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- 2021-06-24 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年福建省福州市福清三中高二（上）期末数学模拟试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.）
1．椭圆x2+=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．双曲线方程为=1，则渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=x
3．双曲线﹣=1的焦距是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．2
4．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（ ）
A．e2 B．e C． D．ln2
5．若函数f（x）=x3﹣x2+1，则（ ）
A．最大值为1，最小值为 B．最大值为1，无最小值
C．最小值为，无最大值 D．既无最大值也无最小值
6．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．函数y=（3﹣x2）ex的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣3）和（1，+∞） D．（﹣3，1）
8．设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（ ）
A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C． D．
9．函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点（A在x轴上方），那么=（ ）
A． B． C．3 D．2
11．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+1（a≠0），下列结论中错误的是（ ）
A．∃x0∈R，使得f（x0）=0
B．函数y=f（x）的图象一定是中心对称图形
C．若x0是函数f（x）的极值点，则f'（x0）=0
D．若x0是函数f（x）的极小值点，则函数f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减
12．已知曲线Γ：y=ex和直线l：y=kx，若直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ上，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣e） B．（﹣∞，﹣e] C．（﹣e，0） D．[﹣e，0）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线y2=﹣x的准线方程是 ．
14．抛物线y 2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x= ．
15．函数y=在x=m处取到极大值，则m= ．
16．已知函数f（x）=lnx+（x﹣a）2（a∈R）在区间[，2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，17题10分，其它每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知抛物线y=x2在点A（1，1）处的切线为l．
（1）求切线l的方程；
（2）若切线l经过椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点和顶点，求该椭圆的方程．
18．设函数f（x）=2x3﹣12x+c的图象经过原点．
（1）求c的值及函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．
19．在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查． 调查结果：接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动．
（Ⅰ）请根据题目所提供的调查结果填写下列2×2列联表；
看电视
运动
合计
女
男
合计
（Ⅱ）已知P（K2≥3.841）=0.05．能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？
（注：K2=，（其中n=a+b+c+d为样本容量））
20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点P（﹣3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）=ex﹣ax+1，其中a为实常数，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（3）已知a＞0，并设函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤2．
22．已知函数f（x）=lnx+ax2，其中a为实常数．
（1）讨论函数f（x）的极值点个数；
（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．
2016-2017学年福建省福州市福清三中高二（上）期末数学模拟试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.）
1．椭圆x2+=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可得a2=1，b2=m，求出a，b的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得m值．
【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，
∴a2=1，b2=m，则a=1，b=，
又长轴长是短轴长的两倍，
∴2=，即m=．
故选：A．
2．双曲线方程为=1，则渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．
【解答】解：∵双曲线方程为，则渐近线方程为，即，
故选 A．
3．双曲线﹣=1的焦距是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线﹣=1，求出c，即可求出双曲线﹣=1的焦距．
【解答】解：双曲线﹣=1中a=2，b=2，
∴c=4，
∴焦距是2c=8．
故选：A．
4．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（ ）
A．e2 B．e C． D．ln2
【考点】导数的乘法与除法法则．
【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．
【解答】解：∵f（x）=xlnx
∴
∵f′（x0）=2
∴lnx0+1=2
∴x0=e，
故选B．
5．若函数f（x）=x3﹣x2+1，则（ ）
A．最大值为1，最小值为 B．最大值为1，无最小值
C．最小值为，无最大值 D．既无最大值也无最小值
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值，即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2+1，
∴f′（x）=3x2﹣3x=3x（x﹣1），
则由f′（x）=3x（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）=3x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值，在x=1处取得极小值，无最大值和最小值．
故选：D．
