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- 2021-06-25 发布
大理州2017届高中毕业生第二次复习统一检测
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.为虚数单位，的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C. D．
4.已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
5.某公司安排甲、乙、丙位员工在“元旦（月日至月日）”假期值班，每天安排人，每人值班天，则位员工中甲不在日值班的概率为（ ）
A． B． C. D．
6.设，若，则实数的值等于（ ）
A． B． C. D．
7.将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（ ）
A． B． C. D．
8.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“
今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果（ ）
A． B． C. D．
9.已知定义在上的函数.记，则（ ）
A． B． C. D．
10.在四棱锥中，底面，底面为正方形，，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为（ ）
A． B． C. D．
11.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，则此球的体积等于（ ）
A． B． C. D．
12.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知、是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线动点斜率的最大值为 ．
14.已知定义在上的奇函数满足，且，则 ．
15.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是 ．
16.在中，角对应的边分别为，已知，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知数列满足（为常数）.
（1） 当时，求的值；
（2）当时，记，，证明：.
18. （本小题满分12分）
年，国际数学协会正式宣布，将每年的月日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率.为庆祝该节日，某校拟组织一次数学竞赛，该校某年级共有甲、乙、丙三个数学兴趣小组，小组人数分别为.现采用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取名成员组队参加比赛.
（1） 求应从这三个小组中分别抽取的成员的人数；
（2）将抽取的名成员进行编号，编号分别为，现从这名成员中随机抽取名作为带队，设事件为“编号为和的两名成员中至少有人被抽到”，设事件为“编号为和的两名成员中至多有人被抽到”，事件、的概率分别记为、，比较与的大小.
19. （本小题满分12分）
如图（）所示，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点.将沿折起到的位置，如图（）所示.
（1） 证明：平面；
（2） 若平面平面，，求三棱锥的体积.
20. （本小题满分12分）
已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线
相交于两点，且满足.
（1） 求抛物线的标准方程；
（2）若点在抛物线的准线上运动，其纵坐标的取值范围是，且，点是以线段为直径的圆与抛物线的准线的一个公共点，求点的纵坐标的取值范围.
21. （本小题满分12分）
已知，且在处取得极值，令.
（1） 求的单调区间；
（2）若曲线在处的切线与直线平行，且当为整数，时，，求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系取相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为为参数).曲线的极坐标方程为.
（1） 求直线的倾斜角和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于两点，与轴的交点为，求的值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
若关于的不等式的解集为，记实数的最大值为.
（1） 求；
（2） 若正实数满足，求的最小值.
大理州2017届高中毕业生第二次复习统一检测
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:ACDBB 6-10: AACDD 11、12：BA
二、填空题
13. 14. 15. 16.
附：16.由知，
所以
由正弦定理得，所以，即，
又因为，
所以，化简得，
由知为锐角，所以，
由，所以.
三、解答题
17.解：（1）当时，，
所以数列是首项，公差的等差数列，
所以，所以.
（2） 当时，变形得
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
18. 解：（1）因为甲、乙、丙三个兴趣小组的人数比依次为，且共抽名成员，
所以从甲、乙、丙三个兴趣小组抽取的成员的人数分别为.
（2） 从名成员中随机抽取名的所有可能为、
，共种.
编号为和的两名成员中至少有人被抽到的所有可能共有种，则.
编号为和的两名成员中至多有人被抽到的所有可能共有种，则.
所以.
19.（1）证明：在图（）中，因为,是的中点，且，
所以，
即在图（）中，，又，平面，平面，
从而平面，又，所以平面.
（2） 由已知，平面平面，且交线为，
又由（）知，，所以平面，
由，得，从而，
所以.
20. 解：（1）设抛物线的标准方程为，其焦点的坐标为
直线的方程为，，
联立方程消去得：，
所以，
因为，解得，
所以所求抛物线的标准方程为.
（2） 设点，
由（）知，，所以，
因为，
所以得或，
因为，∴或，
由抛物线定义可知，以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，
所以点的纵坐标为，
所以点的纵坐标的取值范围是.
21. 解：（1），
因为在处取得极值，所以，即，
所以，.
若，则，所以在上单调递增.
若，则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2） 因为曲线在处的切线与直线平行，
所以，即.
所以，
故当时，等价于①，
令，则.
由（）知，函数在上单调递增，
而，故在上存在唯一的零点，
故在上存在唯一的零点，设此零点为，则.
当时，；当时，，
所以在上的最小值为，
又由，可得，所以，
由①式等价于，故整数的最大值为.
22. 解：（1）由直线的参数方程（为参数）化为普通方程为，
直线的倾斜角为，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为.
（2） 易知直线与轴的交点为，
从而直线的参数方程的标准形式为为参数).
将直线的方程代入，得，
整理得，所以，
故.
23. 解：（1）因为，所以，
又因为，所以，
从而实数的最大值.
（2） 因为
，
所以，从而，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.