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- 2021-06-24 发布
第二讲 三角恒等变换与解三角形
[必记公式]
1．同角三角函数之间的关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tanα＝.
2．诱导公式
(1)公式：Sα＋2kπ；Sπ±α；S－α；S±α；
(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，α当锐角看．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；
(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；
(3)tan(α±β)＝；
(4)辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)＝cos(α＋θ)．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα；
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan2α＝.
5．降幂公式
(1)sin2α＝；
(2)cos2α＝.
6．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
sinA＝，sinB＝，sinC＝.
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
7．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
推论：cosA＝，cosB＝，
cosC＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.
8．面积公式
S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.
[重要结论]
1．判断三角形形状的常用结论
(1)sinA＝sinB且A＋B≠π⇒等腰三角形；
(2)sin2A＝sin2B⇒A＝B或A＋B＝⇒等腰或直角三角形；
(3)cosA＝cosB⇒A＝B⇒等腰三角形；
(4)cos2A＝cos2B⇒A＝B⇒等腰三角形；
(5)sin(A－B)＝0⇒A＝B⇒等腰三角形；
(6)A＝60°且b＝c⇒等边三角形；
(7)A，B，C成等差数列⇔B＝60°；
(8)a2＜b2＋c2(A为三角形中的最大角)⇒三角形为锐角三角形(A为锐角)；
(9)a2＝b2＋c2⇒三角形为直角三角形(A为直角)；
(10)a2＞b2＋c2⇒三角形为钝角三角形(A为钝角)．
2．射影定理
a＝bcosC＋ccosB.
b＝acosC＋ccosA.
c＝acosB＋bcosA.
[失分警示]
1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误．
2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．
3．忽视解的多种情况
如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况．
4．忽略角的范围
应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围．
5．忽视解的实际意义
求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．
考点 三角恒等变换
典例示法
题型1 求角
典例1 [2016·中山模拟]已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________.
[解析] 由0<β<<α<易得<2α－β<π，－<α－2β<，<α＋β<，故sin(2α－β)＝，cos(α－2β)＝，cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝，故α＋β＝.
[答案]
解答此类问题的关键是结合已知条件，求出相应角的三角函数值，然后根据角的范围确定角的具体取值.
题型2 求值
典例2 [2016·安徽合肥质检]已知cos·cos＝－，α∈.
(1)求sin2α的值；
(2)求tanα－的值．
[解] (1)cos·cos＝cos·sin＝sin＝－，
即sin＝－.
∵α∈，∴2α＋∈，
∴cos＝－，
∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝.
(2)∵α∈，∴2α∈，
又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－
∴tanα－＝－＝＝＝－2×＝2.
化简常用的方法技巧
(1)化简常用方法：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②切化弦、异名化同名、异角化同角等．
(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．
考点 正、余弦定理
典例示法
题型1 应用正、余弦定理求边、角
典例3 [2016·淄博模拟]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acosC＋asinC－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
[解] (1)由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.
因为B＝π－A－C，所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.
易知sinC≠0，所以sinA－cosA＝1，
所以sin＝.又0＜A＜π，所以A＝.
(2)解法一：由(1)得B＋C＝⇒C＝－B0＜B＜，
由正弦定理得＝＝＝＝，
所以b＝sinB，c＝sinC.
所以S△ABC＝bcsinA＝×sinB×sinCsin＝sinBsinC＝sinBsin
＝＝sin2B－cos2B＋
＝sin＋.易知－＜2B－＜，
故当2B－＝，即B＝时，S△ABC取得最大值，最大值为＋＝.
解法二：由(1)知A＝，又a＝2，由余弦定理得22＝b2＋c2－2bccos，即b2＋c2－bc＝4⇒bc＋4＝b2＋c2≥2bc⇒bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立．
所以S△ABC＝bcsinA＝×bc≤×4＝，
即当b＝c＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为.
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：
第一步：定条件
即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．
第二步：定工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．
第三步：求结果．
题型2 判断三角形的形状
典例4 设△ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
[解析] 由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝，故选B.
[答案] B
利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路
(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
题型3 求有关三角形的面积
典例5 [2014·浙江高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝，求△ABC的面积．
[解] (1)由题意得－＝sin2A－sin2B，即sin2A－cos2A＝sin2B－cos2B，
sin＝sin.
由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，
得2A－＋2B－＝π，
即A＋B＝，所以C＝.
(2)由c＝，sinA＝，＝，得a＝.
由a＜c，得A＜C，从而cosA＝，
故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，
所以△ABC的面积为S＝acsinB＝.
与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略
(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．
(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
考点 正、余弦定理的实际应用
典例示法
典例6 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，cosA＝，cosC＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
[解] (1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.
从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)．
所以索道AB的长为1040 m.
