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- 2021-06-25 发布
【背一背重点知识】
1．熟悉诱导公式、同角关系式、两角和与差、倍角公式是化简求值的关键；
2．熟悉三角函数的图像是解决有关性质问题的前提；
3．切化弦、变角处理是三角化简与求值的常用手段．
【讲一讲提高技能】
1．必备技能：高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数的性质之中．常需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性和对称性等性质．
2．典型例题：
例1．【湖北荆州2017届高三上学期第1次质检，17】已知函数．
（I）求函数的对称中心；
（II）求在上的单调增区间．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
（II）令，解得．又由于，所以
，故所求单调区间为．
例2．【河南中原名校2017届高三上学期第三次质检】已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为．
（I）求函数的解析式；
（II）求函数在上的单调递增区间．
【答案】（I）；（II），，．
【解析】
（II）由不等式，，可得，，
所以函数的单调增区间为．
令，得函数在上的一个单调递增区间为；
【方法点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解，单调增区间即的解集．
【练一练提升能力】
1．【安徽百校论坛2017届高三上学期第2联考，18】已知函数在区间上的最大值为2．
（1） 求函数在区间上的值域；
（2） 设，求的值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
试题分析：（I）化简．由当时，取最大值当时，取最小值值域为；（II）由
．
试题解析：．
2．【湖北2017届百所重点校高三联考，20】已知函数．
（I）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（II）若，且的最小值是，求实数的值．
【答案】(1)，；(2)．
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用三角变换的知识及正弦函数的图象和性质求解；(2)借助正弦函数的有界性分类探求最小值，建立方程求解．
试题解析：
③当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，解得，这与相矛盾，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
综上所述，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
三角函数与平面向量综合题
【背一背重点知识】
1．向量是具有大小和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时要注意数形结合思想的应用
2．向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以实现与三角函数无缝对接．
3．两向量平行与垂直关系、向量数量积、向量的模等知识点是与三角函数知识的交汇点
【讲一讲提高技能】
1必备技能：等价转化能力，主要是将向量形式的条件等价转化为三角函数的等量关系，再利用三角恒等变换实现解决问题目的，如
2典型例题：
例1．【云南曲靖一中2017届上学期第4次月考，17】已知向量，，．
（I）求的最大值；
（II）若，且向量与向量垂直，求的值．
【答案】（I）；（II）．
试题解析：（I），
，
当时，，的最大值为．
（II）若，则，，
∵向量与向量垂直，，∴，
故，，或．
当时，，不符合条件，∴．
例2．【甘肃天水一中2017届上学期第3次考试，17】在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．
（I）求角的大小；
（II）若，求面积的最大值．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
【练一练提升能力】
1．【炎德英才大才大联考湖南师大2017届高三上学期第3次月考，17】（本小题满分12分）
已知向量，记．
(Ⅰ)若，求的值；
(Ⅱ)在锐角中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．
【答案】 (Ⅰ) ；(Ⅱ)．
【解析】
试题解析： (Ⅰ) ，
由，得，所以．
(Ⅱ)因为，由正弦定理得
，所以，
所以，因为，所以，且，所以，又，所以，则，又，
则，得， 所以，又因为，
故函数的取值范围是．
2．如图，以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴相交于点，点在单位圆上，且
（I）求的值；
（II）设，四边形的面积为， ，求的最值及此时的值．
【答案】（I）；（II）当时，．
【解析】
试题解析：（I）由三角函数的定义，得，．
（II）由已知点的坐标为，又，，∴四边形为菱形，∴，∵，∴，∴
，，．
三角函数与三角形综合题
【背一背重点知识】
1．正余弦定理，三角形面积公式
2．根据已知条件，正确合理选用正余弦定理．一般已知两角用正弦定理，已知一角求边用余弦定理
3．关注三角形中隐含条件，如
【讲一讲提高技能】
1必备技能：等价变形是应用三角函数解三角形时的注意点．大边对大角，在三角形中等价为大角对大正弦值．在解三角形时，由正弦值求角时一定要注意角的取值范围，否则易出现增根或失根．在三角形中求三角函数最值或取值范围更要挖掘三角形中隐含条件，密切注意角的范围对三角函数值的影响．
2典型例题：
例1．【江西抚州2017届高三上学期七校联考，20】如图所示，在中，点为边上一点，且为的中点，．
（I）求的长；
（II）求的面积．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
试题分析：（I）在中，求出，利用正弦定理求的长；（II）在中由余弦定理得，从而．
试题解析：（I）在中，∵，∴，
∴，
由正弦定理知，．
考点：解三角形．
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．
例2．【四川自贡2017届高三第一次诊断考试，17】（本小题满分12分）
在中，的对边分别为，，的面积为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由可求边，再由余弦定理可求边；（Ⅱ）由由（Ⅰ）已知三角形三边，则余弦定理可求，由同角三角函数基本关系求出，利用两角差余弦公式求之即可．
【方法点睛】本题考查正弦定理与余弦定理、与三角恒等变换，属中档题；解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形方向，利用三角恒等变换公式进行转化．
【练一练提升能力】
1．【河北沧州一中2017届高三11月考，18】在中，内角的对边分别为，且．
