2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第21练 55页

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 21 练　圆锥曲线的定义、方程与 性质 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点 . 2 . 题目难度：中等偏难 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一 　圆锥曲线的定义及标准方程 方法技巧 　 (1) 应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件 . (2) 凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化 . (3) 求解圆锥曲线的标准方程的方法是 “ 先定型，后计算 ”. 核心考点突破练 1. 已知 A (0 ， 7) ， B (0 ，－ 7) ， C (12 ， 2) ，以 C 为一个焦点作过 A ， B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是 √ 解析 答案 解析　 由两点间距离公式，可得 | AC | ＝ 13 ， | BC | ＝ 15 ， | AB | ＝ 14 ， 因为 A ， B 都在椭圆上 ， 所以 | AF | ＋ | AC | ＝ | BF | ＋ | BC | ， | AF | － | BF | ＝ | BC | － | AC | ＝ 2<14 ， 故 F 的轨迹是以 A ， B 为焦点的双曲线的下支 . 由 c ＝ 7 ， a ＝ 1 ，得 b 2 ＝ 48 ， √ 解析 答案 ∴ 双曲线渐近线方程为 y ＝ ± x . 解析 答案 又 | PF 1 | － | PF 2 | ＝ 2 ， 所以 | PF 1 | ＝ 3 ， | PF 2 | ＝ 1. 所以有 | PF 1 | 2 ＝ | PF 2 | 2 ＋ | F 1 F 2 | 2 ， 即 △ PF 1 F 2 为直角三角形，且 ∠ PF 2 F 1 为直角， 解析 　 由题意得抛物线的标准方程为 x 2 ＝ 16 y ， 焦点 F (0 ， 4) ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 由 | AB | ≤ | AF | ＋ | BF | ＝ ( y 1 ＋ 4) ＋ ( y 2 ＋ 4) ＝ y 1 ＋ y 2 ＋ 8 ， 解析 答案 8 ∴ 线段 AB 的中点 P 离 x 轴最近时点 P 的纵坐标为 8. 考点二　圆锥曲线的几何性质 方法技巧 　 (1) 确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于 a ， b ， c 的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) ，再根据 a ， b ， c 的关系消掉 b 得到 a ， c 的关系式 . (2) 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 . √ 解析 答案 √ 解析 答案 解析　 如图，过点 F 1 向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为 P ′ ，连接 P ′ F 2 ， 由 题意可知，四边形 PF 1 P ′ F 2 为平行四边形，且 △ PP ′ F 2 是直角三角形 . 因为 | F 2 P | ＝ b ， | F 2 O | ＝ c ，所以 | OP | ＝ a . 7.(2017· 山东 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 x 2 ＝ 2 py ( p ＞ 0) 交于 A ， B 两点，若 | AF | ＋ | BF | ＝ 4| OF | ，则该双曲线的渐近线方程为 __________. 解析 答案 解析 　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 又 ∵ | AF | ＋ | BF | ＝ 4| OF | ， 8.(2017· 全国 Ⅰ ) 已知双曲线 C ： 的 右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ， N 两点 . 若 ∠ MAN ＝ 60° ，则 C 的离心率为 ________. 解析 答案 即 bx － ay ＝ 0 ， 又 ∠ MAN ＝ 60° ， | MA | ＝ | NA | ＝ b ， ∴△ MAN 为等边三角形， 考点三　圆锥曲线的综合问题 方法技巧 　 (1) 圆锥曲线范围、最值问题的常用方法 定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法 . (2) 圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明 . √ 解析 答案 假设焦点在 x 轴上，则 2 ＋ m ＞－ ( m ＋ 1) ＞ 0 ， 假设焦点在 y 轴上，则－ ( m ＋ 1) ＞ 2 ＋ m ＞ 0 ， √ 解析 答案 解析　 如图，因为 MF 1 与 x 轴垂直， 即 | MF 2 | ＝ 3| MF 1 |. 所以 b 2 ＝ a 2 ，所以 c 2 ＝ b 2 ＋ a 2 ＝ 2 a 2 ， 11. 过抛物线 y ＝ ax 2 ( a >0) 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 A ， B 两点，若线段 AF ， BF 的长分别为 m ， n ，则 ＝ _____. 解析 答案 解析　 显然直线 AB 的斜率存在， 解析 答案 [1 ， 4] 解析 　 由已知得 2 b ＝ 2 ，故 b ＝ 1 ， 又 a 2 － c 2 ＝ ( a － c )( a ＋ c ) ＝ b 2 ＝ 1 ， ∴ 1 ≤ － | PF 1 | 2 ＋ 4| PF 1 | ≤ 4 ， 易错易混专项练 √ 解析 答案 2. 若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为 则椭圆的方程为 ______________________. 解析 答案 所以 b 2 ＝ a 2 － c 2 ＝ 9. 解析 答案 (1 ， 2) 解析　 设 P ( x ， y ) ，由题设 条件， 得动点 P 的轨迹方程为 ( x － 1)( x ＋ 1) ＋ ( y － 2)( y － 2) ＝ 0 ， 即 x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 1 ，它是以 (0 ， 2) 为圆心， 1 为半径的圆 . 