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- 2021-06-24 发布
二、函数与导数
1函数是数集到数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，只能一对一或者多对一，不能一对多．
2求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．
3用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．
4分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
5判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
6弄清函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.
“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．
7求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
8函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．
(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．
9求函数最值(值域)常用的方法
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．
(2)图象法：适合于己知或易作出图象的函数．
(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．
(4)导数法：适合于可导函数．
(5)换元法(特别注意新元的范围)．
(6)分离常数法：适用于一次分式．
(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．
10二次函数问题
(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．
(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．
11有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.
12(1)指数运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
(2)对数运算性质
已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
则loga(MN)＝logaM＋logaN，
loga＝logaM－logaN，
logaMn＝nlogaM，
对数换底公式：logaN＝.
推论：logamNn＝logaN；logab＝.
(3)指数函数与对数函数的图象与性质
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．
13幂函数y＝xα(α∈R)
(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线．
②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线．
③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的．
④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．
(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数；②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数．
14函数与方程
(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．
(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．
15求导数的方法
(1)基本导数公式：c′＝0(c为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a；(ln x)′＝；(logax)′＝(a>0且a≠1)．
(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；
(uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0)．
(3)复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.
如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则
(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.
16函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
注意：过某点的切线不一定只有一条．
17利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．
注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．
18导数为零的点并不一定是极值点，如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
函数概念不清致误
已知函数f(x2－3)＝lg ，求f(x)的定义域．
[错解] 由>0，得x>2或x<－2.
∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}．
[错因分析] 错把lg 的定义域当成了f(x)的定义域．
[正解] 由f(x2－3)＝lg ，设x2－3＝t，则x2＝t＋3，因此f(t)＝lg .
∵>0，即x2>4，∴t＋3>4，即t>1.
∴f(x)的定义域为{x|x>1}．
[防范措施] 失分的原因是将f(x2－3)的定义域与f(x)的定义域等同起来了．事实上，f(x2－3)＝lg与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域，造成错误的原因在于未弄清函数的概念．求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式，可避免出错．
补救训练1 [2016·河南郑州一模]若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
答案 [0,1)
解析 ∵0≤2x≤2，∴0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，
∴0≤x<1，即函数g(x)的定义域是[0,1).
分段函数的意义理解不准确致误
函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调，则a的取值范围是________．
[错解1] 若f(x)在R上单调递减，则有
解得a<－1；若f(x)在R上单调递增，则有解得a>1.
[错解2] ∵f(x)在R上单调，所以有
解得a≤－.
[错解3] ∵f(x)在R上单调，
所以有解得10，即函数的定义域．
[正解] 由x2－5x＋6>0知{x|x>3或x<2}．令u＝x2－5x＋6，则u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y＝log (x2－5x＋6)的单调增区间为(－∞，2)．
[答案] (－∞，2)
[防范措施] 本题失分的原因就在于忽略了函数的定义域这一隐含条件.在研究函数问题时，不论什么情况，首先研究函数的定义域，这是研究函数的一条最基本原则.
补救训练3 [2016·辽宁沈阳质检]已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)0，即36a2－4×3×3(a＋2)>0，解得a>2或a<－1.即a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
函数零点求解讨论不全致误
函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1}
C.(－∞，0)∪{1} D．(－∞，1)
[错解] 若Δ＝0，解得m＝1；若Δ>0，则x1·x2＝<0，解得m<0，故选C.
[错因分析] 没有对m是否为零进行讨论．
[正解] 当m＝0时，x＝为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一个正根一个负根，即mf(0)<0，即m<0.故选B.
[答案] B
[防范措施] 解决此类问题的关键是对参数的讨论要全面，对函数零点的定理使用要正确，如本题错解中忽略了对m＝0的讨论.
补救训练6 [2016·东三省联考]已知在区间[－4,4]上f(x)＝g(x)＝－x2－x＋2(－4≤x≤4)，给出下列四个命题：
①函数y＝f[g(x)]有三个零点；
②函数y＝g[f(x)]有三个零点；
③函数y＝f[f(x)]有六个零点；
④函数y＝g[g(x)]有且只有一个零点．
其中正确命题的个数是( )
A.1 B．2
C.3 D．4
答案 D
解析 如图，画出f(x)，g(x)的草图．
①设t＝g(x)，则由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，则t＝g(x)有三个不同值，由于y＝g(x)是减函数，所以f[g(x)]＝0有3个解，所以①正确；
②设m＝f(x)，若g[f(x)]＝0，即g(m)＝0，则m＝x0∈(1,2)，所以f(x)＝x0∈(1,2)，由图象知对应f(x)＝x0∈(1,2)的解有3个，所以②正确；
③设n＝f(x)，若f[f(x)]＝0，即f(n)＝0，n＝x1∈(－3，－2)或n＝0或n＝x2＝2，而f(x)＝x1∈(－3，－2)有1个解，f(x)＝0对应有3个解，f(x)＝x2＝2对应有2个解，所以f[f(x)]＝0共有6个解，所以③正确；
④设s＝g(x)，若g[g(x)]＝0，即g(s)＝0，所以s＝x3∈(1,2)，则g(x)＝x3，因为y＝g(x)是减函数，所以方程g(x)＝x3只有1个解，所以④正确.
导数与单调性的关系理解不准致误
函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________．
[错解] 由f(x)＝ax3－x2＋x－5得f′(x)＝3ax2－2x＋1，由f′(x)>0，得解得a>.
[错因分析] f(x)在R上是增函数等价于f′(x)≥0在R上恒成立．漏掉了f′(x)＝0的情况．
[正解] f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)＝3ax2－2x＋1，由f′(x)≥0，得解得a≥.
[答案] a≥
[防范措施] f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件.实际上，对可导函数f(x)而言，f(x)在(a，b)上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)
的任何子区间上都不恒为零.在解题时，若求单调区间，一般用充分条件即可.若由单调性求参数，一般用充要条件即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否则容易漏解.
补救训练7 已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln x在区间上是增函数，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因为函数f(x)在区间上是增函数，所以f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立，易知y＝－x＋在上单调递减，所以max＝，所以2a≥，解得a≥.选D.