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- 2021-06-25 发布
【知识网络】
【考点聚焦】
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用 A、B、C 表示）．
要 求
内 容
A B C
三角函数的概念 √
同角三角函数的基本关系式 √
正弦函数、余弦函数的诱导公式 √
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 √
函数 的图象与性质 √
两角和（差）的正弦、余弦及正切 √
基本初等
函数Ⅱ（三
角函数）、
三角恒等
变换
二倍角的正弦、余弦及正切 √
解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用 √
1.原题（必修 4 第十页 A 组第五题）
变式 1 下列说法中正确的是( )
)sin( ϕω += xAy
A．第一象限角一定不是负角 B．－831°是第四象限角
C．钝角一定是第二象限角 D．终边与始边均相同的角一定相等
【答案】C.
变式 2 已知θ为第二象限角，那么 是（ ）
A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角
C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角
【答案】D.
【答案】C.
【解析】
当 时， 在第一象限；当 时， 在第三象限；
而 ， 在第三象限；答案：C .
3
θ
2 2 ,( ), ,( ),2 4 2 2k k k Z k k k Z
π π α ππ α π π π π+ < < + ∈ + < < + ∈
2 ,( )k n n Z= ∈
2
α
2 1,( )k n n Z= + ∈
2
α
cos cos cos 02 2 2
α α α= − ⇒ ≤
2
α∴
2.原题（必修 4 第十页 B 组第二题）变式时钟的分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间
里转过的弧度数为( ) A.14
3 π B．－14
3 π C. 7
18 π D．－ 7
18
π
【答案】B.
【解析】 显然分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的
1
3，用弧度制表
示就是－4π－
1
3×2π＝－
14
3 π.故选 B.
3.原题（必修 4 第十九页例 6）变式 （1）已知 ，且 为第二象限角，求 ；
（2）已知 = ，求 .
【解析】（1） ，且 为第二象限角，
= .
（ 2 ） ， 为 象 限 角 . 当 为 第 一 或 第 四 象 限 角 时 ，
= ， ； 当 为 第 二 或 第 三 象 限 角 时 ，
， ，综上， 的值为 或
.
4.原题（必修 4 第十九页例 7）变式 若 的值是
（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D.
【答案】B.
sinα 1
3
= α tanα
sinα m ( 0, 1)m m≠ ≠ ± tanα
1sin 3
α = α
2cos 1 sinα α∴ = − − 2 2
3
− sin 2tan cos 4
αα α∴ = = −
sin ( 0, 1)m m mα = ≠ ≠ ± α∴ α
2cos 1 sinα α= − 21 m−
2
tan
1
m
m
α =
−
α
2cos 1 mα = − −
2
tan
1
m
m
α = −
− tanα
21
m
m− 21
m
m
−
−
sin cos 1, sin cos 1,a b abθ θ θ θ+ = − = 则
2
5.原题（必修 4 第二十二页习题 1.2B 组第二题）变式 化简 为
（ ）
A. C. B. D. 不能确定
【答案】C.
【解析】:C .原式=
6.原题（必修 4 第二十二页 B 组第三题）变式 已知 ，计算：（1） ；
（2）
【解析】：（1）原式 ；（2）原式
7.原题（必修 4 第二十三页探究）变式 1 化简 得( )
A. B. C. D.±
【答案】C.
1 sin 2 1 sin 2
1 sin 2 1 sin 2
x x
x x
+ −−− +
2tan x 2tan x− 2tan x±
2tan 2 ,4 4
32tan 2 ,4 4
x x k k
x x k k
π ππ π
π ππ π
∈ − + − ∈ + +
tan 2α = 2sin cos
sin 2cos
α α
α α
−
+
2 2sin sin cos 2cosα α α α+ −
2tan 1 3
tan 2 4
α
α
−= =+
2 2
2 2
sin sin cos 2cos
sin cos
α α α α
α α
+ −= +
2
2
tan tan 2 4
tan 1 5
α α
α
+ −= =+
1 2sin( 2) cos( 2)+ π − ⋅ π −
sin 2 cos2+ cos2 sin 2− sin 2 cos2− cos2 sin 2−
【答案】B.