6．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．
【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），
∵∠F1PF2=60°，
∴=，
即2ac=b2=（a2﹣c2）．
∴e2+2e﹣=0，
∴e=或e=﹣（舍去）．
故选B．
7．函数y=（3﹣x2）ex的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣3）和（1，+∞） D．（﹣3，1）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求导函数，令其大于0，解不等式，即可得到函数的单调递增区间．
【解答】解：求导函数得：y′=（﹣x2﹣2x+3）ex
令y′=（﹣x2﹣2x+3）ex＞0，可得x2+2x﹣3＜0
∴﹣3＜x＜1
∴函数y=（3﹣x2）ex的单调递增区间是（﹣3，1）
故选D．
8．设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（ ）
A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．
【解答】解：∵y=ex+ax，
∴y'=ex+a．
由题意知ex+a=0有大于0的实根，令y1=ex，y2=﹣a，则两曲线交点在第一象限，
结合图象易得﹣a＞1⇒a＜﹣1，
故选A．
9．函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的变化趋势即可判断答案．
【解答】解：当x→﹣∞时，3x﹣1→﹣1，故f（x）→+∞，
当x→+∞时，3x﹣1→+∞，故f（x）→0，
又因为函数的定义域为x≠0，
综上可以判断C正确，
故选：C．
10．过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点（A在x轴上方），那么=（ ）
A． B． C．3 D．2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质，求出A、B的坐标，然后求比值即可．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则抛物线y2=4x中p=2．
|AB|=x1+x2+p==
∴x1+x2=，
又x1x2==1，可得x1=3，x2=，
则==3，
故选：C．
11．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+1（a≠0），下列结论中错误的是（ ）
A．∃x0∈R，使得f（x0）=0
B．函数y=f（x）的图象一定是中心对称图形
C．若x0是函数f（x）的极值点，则f'（x0）=0
D．若x0是函数f（x）的极小值点，则函数f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】A．不妨设a＞0，则x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞，即可判断出结论．
B．f′（x）=3ax2+2bx+c，f″（x）=6ax+2b，由于f″（x）=6a×（﹣）+2b=0，可得函数f（x）关于点对称，即可判断出结论．
C．利用函数极值点的必要条件即可判断出结论．
D．若a＞0，f′（x）=3ax2+2bx+c，则二次函数y=3ax2+2bx+c的图象开口向上．若x1，x0是函数f（x）的极值点，且x0是函数f（x）的极小值点，则x1＜x0，利用导数即可判断出其单调区间．
【解答】解：A．不妨设a＞0，则x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞，因此函数∃x0∈R，使得f（x0）=0，正确．
B．∵f（x）=ax3+bx2+cx+1（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c，f″（x）=6ax+2b，∵f″（x）=6a×（﹣）+2b=0，∴函数f（x）关于点对称，正确．
C．若x0是函数f（x）的极值点，则f'（x0）=0，正确．
D．若a＞0，f′（x）=3ax2+2bx+c，则二次函数y=3ax2+2bx+c的图象开口向上．
若x1，x0是函数f（x）的极值点，且x0是函数f（x）的极小值点，则x1＜x0，因此函数f（x）的单调递减区间为（x1，x0），单调递增区间为：（﹣∞，x1），（x0，+∞），因此不正确．
综上可知：只有D错误．
故选：D．
12．已知曲线Γ：y=ex和直线l：y=kx，若直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ上，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣e） B．（﹣∞，﹣e] C．（﹣e，0） D．[﹣e，0）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出l关于y轴的对称直线方程，把直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ：y=ex上，转化为直线y=﹣kx与y=ex有两个交点，然后求出过原点与曲线Γ：y=ex相切的直线的斜率得答案．
【解答】解：直线l：y=kx关于y轴的对称直线方程为y=﹣kx，
要使直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ：y=ex上，
则直线y=﹣kx与y=ex有两个交点，
如图，设过原点的直线切曲线y=ex于P（），
由y=ex，得y′=ex，∴，
则切线方程为y﹣=（x﹣x0），
把O（0，0）代入，可得x0=1，
∴切线的斜率k=e1=e，
∴﹣k＞e，则k＜﹣e．
∴k的取值范围是（﹣∞，﹣e）．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线y2=﹣x的准线方程是 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】抛物线y2=﹣x，焦点在x轴上，开口向左，2p=1，由此可得抛物线的准线方程．
【解答】解：抛物线y2=﹣x，焦点在x轴上，开口向左，2p=1，∴=
∴抛物线y2=﹣x的准线方程是
故答案为：
14．抛物线y 2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x= 2 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线的方程求出，再由已知结合抛物线定义求得点M的横坐标．
【解答】解：由抛物线y 2=4x，得2p=4，p=2，∴．
∵M在抛物线y 2=4x上，且|MF|=3，
∴xM+1=3，即xM=2．
故答案为：2．
15．函数y=在x=m处取到极大值，则m= 1 ．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求导数便得到，从而可判断导数符号，根据符号即可得出该函数的极大值点，从而得出m的值．
【解答】解： =；
∴x＜﹣3时，y′＜0，﹣3＜x＜1时，y′＞0，x＞1时，y′＜0；
∴x=1时，原函数取得极大值；
∴m=1．
故答案为：1．
16．已知函数f（x）=lnx+（x﹣a）2（a∈R）在区间[，2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 （﹣∞，） ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】利用导函数得到不等式恒成立，然后求解a的范围．
【解答】解：∵函数f（x）在区间[，2]上存在单调增区间，
∴函数f（x）在区间[，2]上存在子区间使得不等式f′（x）＞0成立．
f′（x）=+2（x﹣a）]=，
设h（x）=2x2﹣2ax+1，则h（2）＞0或h（）＞0，
即8﹣4a+1＞0或﹣a+1＞0，
得a＜
故答案为：（﹣∞，）．
