于证明与计算过程中得分的步骤,有则给分,无则没分,所以得分的步骤一定要写.如第(1)问中的BC∥AD,第(2)问中的CM⊥AD,PM⊥CM,PN=‎14‎‎2‎x等.‎ ‎2.得关键分:解立体几何解答题时,一定要写清得分关键点,如第(1)问中一定要写出BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD两个条件,否则不能得全分;在第(2)问中,证明PM⊥平面ABCD时,一定写全三个条件,即平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PM⊥AD,否则要扣分,另外,一定要分别求出 BC,AD及PM,再计算几何体的体积.‎ ‎3.得计算分:涉及体积与面积的计算,正确求得结果是关键,如利用面积正确求出线段BC的长度,否则无法得分,在第(2)问的推理中,巧用第(1)问的结果,借助BC∥AD,证明CM⊥AD优化解题过程.‎