数学文卷·2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中考试（2017 12页

2017——2018 高三上学期学段考 数学（文科）试卷 (考试时间：120 分钟 总分：150 分) 参考公式和数表: 1、独立性检验可信度表： P( ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 2、独立性检验临界值表及参考公式： 3、线性回归方程： ， 第 I 卷 选择题 一、选择题（本大题共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每一小题只有一个选项正确） 1. 进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤： a.打开电子邮箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f. 点击“发送邮件”，则正确的流程是 A. a→b→c→d→e→f B. a→c→d→f→e→b C. a→e→b→c→d→f D. b→a→c→d→f→e 2. 在等差数列 中，如果 ，那么数列 的前 项的和是　　 A．54 B．81 C. 81 2 D. 243 10 3. 设 ， 是虚数单位，则“ ”是“复数 为纯虚数” 的　　 A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 函数 的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为　　 A． B． 2K k≥ k 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ∧∧∧ += axby 2 1 2 1 xnx yxnyx b n i i n i ii − − = ∑ ∑ = = ∧ { }na 1 5 9 27 2a a a+ + = { }na 9 x R∈ i 3x = − 2( 2 3 ) ( 1)z x x x i= + − + − sin ( )y A xω ϕ= + ( 0, | | )2 πω ϕ> ≤ 4sin ( )8 4y x π π= − + 4sin ( )8 4y x π π= − C． D． 5. 已知 ， 为直线， 为平面，下列结论正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 6. 已知 ， ， ，则 、 、 大小关系是　　 A． < < B． < < C． < < D． < < 7. 把边长为 的正方形 沿对角线 折起，使得平面 ⊥平面 ，形成三棱 锥 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为(　　) A. 1 2 B. 2 2 C. 1 4 D. 2 4 8. 已知命题 ：∃ ， ；命题 ：∀ ， .若 、 都为假命题，则实数 的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 9. 已知 为数列 的前 项和，且 ，则数列 的通项公式为(　) A． B． C． D． 10. 设函数 ， 是由 轴和曲线 及该曲线在点 处的 切线所围成的封闭区域，则 在 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 11. 若 cos α＝1 7，cos(α＋β)＝－11 14，α∈(0， π 2 )，α＋β∈(π 2 ，π)，则 β 为( ) A． B． C． π 3 D． 12. 已知 是 所在平面上一点，满足 ，则点 (　　) A．在过点 与 垂直的直线上 B．在 的平分线所在直线上 4sin ( )8 4y x π π= − − 4sin ( )8 4y x π π= + m n α ,m n n α⊥ ⊂ m α⊥ ,m nα α⊥ ⊥ m n ,m n n α  m α ,m m nα ⊥ n α⊥ 22( )5a = 25( )2b = 3 2log 5c = a b c a b c c b a a c b c a b 1 ABCD BD ABD CBD C ABD− p x R∈ 2 2 0mx + ≤ q x R∈ 2 2 1 0x mx− + > p q m nS { }na n 2log ( 1) 1nS n+ = + { }na 2n na = 3 1 2 2n n na n ==  ≥ 12n na −= 12n na += ln 0( ) 2 1 0 x xf x x x >= − − ≤ D x ( )y f x= (1,0) 2z x y= + D 2− 1− 0 1 3 π− 6 π 6 π− O ABC∆ 2 2 2 2| | | | | | | |OA BC OB CA → → → → + = + O C AB A∠ C．在过点 边 的中线所在直线上 D．以上都不对 第 II 卷 非选择题 二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将正确答案填入相应的位置） 13. 某冷饮店为了解气温对其营业额的影响，随机记录了该店 1 月份销售淡季中的日营业额 （单位：百元）与该地当日最低气温 （单位：℃）的数据，如表所示： x 3 6 7 9 10 y 12 10 8 8 7 由图表数据可知： =﹣0.7，则线性回归方程为 ****** . 