【解析】
, ,
8. 原 题 （ 必 修 4 第 二 十 七 页 例 4 ） 变 式 已 知 角 x 终 边 上 的 一 点 P （ -4 ， 3 ），则
的值为 .
【解析】 ，根据三角函数的定义，可知
9.原题（必修 4 第四十一页练习题 6）变式 函数 的单调递增区间
为 .
【 解 析 】 ， ∴ 所 求 的 递 增 区 间 就 是 使
的 值 为 正 值 的 递 减 区 间 ， 由 得 ：
∴ 所 求 的 递 增 区 间 为
(2001) sin(2001 ) cos(2001 ) 4 sin( ) cos( )f a b a bπ α β α β= + + π + + = π + + π +
sin cos 4 5a bα β= − − + = sin cos 1a bα β∴− − =
(2010) sin(2010 ) cos(2010 ) 4 sin cos 4 1 4 3f a b a bα β α β= π + + π + + = + + = − + =
( )cos sin2
9cos sin2 2
x x
x x
π π
π π
+ − −
− +
( )cos sin sin sin2 tan9 sin coscos sin2 2
x x x x xx xx x
π π
π π
+ − − − • = = −• − +
3 3tan , =-tan4 4
yx xx
= = − =所以原式
1
2
log cos 3 4
xy
π = − −
1 1
2 2
log cos log cos3 4 3 4
x xy
π π = − − = +
cos 3 4
xy
π = + 2 2 ,3 4 2
xk k k z
π ππ π≤ + 〈 + ∈
3 36 6 , .4 4k x k k zπ π π π− + ≤ 〈 + ∈
答案：
10.原题（必修 4 第五十三页例 1）变式 设 ω>0，函数 y＝sin (ωx＋
π
3 )的图象向右平移
4π
3
个单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是( )
A.
2
3 B.
4
3 C.
3
2 D．3
【答案】C.
11.原题（必修 4 第五十六页练习题 3）变式 的振幅为 ，频率和初
相分别为 ， .
【解析】 2
12.原题（必修 4 第五十八页例 4）变式 某正弦交流电的电压（单位 V）随时间 t（单位：s）
变化的函数关系是 .
（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅；
（2）当 ， 时，求瞬时电压；
（3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为 84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点
亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于 84V 时灯管才发光. 取 ）
【解析】（1）周期 ， 频率 ，振幅 .
（2） 时， （V）；
时， （V）.
( )3 36 , 64 4k k k zπ π π π − + + ∈
( )3 36 , 64 4k k k zπ π π π − + + ∈
sin 2 4y x
π = − ______
______ ______
1
π 4
π−
120 2 sin(100 ), [0, )6v t t
ππ= − ∈ +∞
1
600t = 1
60
2 1.4≈
2 1
100 50T
π
π= = 1 50f T
= = 120 2A =
1
600t = 1120 2 sin(100 ) 120 2 sin0 0600 6v
ππ= × − = =
1
60t = 1 3120 2 sin(100 ) 120 2 sin 120 260 6 2v
π ππ= × − = = −
（3）由 及 ，得 .
结合正弦图象，取半个周期，有 ，解得 .
所以，半个周期内霓虹灯管点亮的时间为 （s）.
13.原题（必修 4 第六十页例 2）变式 在函数 、 、 、
中，最小正周期为 的函数的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
14.原题（必修 4 第六十九页复习参考题 A 组第八题）变式 已知 是关于的方程
的两个实根，且 ，求 的值．
【解析】 ，而 ，则 得
，则 .
15.原题（必修 4 第七十一页复习参考题 B 组第六题）变式 已知
的值域为 .
【解析】
120 2 sin(100 ) 846t
ππ − > 2 1.4≈ 1sin(100 )6 2t
ππ − >
51006 6 6t
π π ππ< − < 1 1
300 100t< <
1 1 2
100 300 300
− =
xy sin= xy sin= )3
22sin(
π+= xy
2tan(2 )3y x
π= + π
1tan tan
α α，
2 2 3 0x kx k− + − = παπ
2
73 << 2sin cos sinα α α+
21tan 3 1, 2tan k kα α⋅ = − = ∴ = ± παπ
2
73 << 1tan 2,tan kα α+ = =
tan 1α =
2 2
2
2 2 2
sin cos sin tan tansin cos sin 1cos sin 1 tan
α α α α αα α α α α α
+ ++ = = =+ +
2 2
2
1 21, yx y u x x
− = = +则
2 2 1,x y− =
的增大而增大.