三、解答题：本大题共6小题，17题10分，其它每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知抛物线y=x2在点A（1，1）处的切线为l．
（1）求切线l的方程；
（2）若切线l经过椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点和顶点，求该椭圆的方程．
【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．
【分析】（1）求导，由抛物线在点A（1，1）处的切线为l的斜率k=k切=y'|x=1=2，由点斜式方程即可求得切线l的方程；
（2）由题意可知求得切线与x和y的轴的焦点，求得c和b的值，由椭圆的性质可知a2=b2+c2，即可求得该椭圆的方程．
【解答】解：（1）k切=y'|x=1=2x|x=1=2，…
切点A（1，1），所以切线l的方程为y﹣1=2（x﹣1）
即y=2x﹣1…
（2）令y=0，则x=，所以切线与x轴的交点为…
令x=0，则y=﹣1，所以切线与y轴的交点为C（0，﹣1）
所以，
所求椭圆方程为．
18．设函数f（x）=2x3﹣12x+c的图象经过原点．
（1）求c的值及函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）由f（0）=0，求出c的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的最值即可．
【解答】解：（1）∵f（0）=0∴c=0…（2），
∴f（x）=2x3﹣12x…
∴，…
列表如下：
x
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↗
极大
↘
极小
↗
所以函数f（x）的单调增区间是和…
递减区间是…
（2）∵f（﹣1）=10，，f（3）=18
∴f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是…
19．在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查． 调查结果：接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动．
（Ⅰ）请根据题目所提供的调查结果填写下列2×2列联表；
看电视
运动
合计
女
男
合计
（Ⅱ）已知P（K2≥3.841）=0.05．能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？
（注：K2=，（其中n=a+b+c+d为样本容量））
【考点】独立性检验．
【分析】（I）由题意填写列联表即可；
（II）代入数据计算K2的观测值，比较观测值与3.841的大小，判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．
【解答】解：（Ⅰ）根据题目所提供的调查结果，可得下列2×2列联表：
看电视
运动
合计
女
30
25
55
男
20
35
55
合计
50
60
110
（Ⅱ）根据列联表中的数据，可计算K2的观测值k：，
∵k=3.67＜k0=3.841，
∵不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．
20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点P（﹣3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b2+c2=8，由此能求出椭圆G的方程．
（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入中，得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），
由题意可得：b=c，且b2+c2=8，∴b2=c2=4，
故a2=b2+c2=8，
∴椭圆G的方程为
（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．理由如下
设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入中，
化简得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，①
因为直线l与椭圆G相交于A，B两点，
∴△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，
解得﹣2，②
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．③
于是AB的中点M（x0，y0）满足=﹣，．
已知点P（﹣3，2），若以AB为底的等腰三角形ABP存在，
则kPM=﹣1，即=﹣1，④，将M（﹣）代入④式，
得m=3∈（﹣2，2）满足②
此时直线l的方程为y=x+3．
21．已知函数f（x）=ex﹣ax+1，其中a为实常数，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（3）已知a＞0，并设函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤2．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为ex≥a恒成立，从而求出a的范围即可；
（3）求出f（x）的最小值，问题转化为只需证明gmax（a）≤2，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）函数的定义域：R …
当a=e时，f'（x）=ex﹣e…
令f'（x）=0解得x=1，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
所以f（x）的单调递减区间是（﹣∞，1），递增区间是（1，+∞）…
（2）因为f（x）在定义域内单调递增，
则f'（x）=ex﹣a≥0在R上恒成立…，
即ex≥a恒成立，ex＞0…所以a≤0．…
（3）证明：f'（x）=ex﹣a
当a＞0时令f'（x）=0，解得x=lna，
令f′（x）＞0，解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴f（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，
所以g（a）=fmin（x）=f（lna）=a﹣alna+1…
要证明g（a）≤2，则只需证明gmax（a）≤2…
而g'（a）=﹣lna令g'（a）=0，解得a=1，…
令g′（a）＞0，解得：a＜1，令g′（a）＜0，解得：a＞1，
所以gmax（a）=g（1）=2≤2成立．
∴g（a）≤2…．
22．已知函数f（x）=lnx+ax2，其中a为实常数．
（1）讨论函数f（x）的极值点个数；
（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求导数，分类讨论，确定导数为0方程解的个数，即可讨论函数f（x）的极值点个数；
（2）由（1）可知①当a≥0时，f（x）为增函数，至多只有一个零点，不合；②当a＜0时，要使得函数f（x）有两个零点，则须且只需fmax（x）＞0，即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）定义域：（0，+∞）……
①当a≥0时，因为x＞0，所以f'（x）＞0在定义域内恒成立，∴f（x）无极值点．…
②当a＜0时，，
令f'（x）=0，则或（舍去）…
可知f（x）有一个极大值点，无极小值点．即极值点个数为1．…
综上，当a≥0时，f（x）无极值点，当a＜0时，有且只有一个极值点．…
（2）由（1）可知①当a≥0时，f（x）为增函数，至多只有一个零点，不合．…
②当a＜0时，，…
当x→+∞时，f（x）→﹣∞；当x→0+时，f（x）→﹣∞，…
要使得函数f（x）有两个零点，则须且只需fmax（x）＞0，…
即解得，…
又a＜0，所以
综上：a的取值范围是…
2017年1月24日