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- 2021-06-25 发布
河北省宣化第一中学、张北县第一中学2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题
一、选择题（本大题共12小题）
1. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 下列有关命题的说法错误的是（ ）
A. 若“”为假命题,则p,q均为假命题
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “”的必要不充分条件是“”
D. 若命题p：,,则命题：,
3. “”是“曲线为焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是（）
①从30件产品中抽取3件进行检查．
②某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本；
③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．
A. 简单随机抽样,系统抽样,分层抽样
B. 分层抽样,系统抽样,简单随机抽样
C. 系统抽样,简单随机抽样,分层抽样
D. 简单随机抽样,分层抽样 ,系统抽样
5. 从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少2个白球,都是红球 B. 至少1个白球,至少1个红球
C. 至少2个白球,至多1个白球 D. 恰好1个白球,恰好2个红球
6. 工人月工资元与劳动生产率千元变化的回归直线方程为，下列判断不正确的是
A. 劳动生产率为1000元时,工资约为130元
B. 工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系
C. 劳动生产率提高1000元时,则工资约提高130元
D. 当月工资为210元时,劳动生产率约为2000元
7. 同时掷两个骰子，向上的点数之和是6的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )
河北省宣化第一中学、张北县第一中学2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题
一、选择题（本大题共12小题）
1. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 下列有关命题的说法错误的是（ ）
A. 若“”为假命题,则p,q均为假命题
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “”的必要不充分条件是“”
D. 若命题p：,,则命题：,
3. “”是“曲线为焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是（）
①从30件产品中抽取3件进行检查．
②某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本；
③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．
A. 简单随机抽样,系统抽样,分层抽样
B. 分层抽样,系统抽样,简单随机抽样
C. 系统抽样,简单随机抽样,分层抽样
D. 简单随机抽样,分层抽样 ,系统抽样
5. 从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少2个白球,都是红球 B. 至少1个白球,至少1个红球
C. 至少2个白球,至多1个白球 D. 恰好1个白球,恰好2个红球
6. 工人月工资元与劳动生产率千元变化的回归直线方程为，下列判断不正确的是
A. 劳动生产率为1000元时,工资约为130元
B. 工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系
C. 劳动生产率提高1000元时,则工资约提高130元
D. 当月工资为210元时,劳动生产率约为2000元
7. 同时掷两个骰子，向上的点数之和是6的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
1. 在区间[-1，1]上任选两个数x和y，则x2+y2≥1的概率为（）
A. B. C. D.
2. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
（1）m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β
（2）n∥m，n⊥α⇒m⊥α
（3）α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
（4）m⊥α，m⊥n⇒n∥α
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3. 已知F1，F2是双曲线E：-=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
4. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是( )
A.
B. 的面积与的面积相等
C. 平面ABCD
D. 三棱锥的体积为定值
二、填空题（本大题共4小题）
5. 已知向量，，若，则实数x的值是______．
6. 已知x，y取值如表：
x
0
1
3
5
6
y
1
m
3m
5.6
7.4
画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为=x+1，则m的值为______．
7. 过椭圆=1内一点P（3，1），且被这点平分的弦所在直线的方程是______．
8. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，若E为AB的中点，则点E到面ACD1的距离是______．
三、解答题（本大题共6小题）
9. 设命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 2＜x≤3．
（1）若a=1，有p且q为真，求实数x的取值范围．
（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
1. 20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．
2. 设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
3. 如图，长为2，宽为的矩形ABCD，以A、B为焦点的椭圆M：=1恰好过C、D两点．
（1）求椭圆M的标准方程;
（2）若直线l：y=kx+3与椭圆M相交于P、Q两点，求S△POQ的最大值．
1. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，E是SA的中点．
Ⅰ求证：直线平面SAD；
Ⅱ求直线SA与平面BED的夹角的正弦值．
2. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．
（1）求该椭圆的方程：
（2）过点D（，-）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分条件和必要条件的判断，熟悉不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题.
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【解答】
解：∵，
由，
由，
∴“x<0”是“”的必要不充分条件.
故选B.
2.【答案】C
【解析】解：若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，故A正确；
“x=1”时，“x≥1”成立，“x≥1”时，“x=1”不一定成立，
故“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件，故B正确；
“sinx=”时，“x=”不一定成立，“x=”时，“sinx=”成立，
故“sinx=”的充分不必要条件是“x=”，故C错误；
若命题p：∃x0∈R，x02≥0，则命题￢p：∀x∈R，x2＜0，故D正确；
故选：C．
根据复合命题真假判断的真值表，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B，C，根据特称命题的否定，可判断D．
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题，充要条件，特称命题的否定，难度不大，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
利用椭圆的定义即可判断，分别判断充分条件，必要条件.