14．在平行四边形 中， 与 交于点 ， 是线段 的中点， 的延长线 与 交于点 . 若 ， ，则 等于___*****____（用 ， 表示）. 15. 已知 ，观察下列算式： ； ；… 若 ，则 的值为　 ***** 　． 16.已知棱长为 的正方体 中， ， ， 分别是线段 、 、 的中点，又 、 分别在线段 、 上，且 ． 设平面 ∩平面 ，现有下列结论： ① ∥平面 ； ② ⊥ ； ③直线 与平面 不垂直； ④当 变化时， 不是定直线． 其中成立的结论是___*****__．(写出所有成立结论的序号) 三、 解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 至 21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.已知等差数列 中， ， . (1)求数列 的通项公式； C AB y x ABCD AC BD O E OD AE CD F AC a → → = BD b → → = AF → a → b → * 1log ( 2) ( )n na n n N+= + ∈ 1 2 2 3 lg3 lg 4log 3 log 4 2lg 2 lg3a a⋅ = ⋅ = ⋅ = 1 2 6 2 3 7 lg3 lg 4 lg8log 3 log 4 log 8 3lg 2 lg3 lg7a a a⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =   1 2 3 2016ma a a a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = m 1 1 1 1 1ABCD A B C D− E F M AB AD 1AA P Q 1 1A B 1 1A D 1 1 (0 1)A P A Q x x= = < < MEF MPQ l= l ABCD l AC l 1 1BCC B x l { }na 2 5a = 8 23a = { }na (2)若等比数列 的前 n 项和为 ， ， ，求 的最小正整数 . 18. 如图，四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ， 为 的中 点． （Ⅰ）证明： ∥平面 ； （Ⅱ）设 ， ，三棱锥 的体积 ，求 到平面 的距 离． 19．在 中，角 , , 所对的边为 , ， , ， ， ，若 （1）求函数 的图象的对称点； （2）若 ,且 的面积为 ，求 的周长. { }nb nS 1 2b a= 2 7b a= 1000nS > n P ABCD− ABCD PA ABCD E PD PB AEC 1AP = 3AD = P ABD− 3 4V = A PBC ABC∆ A B C a b c ( 2sin ( ), cos )m x A x → = − ( sin ( ),1)n B C → = + ( )f x m n → → = ⋅ 3A π= ( )f x 7a = ABC∆ 10 3 ABC∆ P A B C D E 20．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测 算，该项目月处理成本 （元）与月处理量 （吨）之间的函数关系可以近似地表示为： ，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物 柴油价值为 元，若该项目不获利，政府将给予补贴． （1）当 时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利， 则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 21. 设函数 ， 的图象在点 处的切线与直线 平 行． （1）求 的值； （2）若函数 ，且 在区间 上是单调函数，求 实数 的取值范围． y x 3 2 2 1 80 5040 [120,144)3 1 200 80000 [144,500)2 x x x x y x x x  − + ∈=   − + ∈ 200 [200,300]x∈ ( ) ( )lnf x x b x= + ( )y f x= (1, (1) )f 3y x= b ( )( ) ( 2 ) ( 0)2 x f xg x e a ax = − ≠+ ( )g x (0, )+ ∞ a （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 [选修 4－4：坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程 （ 为参数），以坐标原点为极 点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为： ． （1）把直线 的参数方程化为极坐标方程，把曲线 的极坐标方程化为普通方程； （2）求直线 与曲线 交点的极坐标（ ≥0，0≤ ）． [选修 4－5：不等式选讲] 23. (1)解不等式 ≥ 的解集. (2) 关于 的不等式 的解集是 ，求实数 的取值范围． xoy l 12 2 3 2 x t y t  = +  = t x C 4cosρ θ= l C l C ρ 2θ π< | 1| | 2 |x x− + + 5 x 2 2( 2 3) ( 3) 1 0m m x m x− − − − − < R m 2017——2018 高三上学期学段考 数学（文科）试卷答案 一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 C C C A B D C A B D C A 1.