数学理卷·2018届广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高三12月月考（2017 10页

钦州市钦州港经济技术开发区中学2018届高三年级12月份考试理科数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．‎ ‎1．已知集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知复数z满足：则复数的虚部为（　　）‎ A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎4. 已知曲线f（x）=ex﹣与直线y=kx有且仅有一个公共点，则实数k的最大值是（　　）‎ ‎ A．﹣1 B．‎0 ‎C．1 D．2‎ ‎5.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（　　） ‎ A．f（sinα）＞f（sinβ） B．f（sinα）＜f（cosβ） ‎ C．f（cosα）＜f（cosβ） D．f（sinα）＞f（cosβ）‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，若输入，输出的1.75，则空白判断框内应填的条件为 A．＜1B．＜‎0.5C．＜0.2D．＜0.1 ‎ ‎7. 已知成等差数列，成等比数列，则的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设数列是首项为，公比为的等比数列，是它的前项的和，对任意的，点在直线（ ）上 ‎ ‎9.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：‎ 甲 乙 丙 丁 平均成绩x ‎89‎ ‎89‎ ‎86‎ ‎85‎ 方差s2‎ ‎2.1‎ ‎3.5‎ ‎2.1‎ ‎5.6‎ 从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是(　　)‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎10.已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是 A． B. C. D.‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是(　　)‎ A‎.8 cm3 ‎ B‎.12 cm3 ‎ C. cm3 ‎ D. cm3 ‎ ‎12.若实数满足不等式组 则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分 ‎13．在等比数列{an}中，a‎3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=　 　.‎ ‎14.已知函数，则 ‎___________。‎ ‎15.已知点是椭圆上的一点，‎ 分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为. ‎ ‎16.一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65°，港口A的东偏南20°处，那么B，C两点的距离是 海里．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知等比数列{}满足，{}的前3项和.‎ （1） 求数列{}的通项公式；‎ （2） 记数列，求数列{}的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知向量，，函数，函数在轴上的截距我，与轴最近的最高点的坐标是．‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移（）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，求的最小值．‎ ‎19.已知数列的前项和和通项满足,数列中，,.（Ⅰ）求数列,的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列满足，求证： .‎ ‎20．(本小题满分12分)已知函数 （1） 当时，求函数的单调区间；‎ （1） 求函数在上的最大值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数．(Ⅰ)当时，证明：；‎ ‎(Ⅱ)若当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。‎ ‎22.设函数f（x）=ex﹣ax2﹣ex+b，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，且在点x=1处的切线垂直于直线y=x，求实数a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区间[0，1]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎　　已知函数．‎ ‎　　（Ⅰ）当时，解关于的不等式；‎ ‎　　（Ⅱ），使，求的取值范围．‎ 参考答案：‎ 1. D2.B3.C4.D5.D6.B7.C8.B9.A10.A11.C12.D ‎13.9 14.0 15： 16. 17. 等比数列{}中，由得，‎ 即，‎ 由得 所以数列{}的通项公式………………………………6分 ‎（2）由题知，‎ 又因为，所以数列{}是等差数列，‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ），‎ 由，得，‎ 此时，，‎ 由，得或，‎ 当时，，经检验为最高点；‎ 当时，，经检验不是最高点．‎ 故函数的解析式为．‎ ‎（Ⅱ）函数的图象向左平移个单位后得到函数 的图象，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数的图象，‎ 所以（），（），‎ 因为，所以的最小值为．　‎ ‎19.（1）由，得 当时，‎ 即（由题意可知）‎ 是公比为的等比数列，而 ‎，--------3分 由，得------------5分 ‎（2），设，则 由错位相减，化简得：‎ 20. ‎（1）函数的定义域为，当时，……3分 由得，或（舍去）。‎ 当时，，时，‎ 所以函数的单调减区间是，增区间是………………5分 ‎（2）因为，由由得，或 ①当时，即时，在上，，即在上递增，所以 ②当时，即时，在上，，在上，即在上递减，在递增；‎ 因为，‎ 所以当时，；当时，‎ ③当时，即时，在上，，即在上递减，所以 综上可得 ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）设，‎ ‎ 在递增 ‎， 成立 ‎（Ⅱ）‎ 设，，‎ 令 ，由 有 设， 在减 ，‎ Ⅰ、时 在增 成立 Ⅱ、时在仅有一根，设根为 设 ‎ 存在唯一有当时 ‎ ‎22.解：（Ⅰ）曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，则过点（0，﹣1），代入f（x）=ex﹣ax2﹣ex+b，‎ 则1+b=﹣1，则b=﹣2，求导f′（x）=ex﹣2ax﹣e，‎ 由f′（1）=﹣2，即e﹣‎2a﹣e=﹣2，则a=1，‎ ‎∴实数a，b的值分别为1，﹣2；------------------------3分 ‎（Ⅱ）f（x）=ex﹣ax2﹣ex+b，g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣e，g′（x）=ex﹣‎2a，‎ ‎（1）当a≤时，∵x∈[0，1]，1≤ex≤e，∴‎2a≤ex恒成立，‎ 即g′（x）=ex﹣‎2a≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，‎ ‎∴g（x）≥g（0）=1﹣e．‎ ‎（2）当a＞时，∵x∈[0，1]，1≤ex≤e，∴‎2a＞ex恒成立，‎ 即g′（x）=ex﹣‎2a＜0，g（x）在[0，1]上单调递减，‎ ‎∴g（x）≥g（1）=﹣‎2a -------------------------6分 ‎（3）当＜a≤时，g′（x）=ex﹣‎2a=0，得x=ln（‎2a），‎ g（x）在[0，ln‎2a]上单调递减，在[ln‎2a，1]上单调递增，‎ 所以g（x）≥g（ln‎2a）=‎2a﹣2aln‎2a﹣e，‎ ‎∴h（a）=，---------------------------9分 ‎∴当a≤时，h（a）=1﹣e，‎ 当＜a≤时，h（a）=‎2a﹣2aln‎2a﹣e，求导，h′（a）=2﹣2ln‎2a﹣2=-2ln‎2a，‎ 由＜a≤时，h′（a）＜0，‎ ‎∴h（a）单调递减，h（a）∈（﹣e，1﹣e]，‎ 当a＞时，h（a）=﹣‎2a，单调递减，h（a）∈（﹣∞，﹣e），‎ h（a）的最大值1﹣e．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修：不等式选讲 解:（Ⅰ）原不等式可化为或或3分 解得或或．. ..............................4分 综上，原不等式的解集是.....................................5分 ‎（Ⅱ）解： 使，等价于.........................6分 ‎ ......................7分 ‎， ‎ 所以取得最小值...................................8分 ‎， ‎ ‎ 得或 ‎ 的取值范围是.................‎