∴所求值域为（-1，2）.
16. 原 题 （ 必 修 4 第 一 百 二 十 七 页 例 2 ） 变 式 已 知
求 .
17.原题（必修 4 第 137 页 A 组第十题）已知： ， 是方程 的两根，
试求 的值.
变 式 已 知 ： , 是 方 程 的 两 根 ， 求
的值.
【解析】由题意有 ， ，
∴ ，
∴
( )
2 2
2
2
1
cos
tan
1 2tan cos 2sin sin 2sin 1sec
sin 1 2, 1 sin 1
x sec
y
u sec
θ θ
θ
θ θ θ θ θθ θ
θ θ
= =∴
=
∴ = + = + = − + +
= − − + − 〈 〈
可设
其中
sinu θ随 sin 1 2, sin 1 2u uθ θ→ − → − → →又 当 时， 当 时，
4 3 1cos , , ,tan , , ,5 2 3 2
πα α π π β β π = − ∈ = − ∈
( )cos α β+
αtan βtan 0382 =−− xx
)tan( βα +
αtan βtan 0382 =−− xx
2)cos()sin(3)(sin 2 +++−+ βαβαβα
8tantan =+ βα 3tantan −=βα
2)3(1
8
tantan1
tantan)tan( =−−=−
+=+ βα
βαβα
2)cos()sin(3)(sin 2 +++−+ βαβαβα
.
18.原题（必修 4 第一百三十九页例 1）变式 化简： 的结果
是 .
【解析】2sin2
19.原题（必修 4 第 147 页复习参考题 B 组第七题）变式 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，P、
Q 分别为 AB、DA 上的点，当∠PCQ= 时，求△APQ 的周长.
20. 原 题 （ 必 修 4 第 一 百 四 十 七 页 复 习 参 考 题 B 组 第 六 题 ） 变 式 若 函 数
在区间 上的最小值为 3，求常数 的值及此函数当
(其中可取任意实数)时的最大值.
21.原题（必修 5 第 3 页例 1）变式 中，角 所对的边分别为 ，若
， 则的值为（ ）
【解析】先求出 ，再求出 ，最后用一次正弦定理即得.选 D.
22.原题（必修 5 第 10 页习题 1.1A 组第 2 题）变式 1 在三角形 ABC 中，分别根据下列条件解
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
3C
π= 3 2 6,a c= =
. 3A . 2B . 6 1C − . 6 1D +
sin A sinB
)(cos)(sin
)](cos)([sin2)cos()sin(3)(sin
22
222
βαβα
βαβαβαβαβα
+++
++++++−+=
5
8
12
22323
1)(tan
2)tan(3)(tan3
2
2
2
2
=+
+×−×=++
++−+= βα
βαβα
2 1 sin 4 2 2cos4+ + +
045
2( ) 3sin 2 2cosf x x x m= + + [0, ]2
π
m
[ , ]x a a π∈ +
三角形，其中有两个解的是（ ）
A．a=8 b=16 A= B. a=25 b=30 A=
C. a=30 b=40 A= D. a=72 b=60 A=
【解析】C.
变式 2 在△ABC 中，已知 ， ，B=45° ，求 A、C 及 c.
23.原题（必修 5 第 10 页习题 1.1B 组第 2 题）变式 （2010 辽宁）在△ABC 中，a, b, c 分别为
内角 A, B, C 的对边，且 （Ⅰ）求 A 的大小；（Ⅱ）求
的最大值.
【解析】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即 ，由余弦定理得 ，故 ，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当 B=30°时，sinB+sinC 取得最大值 1.
30° 150°
30° 135°
2b =
2 sin (2 )sin (2 )sin .a A a c B c b C= + + +
sin sinB C+
22 (2 ) (2 )a b c b c b c= + + +
2 2 2a b c bc= + + 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 1cos 2A = −
sin sin sin sin(60 )B C B B+ = + °−
3 1cos sin2 2
sin(60 )
B B
B
= +
= °+
3a =
24.原题（必修 5 第 11 页例 2）变式 如图,为了测量河对岸两个建筑物 C、D 之间的距离,在河
岸这边取两点 A、B,测得∠BAC=45°,∠DAC=75°,∠ABD=30°,∠DBC=45°.又 AB= 千米,A、
B、C、D 在同一平面内,试求 C、D 之间的距离.