解：发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子邮箱；e.点击“写邮件”；b.输入发送 地址；c.输入主题；d.输入信件内容； f.点击“发送邮件”. 2.解：在等差数列 中， ，又 ，所以 ，数列 的前 9 项的和 3.解：由 ，得 ， ． 而由 ，得 ．所以“ ”是“复数 为纯 数”的充要条件． 4.解：由函数的图象可得最大值为 4，且在一周期内先出现最小值，所以 A=﹣4，观察图象 可得函数的周期 T=16，ω= = ，又函数的图象过（2，﹣4）代入可得 sin（ +φ） =1，∴φ+ =2kπ+ ，∵|φ|＜ ，∴φ= ，∴函数的表达式 y=﹣4sin（ x+ ）． 5．解：由题可得，对于选项 A，由直线与平面垂直的判定可知，直线必须垂直于平面内的 两条相交直线，直线才能垂直平面，所以错误；对于选项 B，由垂直于同一平面的两条直线 平行可知，选项 B 正确；对于选项 C，平行与同一平面的两条直线可以平行，也可以相交或 异面，所以错误；. 当 ，有 或 或 ，所以错误. 6.解： ， ， 7.解：因为 C 在平面 ABD 上的投影为 BD 的中点 O，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AO＝CO＝ 1 2AC＝ 2 2 ，所以侧视图的面积等于 S△AOC＝ 1 2CO·AO＝ 1 2× 2 2 × 2 2 ＝ 1 4. { }na 1 9 52a a a+ = 1 5 9 27 2a a a+ + = 1 9 9a a+ = { }na 9 5 819 2S a= × = 3x = − 2 22 3 ( 3) 2 ( 3) 3 0x x+ − = − + × − − = 1 3 1 4x − = − − = − 3x = − 3x = − 2( 2 3 ) ( 1)z x x x i= + − + − ,m m nα ⊥ n α⊥ / /n α n α⊂ 220 ( ) 15a< = < 25( ) 12b = > 3 2log 05c = < c a b∴ < < 8.解：p，q 都是假命题．由 p：∃ ， 为假命题， 得∀ ， ，∴ .由 q：∀ ， 为假，得∃ ， ∴ ，得 或 .∴ . 9.解：由 ，得 ，当 时， ； 当 时， ，所以数列 的通项公式为 . 10.解：先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域 D，利用线性规划的方法求出目 标 函 数 z 的 最 大 值 即 可： ， ，∴曲线 及该曲线在点 处的 切线方程为 。∴由 轴和曲线 及 围成的封闭区域为三角形。 在点 处取得最大值 1。 11.解:∵cos α＝ 1 7，α∈(0， π 2 )，∴sin α＝ 4 3 7 . 又∵cos(α＋β)＝－ 11 14，α＋β∈(π 2 ，π)，∴sin(α＋β)＝ 5 3 14 ， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝ 1 2. 又∵α∈(0， π 2 )，α＋β∈(π 2 ，π)，∴β∈(0，π)，∴β＝ π 3 . 12.解: 由 得， ， 二、填空题 13. =﹣0.7x+13.9 解：由 = =7， = =9， = ﹣b =9+7×0.7=13.9． x R∈ 2 2 0mx + ≤ x R∈ 2 2 0mx + > 0m > x R∈ 2 2 1 0x mx− + > x R∈ 2 2 1 0x mx− + ≤ 2( 2 ) 4 0m∆ = − − ≥ 1m ≤ − 1m ≥ 1m ≥ 2log ( 1) 1nS n+ = + 11 2n nS ++ = 1n = 1 1 3a S= = 2n ≥ 1 2n n n na S S −= − = { }na 3 1 2 2n n na n ==  ≥ 1 , 0( ) 2, 0 xy f x x x  >′= =  − ≤ (1) 1f ′ = ( )y f x= (1,0) 1y x= − x ( )y f x= 1y x= − 2z x y= + (1, 0 ) 2 2 2 2| | | | | | | |OA BC OB CA → → → → + = + 2 2 2 2| | | | | | | |OA OB CA BC → → → → − = − 2 2 2 2 OA OB CA BC → → → → − = − ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )OA OB OA OB CA BC CA BC → → → → → → → → − ⋅ + = + ⋅ − ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )BA OA OB CA CB CA BC CA CB BA → → → → → → → → → → ⋅ + = + ⋅ + = + ⋅ ⇒ ( ) ( ) 2 0BA OA OB CA CB OA AC OB BC BA OC BA → → → → → → → → → → → → ⋅ + − − = + + + ⋅ = ⋅ = ⇒ AB OC → → ⊥ 14. 