即 bx ± ay ＝ 0 ， 解题秘籍 　 (1) 椭圆的焦点位置不明确时，要分焦点在 x 轴上或 y 轴上进行讨论 . (2) 范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 A.2 B.6 C.8 D.14 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得 a 2 ＝ 9 ， a ＝ 3 ， ∴ 椭圆的长轴长为 2 a ＝ 6 ， 由椭圆的定义可知， | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 4 ＋ | PF 2 | ＝ 6 ， ∴ | PF 2 | ＝ 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 因为抛物线方程是 y 2 ＝ 4 x ，所以 F (1 ， 0). 又 因为 PF ⊥ x 轴 ， √ 解析 答案 所以 k ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 的焦点作直线交抛物线于 P ， Q 两点，若线段 PQ 中点的横坐标为 3 ， | PQ | ＝ 10 ，则抛物线的方程是 A. y 2 ＝ 4 x B. y 2 ＝ 2 x C. y 2 ＝ 8 x D. y 2 ＝ 6 x √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 设抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 的焦点为 F ， P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， 由抛物线的定义可知， ∵ 线段 PQ 中点的横坐标为 3 ， 又 | PQ | ＝ 10 ， ∴ 10 ＝ 6 ＋ p ，可得 p ＝ 4 ， ∴ 抛物线的方程为 y 2 ＝ 8 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 　 设 A ( x ， y ) ， B 为虚轴的上顶点 ， ∵ 右焦点为 F ( c ， 0) ，点 B (0 ， b ) ，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得 a 2 ＝ 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 　 如图，不妨设 A 在 B 的上方， 其中的一条渐近线为 bx － ay ＝ 0 ， 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ： ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的左焦点， A ， B 分别为 C 的左、右顶点 . P 为 C 上一点，且 PF ⊥ x 轴 . 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E . 若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 解析 答案 √ 又 B ， D ， M 三点共线， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 不妨设 P 为双曲线右支上一点 ， | PF 1 | ＝ r 1 ， | PF 2 | ＝ r 2 . 根据 双曲线的定义，得 r 1 － r 2 ＝ 2 a ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 设 F 1 ， F 2 分别是椭圆 ＝ 1 的左、右焦点， P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为 (6 ， 4) ，则 | PM | ＋ | PF 1 | 的最大值为 ____. 解析 答案 15 所以 c ＝ 3 ，得焦点为 F 1 ( － 3 ， 0) ， F 2 (3 ， 0 ). 根据 椭圆的定义 ，得 | PM | ＋ | PF 1 | ＝ | PM | ＋ (2 a － | PF 2 |) ＝ 10 ＋ (| PM | － | PF 2 |). 因为 | PM | － | PF 2 | ≤ | MF 2 | ， 当且仅当 P 在 MF 2 的延长线上时等号成立， 此时 | PM | ＋ | PF 1 | 的最大值为 10 ＋ 5 ＝ 15. 又 | BP | ＝ | AO | ＝ 2 ， ∴ | MB | ＝ | MP | ＋ | BP | ＝ 3. 由抛物线的定义知 | MF | ＝ | MB | ＝ 3 ，故 | FN | ＝ 2| MF | ＝ 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(2017· 全国 Ⅱ ) 已知 F 是抛物线 C ： y 2 ＝ 8 x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N . 若 M 为 FN 的中点，则 | FN | ＝ _____. 解析 答案 6 解析　 如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A ， 过 点 M 作准线的垂线，垂足为点 B ，交 y 轴于点 P ， ∴ PM ∥ OF . 由题意知， F (2 ， 0) ， | FO | ＝ | AO | ＝ 2. ∵ 点 M 为 FN 的中点， PM ∥ OF ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 已知抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 上的一点 M (1 ， t )( t >0) 到焦点的距离为 5 ，双曲线 ＝ 1( a >0) 的左顶点为 A ，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 的值为 ___. 解析 答案 3 ∴ M (1 ， 4) ， 由于双曲线的左顶点 A ( － a ， 0) ， 且直线 AM 平行于双曲线的一条渐近线 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 　 设 P ( x ， y )( y ≠ 0) ，取 MF 1 的中点 N ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 整理得 ( x － c ) 2 ＋ y 2 ＝ c 2 ( y ≠ 0) ， 所以点 P 的轨迹为以 ( c ， 0) 为圆心， c 为半径的圆 ( 去除两点 (0 ， 0) ， (2 c ， 0)) ， 要 使得圆与椭圆有公共点， 又 0< e <1 ，