25.原题（必修 5 第 19 页习题 1.2A 组第 1 题）变式 一只船以均匀的速度由 A 点向正北方向
航行，如图，开始航行时，从 A 点观测灯塔 C 的方位角为 30°，行驶 60 海里后，船在 B 点观
测灯塔 C 的方位角为 45°，求 A 到 C 的距离．
【解析】A 到 C 的距离为 海里．
【感受高考】
1.【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 为 的零
点, 为 图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为( )
60 60 3+
( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x
π πω ϕ ω ϕ= > ≤ = −， ( )f x
4x
π= ( )y f x= ( )f x 5
18 36
π π
， ω
（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
【答案】B
【解析】
试 题 分 析 ： 因 为 为 的 零 点 , 为 图 像 的 对 称 轴 , 所 以
,即 ,所以 ,又因为 在
单调,所以 ,即 ,由此 的最大值为 9.故选 B.
2.【2016 年高考四川理数】为了得到函数 的图象，只需把函数 的图
象上所有的点( )
（A）向左平行移动 个单位长度 （B）向右平行移动 个单位长度
（C）向左平行移动 个单位长度 （D）向右平行移动 个单位长度
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，为了得到函数 ，只需把函数 的
图像上所有点向右移 个单位，故选 D.
3.【2016 高考新课标 2 理数】若 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
πsin(2 )3y x= − sin 2y x=
π
3
π
3
π
6
π
6
sin(2 ) sin[2( )]3 6y x x
π π= − = − sin 2y x=
6
π
3cos( )4 5
π α− = sin 2α =
7
25
1
5
1
5
− 7
25
−
4x
π= − ( )f x 4x
π= ( )f x
( )4 4 4
T kT
π π− − = + 4 1 4 1 2
2 4 4
k kT
π π
ω
+ += = ⋅ 4 1( *)k k Nω = + ∈ ( )f x
5,18 36
π π
5 2
36 18 12 2 2
Tπ π π π
ω− = ≤ = 12ω ≤ ω
4. 【 2016 高 考 新 课 标 1 卷 】 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 已 知
（I）求 C；
（II）若 的面积为 ,求 的周长．
【答案】（I） （II）
【解析】
（II）由已知, ．
又 ,所以 ．
由已知及余弦定理得, ．
ABC∆
2cos ( cos cos ) .C a B+b A c=
7,c ABC= ∆ 3 3
2 ABC
C 3
π= 5 7+
1 3 3sin C2 2ab =
C 3
π= 6ab =
2 2 2 cosC 7a b ab+ − =
故 ,从而 ．
所以 的周长为 ．
5.【2016 高考天津理数】已知函数 f(x)=4tanxsin( )cos( )- .
(Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论 f(x)在区间 ]上的单调性.
【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ）在区间 上单调递增, 在区间
上单调递减.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本
三角函数： ，再根据正弦函数性质求定义域、周期 根据（1）的结论，
研究三角函数在区间 ]上单调性
试题解析： 解： 的定义域为 .
.
所以, 的最小正周期
2 2 13a b+ = ( )2 25a b+ =
C∆ΑΒ 5 7+
2 x
π −
3x
π− 3
,4 4
π π−
,2x x k k Z
π π ≠ + ∈
.π ,12 4
π π −
4 12
π π − − ，
( )( )=2sin 2 3f x x
π− ( )ΙΙ
,4 4
π π−
( )Ι ( )f x ,2x x k k Z
π π ≠ + ∈
( ) 4tan cos cos 3 4sin cos 33 3f x x x x x x
π π = − − = − −
21 3=4sin cos sin 3 2sin cos 2 3sin 32 2x x x x x x
+ − = + −
( ) ( )=sin 2 3 1-cos2 3 sin 2 3 cos2 =2sin 2 3x x x x x
π+ − = − −
( )f x 2 .2T
π π= =