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- 2021-06-25 发布
成都外国语学校2019-2020下期高2018级5月月考卷高二数学（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，若是实数，则实数的值（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ）
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A． B． C． D．
7．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为（ ）
A． B． C． D．
9．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B． C． D．
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12．（理）已知函数恰有一个极值点为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在复平面内，与复数对应的点位于 象限.
14．已知函数，则的单调递增区间为______．
15．已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围__________.
16（理）．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）．
17．（本小题满分10分）已知函数在点处的切线方程为．(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
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18．（本小题满分12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率；
（2）估计本次考试的中位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
19．（理）（本小题满分12分）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
（I）证明：平面平面；
（Ⅱ）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值. 图一 图二
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20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求，交点的直角坐标；（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.
21．（本小题满分12分）已知点，直线为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且. （1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线（与轴不重合）交轨迹于，两点，求三角形面积的取值范围.（为坐标原点）
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22．（理）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：
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成都外国语学校2019-2020下期高2018级5月月考卷（答案）
高二数学参考答案
1-5．CABAC 6-10.BBDAB 11-12(文).CC 11-12(理).CC
13．第四象限 14． 15． 16.(文) 16.(理) 6
17． （1）
（2）当时，取得最大值19， 当时，取得最小值是.
18．（1）0.3；（2）（3）
【详解】（1）分数在[120，130）内的频率为1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；
（2）由于图中前3个小矩形面积之和为0.4，则设中位数，则
，则
（3） 依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人），
[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；
∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；
在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，
则基本事件有共15种；则事件A包含的基本事件有共9种；∴P（A）==
18． (文)（1）由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，且，
所以AB⊥平面ACD． 又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．
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（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=． 又，所以．
作QE⊥AC，垂足为E，则 ．
由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．
因此，三棱锥的体积为．
19.(理)（Ⅰ）设的中点为，连接，.由题意，得，
，.
因为在中，，为的中点，所以，
因为在中，，，，，所以.
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，平面，
所以是直线与平面所成的角，且，
所以当最短时，即是的中点时，最大.
由平面，，所以，，于是以
，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则，，，，，，，，.
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设平面的法向量为，则 由得：.令，得，，即.
同理，设平面的法向量为， . .由图可知，二面角的余弦值为.
20．【解析】(Ⅰ)，，∴，∴.
联立方程组得，解得，，
∴所求交点的坐标为，.
(Ⅱ)设，则.
∴的面积
∴当时，.
21．（1）；（2）
【解析】（1）设动点，则 由
，即 ， ，化简得
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（2）由(1)知轨迹的方程为，当直线斜率不存在时，
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，设
由得.
则，，，
令，则
令，则，当时，，
在上单调递增，，
综上所述，三角形面积的取值范围是
22(文)．（1），.
当时，在恒成立，在是单减函数.
当时，令，解之得.
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从而，当变化时，，随的变化情况如下表：
-
0
+
单调递减
单调递增
由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数.
综上，当时，的单减区间为；
当时，的单减区间为，单增区间为.
（2）当，为整数，且当时，恒成立
.
令，只需；
又，
又因为在有且仅有一个实数根，
在上单减，在上单增；
又，，
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，且，即代入式，得
.
而在为增函数，，即.
而，，即所求的最大值为0.
22（理）【答案】（1）易知的定义域为，且，
时，在上恒正，所以在上单调递增，
时，对于，
①当，即时，，在上是增函数；
②当，即时，有两个正根，
所以，，单调递增，
，，单调递减
综上，时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数
（2）令，
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方程有两个不相等的实根函数有两个零点，
由定义域为且
①当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；
②当时，得，在上单调递增，在上单调递减
要使有两个零点，则，
由解得 ，此时
易知当时，
，
令，所以，
时，在为增函数，
在为增函数，，
所以，即，所以
函数在与各存在一个零点，综上所述，.
∴证明证明时，成立
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设，则
易知在上递减，，在上单调递减
，所以.
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