【解答】
解：∵“m＞n＞0”可以推出“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”，
“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”可以推出“n＞m＞0”.
∴“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件．
故选D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
①中，总体数量不多，宜用简单随机抽样；②中，某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810
人．宜用分层抽样；③中，总体数量较多，宜用系统抽样．
【解答】
解：①中，总体数量不多，适合用简单随机抽样；
②中，某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，适合于分层抽样；
③中，总体数量较多且编号有序，适合于系统抽样．
故选D．
5.【答案】A
【解析】解：从装有3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，
取球情况有：3个球都是红球；3个球中1个红球2个白球；
3个球中2个红球1个白球；3个球都是白球．
选项A中“至少2个白球“，与”都是红球“互斥而不对立，
选项B中“至少有一个白球”与“至少有一个红球”的交事件是“有1白球2个红球”或“有2白球1个红球”；
选项C中“至少有2个白球”与“至多1个白球”是对立事件；
选项D中“恰有一个白球”和“恰有两个红球”既不互斥也不对立．
故选：A．
分析出从装有3个红球和3个白球的口袋内任取3个球的所有不同情况，然后利用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案．
本题考查了互斥事件和对立事件的概念，对于两个事件而言，互斥不一定对立，对立必互斥，是基础的概念题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目．
根据线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断即可．
【解答】
解：根据线性回归方程为，得；
劳动生产率为1000元时，工资约为50+80×1=130元，A正确；
∵，∴工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系，B正确；
劳动生产率提高1000元时，工资约提高元，C错误；
当月工资为210元时，210=50+80x，解得x=2，
此时劳动生产率约为2000元，D正确．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：同时掷两枚骰子，
基本事件总数n=6×6=36，
向上的点数和是6包含的基本事件有：
（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），
共有5个，
∴向上的点数和是6的概率为p=．
故选：C．
【分析】
先求出基本事件总数n=6×6=36，再利用列举法求出向上的点数和是6包含的基本事件个数，由此能求出向上的点数和是6的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．
【解答】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，
A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），
=（-2，1，2），=（-2，0，1），
设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，
则cosθ===．
∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．
故选D．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
，平面区域是边长为2的正方形，x2+y2≥1的平面区间是圆外侧且正方形内侧的阴影部分，由几何概型概率计算公式能求出x2+y2≥1的概率．
【解答】
解：如图，在区间[-1，1]上任选两个数x和y，
则，平面区域是边长为2的正方形，
x2+y2≥1的平面区间是圆外侧且正方形内侧的阴影部分，
∴由几何概型概率计算公式得：
x2+y2≥1的概率为：
p=
=
=1-．
故选：A．
10.【答案】B
【解析】解：（1）由m⊂α，n⊂α，且m∩n=O，m∥β，n∥β⇒α∥β，故（1）错；
（2）n∥m，n⊥α⇒m⊥α，由线面垂直的性质定理，可得（2）正确；
（3）α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，则（3）错；
（4）m⊥α，m⊥n⇒n∥α或n⊂α，则（4）错．
综上可得，只有（2）正确．
故选：B．
由面面平行的判定定理，即可判断（1）；运用线面垂直的性质定理，即可判断（2）；
由面面平行的定义和性质，即可判断（3）；由线面的位置关系，及线面垂直的性质即可判断（4）．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，注意运用判定定理和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题．
由条件MF1⊥F1F2，sin∠MF2F1=，列出关系式，从而可求离心率．
【解答】
解：由题意，M为双曲线左支上的点，
则丨MF1丨=，丨MF2丨=，
∴sin∠MF2F1=，∴=，
可得：2b4=a2c2，即b2=ac，又c2=a2+b2，
可得e2-e-=0，
e＞1，解得e=．
故选：A．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点、线、面位置关系作出正确判断，题目常规．
熟练掌握线、面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线、面垂直的证明是解答本题的知识保证．
【解答】
解：A．由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，BE面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确，排除A选项；
B．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故B是错误的；
C．EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确，排除C选项；
D．三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，排除D选项.
故选B．
13.【答案】-4或1
【解析】【分析】
本题考查空间向量垂直关系的坐标运算，是基础题.
