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- 2021-06-24 发布
高三数学 集合与简易逻辑（Ⅱ）
一、选择题
1、下列四个集合中，是空集的是
A . B.
C. { D.
2、设I为全集，是I的三个非空子集，且，则下面论断正确的是
A． B．
C． D．
3、若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是
A. a＜-1 B. ≤1 C.＜1 D.a≥1
4、若不等式的解集为
A. B. C. D.
5、对任意实数, 若不等式恒成立, 则实数的取值范围是
A k≥1 B k >1 C k≤1 D k <1
6、若函数的定义域为，的定义域为，则
A. B. C. D.
7、一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：
A． B． C． D．
8、命题：“若，则”的逆否命题是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
9、集合M =，N =， 则
A.M=N B.MN C.MN D.MN=
10、若集合M＝{0，l，2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y ∈M}，则N中元素的个数为
A．9 B．6 C．4 D．2
二、填空题
11、．已知函数，则集合中含有元素的个数为 ；
12、已知全集U，A，B，那么 __；
13、集合，，若，则实数的取值范围是 ；
14、设集合若B是非空集合，且则实数a的取值范围是 。
15、已知是的充分条件而不是必要条件，是的必要条件，是的充分条件， 是的必要条件。现有下列命题：
①是的充要条件； ②是的充分条件而不是必要条件；
③是的必要条件而不是充分条件； ④的必要条件而不是充分条件；
⑤是的充分条件而不是必要条件；
则正确命题序号是 ；
三、解答题
16、
已知全集为R，．
17、
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f (x+T) =Tf (x)成立．
(1) 函数f (x)= x 是否属于集合M？说明理由；
(2) 设函数(a>0，且a≠1)的图象与的图象有公共点，证明：；
(3) 若函数f (x)=sinkx∈M，求实数k的取值范围．
18、
已知集合，
，若，求实数的取值范围．
19、
已知不等式
⑴若对于所有实数，不等式恒成立，求的取值范围
⑵若对于[－2,2]不等式恒成立，求的取值范围
20、
已知集合A＝，B＝．
⑴当a＝2时，求AB； ⑵求使BA的实数a的取值范围．
21、
已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根。若p或q 为真，p且q为假。求实数m的取值范围。
以下是答案
一、选择题
1、B
2、C
3、B
4、A
5、D
6、C
7、C
8、D
9、B
10、C
二、填空题
11、1或0
12、
13、
14、
15、①②④
三、解答题
16、解：由已知 所以
解得， 所以．
由 解得．
所以 于是
故
17、解：(1)对于非零常数T，f(x+T)=x+T， Tf(x)=Tx． 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成
立，所以f(x)=
(2)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：有解，消去y得ax=x，
显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T．
于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M．
(3)当k = 0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M．
当k ¹ 0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有
f(x+T) = Tf(x)成立，即sin(kx+kT) = Tsinkx ．
因为k ¹ 0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[- 1，1]，sin(kx+kT) ∈[- 1，1]，
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx成立，
只有T=，当T=1时，sin(kx+k) = sinkx成立，则k=2mp，m∈Z．
当T= - 1时，sin(kx - k) = - sinkx 成立，
即sin(kx - k+p)= sinkx 成立，
则- k+p =2mp，m∈Z ，即k =－（2m - 1)p，m∈Z．
综合得，实数k的取值范围是{k|k= mp，m∈Z}．
18、分析：本题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围．
解法一：由得 ①
∵，∴方程①在区间上至少有一个实数解，
首先，由，解得：或．
设方程①的两个根为、，
（1）当时，由及知、都是负数，不合题意；
（2）当时，由及知、是互为倒数的两个正数，
故、必有一个在区间内，从而知方程①在区间上至少有一个实数解，
综上所述，实数的取值范围为．
解法二：问题等价于方程组在上有解，
即在上有解，
令，则由知抛物线过点，
∴抛物线在上与轴有交点等价于 ①
或 ②
由①得，由②得，
∴实数的取值范围为．
19、解：(1)原不等式等价于对任意实数x恒成立
∴∴
(2)设要使在[-2,2]上恒成立,当且仅当
∴
∴的取值范围是
20、解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴ AB＝（4，5）．
（2）∵ B＝
当a＜时，A＝（3a＋1，2）
要使BA，必须，此时a＝－1；
当a＝时，A＝，使BA的a不存在； 当a＞时，A＝（2，3a＋1）
要使BA，必须，此时1≤a≤3．
综上可知，使BA的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}
21、解：由题意p,q中有且仅有一为真，一为假，
p真m>2，q真<01