（I）若，，求的值；
（II）若，且的面积，求和的值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用余弦定理求解；(2)借助题设运用正弦定理及三角变换公式和三角形面积公式探求．
试题解析：
（I）由题意知：
由余弦定理得：．
（II）由可得：，
化简得，
因为，所以．由正弦定理可知：，又因为，故，由于，所以，从而，解得．
2．【河南八市重点高中2017届高三上学期第一次测评，19】（本小题满分12分）
在锐角三角形中，角的对边分别为，且．
（I）求角；
（II）若，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2) ．
【解析】
三角形与向量综合题
【背一背重点知识】
1．三角形中的边长与内角和向量的模及夹角的对应关系
2．向量加法、减法、投影、数量积、共线等几何意义在三角形中体现
3．正余弦定理、面积公式中边长及角与涉及向量模及夹角关系
【讲一讲提高技能】
1必备技能：若分所成比为，则；若，则三点关线．夹角为钝角的充要条件是且不反向；同样夹角为锐角的充要条件是且不同向．
2典型例题：
例1．【山西晋中榆社中学2017届高三上学期11月考，18】（本小题满分12分）
在中，角所对边分别为，已知向量，且．
（I）求角的大小；
（II）若，求的周长的最大值．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
例2．【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，18】（本小题满分12分）已知向量，记．
（I）若，求的值；
（2）在锐角中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
试题分析：（I）首先利用向量的数量积公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式求值即可；（II）
【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角的值是关键，结合三角形形状得到函数的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉，实在可惜．
【练一练提升能力】
1．设△的面积为，且．
（I）求角的大小；
（II）若，且角不是最小角，求的取值范围．
分析：（I）根据三角形面积公式及向量数量积得：，即，所以，又，所以．（II）因为角不是最小角，所以将面积化为B角函数，利用正弦定理现将边化为角：由正弦定理，得，所以
，因此
，，所以．
2．设锐角△的三内角的对边分别为 ．
（I）设向量，，若与共线，求角的大小．
（II）若，，且△的面积小于，求角的取值范围．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
试题分析：第（I）小题设计为综合平面向量的共线定理，求角A的大小．利用与共线，可得，然后化简得，再根据A的范围，可求得A的大小；第（II）小题设计为在面积小于的条件下，求角B的取值范围．利用面积公式可得，所以解不等式得B的取值范围．
试题解析：（I）因为与共线，则，即，
所以，即．又为锐角，则，所以．
（II）因为，，则
．
由题意知，即．
因为是锐角，所以，即，故角的取值范围是．
解答题（共10题）
1．【河南中原名校2017届高三上学期第三次质检，17】已知在中，角的对边分别是，且．
（I）求角的大小；
（II）若，求面积的最大值．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
（II）由余弦定理，可得，
又，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故面积的最大值为．
2．【重庆巴蜀中学2017届高三12月考，17】（本小题满分12分）
如图所示，在四边形中，，且，，．
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）若，求的长．
【答案】(I)；(II)．
【解析】
3．【河南百校联盟2017届高三11月质检，18】已知中，角，，的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的取值范围是．
【解析】
试题分析：（I）由正弦定理化简已知，整理可得：，由余弦定理可得，结合范围即可得解的值．
（II）由正弦定理可得，，又，则求得的范围即可得解的取值范围
4．【山西晋中榆社中学2017届高三上学期11月考】已知函数．
（I）将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，若，求函数的值域；
（II）已知，分别为中角的对边，且满足，求的面积．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
试题分析：化简，（I）平移得，又当时，；当时，所求值域为；（II）由正弦定理得： ，由 ．
5．【安徽百校论坛2017届高三上学期第2联考，20】（本小题满分12分）
如图，在中，角所对的边分别为，且，为边上一点．
（1） 若，求的长；
（1） 若是的中点，且，求的最短边的边长．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
，∴，则，
∴，
，
∴．
（1） 由得，
，∴，
则，得
∴，则，
且，
∴，∴．
解得，∴．
∴的最短边的边长．
6．【安徽淮北一中2017届上学期第4次模拟，19】（本小题满分12分）在中，角的对角分别为且．
（I）求；
（II）若为边的中点，且，求面积的最大值．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
试题解析：
（I），由正弦定理得，即．
（II）由，得，即，
（当且仅当时，等号成立），得
面积．
7．已知向量，，函数，．
（I）求函数的图像的对称中心坐标；
（II）将函数图像向下平移个单位，再向左平移个单位得函数的图像，试写出的解析式并作出它在上的图像．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
（II）=，列表：
描点、连线得函数在上的图象如图所示：
12分
8．已知向量，＝，函数，
（I）求函数的解析式及其单调递增区间；
（II）当x∈时，求函数的值域．
【答案】（I） ，单调递增区间是；
（II） 函数的值域是．
【解析】
单调递增区间是
（II），，，函数的值域是．
9．已知函数，其中，
．若函数相邻两对称轴的距离等于．
（I）求的值；并求函数在区间的值域；
（II）在△中，、、分别是角、、的对边，若，求边，的长．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
10．已知向量，，函数
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）在中，内角的对边分别为，且
，若对任意满足条件的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．
【解析】