利用空间向量垂直的坐标表示，列出方程即可.
【解答】
解：向量，，
若，所以，
解得x=-4或1.
故答案为：-4或1.
14.【答案】
【解析】解：计算=×（0+1+3+5+6）=3，
=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，
∴这组数据的样本中心点是（3，），
又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，
∴=1×3+1，
解得m=，
即m的值为．
故答案为：．
计算、，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值．
本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．
15.【答案】3x+4y-13=0
【解析】解：设以点P（3，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），
则x1+x2=6，y1+y2=2．
又=1，①
=1，②
①-②得：+=0
又据对称性知x1≠x2，
∴以点P（3，1）为中点的弦所在直线的斜率k=-=-，
∴中点弦所在直线方程为y-1=-（x-3），即3x+4y-13=0．
故答案为：3x+4y-13=0．
设出以点P（3，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法可求得以P（3，1）为中点的弦所在直线的斜率．再由点斜式可求得直线方程．
本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于基础题．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到面ACD1的距离．
【解答】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），
=（-1，2，0），=（-1，0，1），=（0，1，0），
设平面ACD1的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（2，1，2），
∴点E到面ACD1的距离：
d==．
故答案为：．
17.【答案】解：（1）命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a，
命题q中：实数x满足 2＜x≤3，
若a=1，则p中：1＜x＜3，
∵p且q为真，∴，解得2＜x＜3，
故所求x∈（2，3）；
（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，
则q是p 的充分不必要条件，
∴，解得1＜a≤2，
∴a的取值范围是（1，2]．
【解析】本题考查了不等式的解法、复合命题、充分条件的判断应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（1）命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a，若a=1，则p中：1＜x＜3，由p且q为真，可得p与q都为真，即可得出.
（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，可得q是p 的充分不必要条件，即可得出.
18.【答案】解：（Ⅰ）根据直方图知组距为10，由（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，解得a=0.005．
（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，
成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．
（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，
其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，
故所求概率为P=．
【解析】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．
（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；
（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求；
（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．
19.【答案】解：设事件A为“方程有实根”．
当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：
（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，
∴事件A发生的概率为P==
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}
满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}
∴所求的概率是
【解析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b
（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．
本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．
20.【答案】（1）设B（c，0），由条件知，C（c，）,
∴，解得a=2，b=1,
故M的方程为 +y2=1．
（2）将l：y=kx+3代入 +y2=1,
（1+4k2）x2+24kx+32=0，设P（x1,y1）,Q(x2,y2),
=64（k2-2）＞0，即k2＞2，
,
从而|PQ|=|x1-x2|=,
又点O到直线PQ的距离d=，
所以△POQ的面积S△OPQ=d|PQ|=．
设=t，则t＞0，S△OPQ=．
当且仅当t=时等号成立，且满足＞0，
所以，△POQ的面积最大值为1.
【解析】（1）设B（c，0），推出C（c，）利用已知条件列出方程组即可求解M的方程．
（2）将l：y=kx+3代入 +y2=1，利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离公式，表示三角形的面积，利用基本不等式求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
21.【答案】（Ⅰ）证明：∵SD⊥平面ABCD，
∴SD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩SD=D，
∴AB⊥平面SAD.
（Ⅱ）设点A到平面BED的距离为h，正方形的边长为2，
∵SD⊥底面ABCD，E为SA中点，
∴E到底面ABCD的距离为，
在中，，
在底面ABCD中，，，
由（Ⅰ）知，∠BAE=90°，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
所以直线SA与平面BED所成角的正弦值为.
【解析】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
（Ⅰ）证明SD⊥AB，结合AD⊥AB，即可证明BA⊥平面SAD．
（Ⅱ）利用等积法求解即可．
22.【答案】解：（1）由题意可知：椭圆+=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=2，c=1，
椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2-c2=1，
则椭圆的标准方程：；
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），
当斜率不存在时，x=与椭圆只有一个交点，不合题意.
由题意PQ的方程：y=k（x-）-，
则联立方程，
整理得：（2k2+1）x2-（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，
由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，
则y1+y2=k（x1+x2）-2k-2=，
则kAP+kAQ=+=，
由y1x2+y2x1=[k（x1-）-]x2+[k（x2-）-]x1
=2kx1x2-（k+）（x1+x2）=-，
kAP+kAQ===1，
∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．
【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．
（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；
（2）则直线PQ的方程：y=k（x-）-，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的斜率之和为定值．