2 3 ＋ 1 3 解：∵＝ ，＝ ，∴＝＋＝ 1 2＋ 1 2＝ 1 2 ＋ 1 2 .∵E 是 OD 的中点，∴ DE EB＝ 1 3，∴DF＝ 1 3AB .∴＝ 1 3＝ 1 3(－)＝ 1 3×[－ 1 2－(－ 1 2)]＝ 1 6－ 1 6＝ 1 6 － 1 6 ，∴＝＋＝ 1 2 ＋ 1 2 ＋ 1 6 － 1 6 ＝ 2 3 ＋ 1 3 ， 15. 解：∵ ， ∴ ； …； 若 ， 则 . 16．①②③ 解:连接 BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x， ∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易证 PQ∥平面 MEF， 又平面 MEF∩平面 MPQ= ，∴PQ∥ ， ∥EF， ∴ ∥平面 ，故①成立； 又 EF⊥AC，∴ ⊥AC，故②成立； ∵ ∥EF∥BD，∴易知直线 与平面 BCC1B1 不垂直， 故③成立； 当 变化时， 是过点 M 且与直线 EF 平行的定直线，故④不成立． 三、解答题 17、解：(1)设等差数列 的公差为 ， . —————————————————-—4 分 (2) ∵ ， ，∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ 最小正整数 为 .——————————12 分 a → b → a → b → a → b → a → b → a → b → a → b → a → b → 20162 2− * 1log ( 2) ( )n na n n N+= + ∈ 1 2 2 3 lg3 lg 4log 3 log 4 2lg 2 lg3a a⋅ = ⋅ = ⋅ = 1 2 6 2 3 7 lg3 lg 4 lg8log 3 log 4 log 8 3lg 2 lg3 lg7a a a⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =   2016 1 2 3 lg( 2) 2016 2 2lg 2m ma a a a m +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ + = 20162 2m = − l l l l ABCD l l l x l { }na d 5 2 3 23 5 18 3a a d d− = = − = ⇒ = 2 ( 2) 5 ( 2) 3 3 1na a n d n n= + − = + − ⋅ = − 1 2b a= 2 7 3 7 1 20b a= = ⋅ − = 2 1 20 45 bq b = = = 25(1 4 ) 5(4 1) 1000 4 2 6011 4 3 n n n n nS − −= = > ⇒ = >− 102 1024= 92 512= 2 10n = n 5 18、解：（Ⅰ）证明：设 BD 与 AC 的交点为 O，连结 EO， ∵ABCD 是矩形，∴O 为 BD 的中点∵E 为 PD 的中点，∴EO∥PB． EO⊂平面 AEC，PB⊄平面 AEC∴PB∥平面 AEC；————————————-—————5 分 （Ⅱ）∵AP=1，AD= ，三棱锥 P﹣ABD 的体积 V= ， ∴V= = ，∴AB= ，PB= = ． 作 AH⊥PB 交 PB 于 H，由题意可知 BC⊥平面 PAB，∴BC⊥AH， 故 AH⊥平面 PBC．又在三角形 PAB 中，由射影定理可得： A 到平面 PBC 的距离 ．————————————————————————12 分 19、解：由 得， ， (1) 由 得， ∴ ∴ 函数 的图象的对称点为 ———6 分 （2） ∴ ————————12 分 20 、 解 ： （ Ⅰ ） 当 时 ， 该 项 目 获 利 为 ， 则 A B C π+ + = B C Aπ+ = − ( ) 2sin( )sin( ) cosf x m n x A B C x → → = ⋅ = − + + 22(sin cos cos sin )sin( ) cos 2sin sin cos 2cos sin cosx A x A A x x A A x A xπ= − − + = − + sin sin 2 cos cos2 cos ( 2 )x A x A x A= + = − 3A π= 2( ) cos ( )3f x x π= − 2 ,3 2x k k Z ππ π− = + ∈ 7 ,6x k k Zπ π⇒ = + ∈ ( )f x 7( ,0)6 k k Zπ π+ ∈ 1 1 3sin 10 3 402 2 2ABCS bc A bc bc∆ = = ⋅ = ⇒ = 2 2 2 2 12 cos 49 ( ) 2 2 2a b c bc A b c bc bc= + − ⇒ = + − − ⋅ 2( ) 3b c bc= + − 2( ) 120 13b c b c= + − ⇒ + = 7 13 20ABCC a b c∆ = + + = + = [200,300)x∈ S ∴当 时， ，因此，该项目不会获利 当 时， 取得最大值 ， 所以政府每月至少需要补贴 元才能使该项目不亏损； ———————————4 分 （ Ⅱ ） 由 题 意 可 知 ， 生 活 垃 圾 每 吨 的 平 均 处 理 成 本 为 ： 当 时， 所以当 时， 取得最小值 240； 当 时， 当且仅当 ，即 时， 取得最小值 200 因为 240>200，所以当每月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．