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- 2021-06-25 发布
长泰一中2018/2019学年第二学期期末考试
高二理科数学试题
(考试时间：120分钟 总分：150分)
★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合＝{，，}，＝{，}，若，则＝( )
A.或 B. 或 C. 或 D. 或或
2.已知复数满足，则复数在复平面内的对应点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )
A． B． C. D．
4.已知随机变量服从正态分布, 且, 则 ( )
A. B. C. D.
5．“”是“函数为奇函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
7.奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则＝( )
A. B. C. D.
8．已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（ ）
A． B．a=e，b=1 C． D． ，
9.函数在的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
10.将5名学生分到三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到宿舍的不同分法有（ ）
A．18种 B．36种 C.48种 D．60种
11．已知双曲线的实轴长为16，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
12.已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）
A． B．
C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数f(x)=2ax+1-3(a>0且a≠1)的图象经过的定点的坐标是
14. 展开式中，项的系数为
15.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B ，则P(ξ≤3)等于
16.若为上的奇函数，且满足，对于下列命题：①；②是以4为周期的周期函数；③的图像关于对称；
④.其中正确命题的序号为___
三． 解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）
17．(本题满分12分)
已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离．
(Ⅰ)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；
(Ⅱ)若曲线与直线相交于两点，求的面积.
18．(本题满分12分)
已知命题实数满足（其中），命题方程表示双曲线.
（I）若，且为真命题，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19． (本题满分12分)
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(Ⅰ)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(Ⅱ)求η的分布列及均值E(η)．
20．(本题满分12分)
E
C
D
A1
B
B
A
D
C
第20题
如图，在平行四边形中， ，将沿对角线折起，折后的点变为，且．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）E为线段上的一个动点，当线段的长为多少时，与平面所成的角正弦值为？
21.(本题满分12分)
设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(00)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ D ）
A．2 B．3 C．4 D．8
7.奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则＝( B )
A. B. C. D.
8．已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（ D ）
A． B．a=e，b=1 C． D． ，
9.函数在的图象大致为（ B ）
A． B．C．D．
10.将5名学生分到三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到宿舍的不同分法有（ D ）
A．18种 B．36种 C.48种 D．60种
11．已知双曲线的实轴长为16，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ( A )
A． B． C． D．
12.已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是（A ）
A． B．
C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数f(x)=2ax+1-3(a>0且a≠1)的图象经过的定点的坐标是 (-1,-1) .
14. 展开式中，项的系数为70
15.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B ，则P(ξ≤3)等于 21/32
16.若为上的奇函数，且满足，对于下列命题：①；②是以4为周期的周期函数；③的图像关于对称；
④.其中正确命题的序号为__①_② ④
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）
17．(本题满分12分)
已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离．
(Ⅰ)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；
(Ⅱ)若曲线与直线相交于两点，求的面积.
解：(Ⅰ)因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为.……………………………………………5分
(Ⅱ)设, 联立，得 , …………………7分
, ……………………………………………………………………………8分
直线经过抛物线的焦点,
……………………………………………………10分
点到直线的距离，…12分
18．(本题满分12分)
已知命题实数满足（其中），命题方程表示双曲线.
（I）若，且为真命题，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.解：（Ⅰ）由 得，………………………………1分
若，为真时实数t的取值范围是.………………………………………2分
由表示双曲线,得,即为真时实数的取值范围是.
……………………………………………………………………………4分
若为真，则真且真，所以实数t的取值范围是.……………………6分
（Ⅱ）设，…………………………………………7分
是的必要不充分条件，. …………………………………………………8分
当时，，有，解得；……………………………10分
当时，，显然，不合题意． ……………………………11分
∴实数a的取值范围是．………………………………………………………12分
19．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列及均值E(η)．
解 (1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
P()＝(1－0.4)3＝0.216，P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784……………5分..
(2)η的可能取值为200元，250元，300元．…………………6分
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，…………………9分
η
250
300
P
0.4
0.2
因此η的分布列为 E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．…12分
E
C
D
A1
B
B
A
D
C
第20题
20．(本题满分12分)如图，在平行四边形中，，将沿对角线折起，折后的点变为，且．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）为线段上的一个动点，当线段的长为多少时，与平面所成的角正弦值为？
解：(Ⅰ)在中，.
四边形是平行四边形，
又，
…………………3分
A1
B
D
C
x
z
y
E
又 又
………………………………………………………………4分
(Ⅱ)如图，过作的垂线，以点为原点建立空间直角坐标系,则
,从而………6分
,………………………………………7分
异面直线与所成角的余弦值等于.……………………………………8分
（Ⅲ）.
设则………………………………9分
取平面的一个法向量为，……………………………………………10分
记与平面所成的角为，则
，解得 …………………………………………11分
即 ……………………………………………………………12分
21. (本题满分12分)设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0