—12 分 21、解：（1）由题意知，曲线 的图象在点 处的切线斜率为 3， 所以 ，又 ， 即 ，所以 ． ——4 分 （2）由（1）知 ， 所以 ， ①若 在区间（0，+∞）上为单调递减函数，则 在（0，+∞）上恒成立， 即 ，所以 ． 令 ，则 ， 由 ，得 ，由 ，得 ， 故 在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数， 则 ， 无最大值， 在（0，+∞）上不恒成立， 故 在（0，+∞）不可能是单调减函数——9 分 2 21 1200 ( 200 80000) ( 400)2 2S x x x x= − − + = − − [200,300)x∈ 0S < 300x = S 5000− 5000 21 80 5040 [120,144)3 1 80000200 [144,500)2 x x xy x x xx  − + ∈=   − + ∈ [120,144)x∈ 2 21 180 5040 ( 120) 2403 3 y x x xx = − + = − + 120x = y x [144,500)x∈ 1 80000 80000200 2 400 200 2002 2 y xxx x x = − + ≥ ⋅ = − = 80000 2 x x = 400x = y x ( )y f x= (1, (1) )f / (1) 3f = / 1( ) ln ( )f x x x b x = + + ⋅ ln1 1 3b+ + = 2b = ( ) ln 2x xg x e x ae= − / 1 1( ) ln 2 (ln 2 ) ( 0)x x x xg x e x e ae e x a xx x = + ⋅ − = + − > ( )g x / ( ) 0g x ≤ 1ln 2 0x ax + − ≤ 12 lna x x ≥ + 1( ) ln ( 0)h x x xx = + > / 2 2 1 1 1( ) xh x x x x −= − = / ( ) 0h x > 0x > / ( ) 0h x < 0 1x< < ( )h x ( )h x → +∞ ( )h x / ( ) 0g x ≤ ( )g x ②若 在（0，+∞）上为单调递增函数，则 在（0，+∞）上恒成立， 即 ，所以 ， 由前面推理知， 的最小 值为 ， ∴2a≤1 ，故 a 的取值范围是 ．——————————12 分 22 、 解 ； （ 1 ） 直 线 l 的 参 数 方 程 （ 为 参 数 ） ， 消 去 参 数 化 为 ， 把 代入可得： ， 由曲线 C 的极坐标方程为： ， 变为 ，化为 .——————————————————5 分 （2）联立 ，解得 或 ， ∴直线 l 与曲线 C 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）为 ， ．—10 分 23．解：(1)当 x<－2 时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得 x≤－3； 当－2≤x<1 时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即 3≥5，无解； 当 x≥1 时，不等式等价于 x－1＋x＋2≥5，解得 x≥2. 综上，不等式的解集为{x|x≤－3 或 x≥2}.——————————————————5 分 (2)①当 ，即 或 时，要使原不等式的解集为 R，则 ②当 时，要使原不等式的解集为 ，则有： 综合（1）（2）的 的取值范围为 ————————————————10 分 ( )g x / ( ) 0g x ≥ 1ln 2 0x ax + − ≥ 12 lna x x ≤ + 1( ) ln ( 0)h x x xx = + > (1) lh = 2 1a ≤ 1 2a ≤ 12 2 3 2 x t y t  = +  = t t 3 2 3 0x y− − = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 3 cos sin 2 3 0ρ θ ρ θ− − = 4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 4 0x y x+ − = 2 2 3 2 3 0 4 0 x y x y x  − − = + − = 1 3 x y = = − 3 3 x y = = 5(2, )3 π (2 3, )6 π 2 2 3 0m m− − = 1m = − 3m = 3m = 2 2 3 0m m− − ≠ R 2 2 2 2 3 0 ( 3) 4( 2 3) ( 3)(5 1) 0 m m m m m m m  − − < − + − − = − + < 1 3 1 31 535 m mm − < <⇒ ⇒ − < <− < < m 1 35 m− < ≤