(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t
＝时，d最小，所以乙出发分钟后，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时
间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．
1．解三角形应用题的常见情况及方法
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
2．解三角形应用题的一般步骤
针对训练
[2015·湖北高考]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A
处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝_______________________________________________ _________________________m.
答案 100
解析 在△ABC中，∠BAC＝30°，∠BCA＝75°－30°＝45°，所以由正弦定理得，BC＝·AB＝×600＝×600＝300.在△BCD中，CD＝BCtan30°＝300×＝100，故此山的高度为100 m.
[全国卷高考真题调研]
1．[2016·全国卷Ⅱ]若cos＝，则sin2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案 D
解析 因为cos＝coscosα＋sinsinα＝(sinα＋cosα)＝，所以sinα＋cosα＝，所以1＋sin2α＝，所以sin2α＝－，故选D.
2．[2015·全国卷Ⅰ]sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 D
解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝.
3．[2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
答案 (－，＋)
解析 如图，作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC＝2，作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合)，且使∠BAD＝75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形．过C作AD的平行线交PB于点Q，在△PBC中，过P作BC的垂线交BC于点E，则PB＝＝＋；在△QBC中，由余弦定理QB2＝BC2＋QC2－2QC·BC·cos30°＝8－4＝(－)2，故QB＝－，所以AB的取值范围是(－，＋)．
[其它省市高考题借鉴]
4．[2016·浙江高考]已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.
答案 1
解析 由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin＋1，所以A＝，b＝1.
5．[2015·广东高考]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.
答案 1
解析 由sinB＝得B＝或，因为C＝，所以B≠，所以B＝，于是A＝.由正弦定理，得＝，所以b＝1.
6．[2014·山东高考]设f(x)＝sinxcosx－cos2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
解 (1)由题意知f(x)＝－
＝－＝sin2x－.
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z)．
(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝，
由题意知A为锐角，所以cosA＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立．
因此bcsinA≤.
所以△ABC面积的最大值为.
一、选择题
1．[2016·合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案 D
解析 sin18°sin78°－cos162°cos78°＝sin18°sin78°＋cos18°·cos78°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝，故选D.
2．[2016·广西质检]已知<α<π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由3sin2α＝2cosα得sinα＝.因为<α<π，所以cos(α－π)＝－cosα＝ ＝.
3．[2016·郑州质检]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 B
解析 由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，所以B＝，所以cosB＝cos＝，故选B.
4．[2016·武汉调研]据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为( )
A．9 h B．10 h
C．11 h D．12 h
答案 B
解析 记码头为点O，热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴到达B点位置，在△OAB中，OA＝400，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得4002＋400t2－2×20t×400×≤3002，即t2－20t＋175≤0，解得10－5≤t≤10＋5，所以所求时间为10＋5－10＋5＝10(h)，故选B.
5．[2016·云南统测]已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，此时sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.
6．[2016·郑州质量预测]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是( )
A. B.
C. D.或
答案 D
解析 sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA，sin(B－A)＝sinBcosA－cosBsinA，sin2A＝2sinAcosA，sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，即2sinBcosA＝6sinAcosA.当cosA＝0时，A＝，B＝，又c＝，得b＝.由三角形面积公式知S＝bc＝；当cosA≠0时，由2sinBcosA＝6sinAcosA可得sinB＝3sinA，根据正弦定理可知b＝3
a，再由余弦定理可知cosC＝＝＝cos＝，可得a＝1，b＝3，所以此时三角形的面积为S＝absinC＝.综上可得三角形的面积为或，所以选D.
二、填空题
7．已知tanα，tanβ是lg (6x2－5x＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.
答案 1
解析 lg (6x2－5x＋2)＝0⇒6x2－5x＋1＝0，∴tanα＋tanβ＝，tanα·tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1.
8．[2016·贵阳监测]在△ABC中，内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．
答案 直角三角形
解析 由题意，得＝，即cosB＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．
9．[2016·西安质检]已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a∶b∶c＝7∶5∶3，若△ABC的面积为45，则△ABC外接圆的半径为________．
答案 14
解析 因为a∶b∶c＝7∶5∶3，所以可设a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)，由余弦定理得，cosA＝＝＝－.因为A是△ABC的内角，所以sinA＝＝，因为△ABC的面积为45，所以bcsinA＝45，即×5k×3k×＝45，解得k＝2.由正弦定理＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，即2R＝＝，解得R＝14，所以△ABC外接圆半径为14.
三、解答题
10．[2016·重庆测试]在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2＋sin2A＝1.
(1)求A；
(2)设a＝2－2，△ABC的面积为2，求b＋c的值．
解 (1)由2cos2＋sin2A＝1可得，2＋2sinAcosA＝1，
所以1＋cos(π－A)＋2sinAcosA＝1，故2sinAcosA－cosA＝0.
因为△ABC为锐角三角形，所以cosA≠0，故sinA＝，
从而A＝.
(2)因为△ABC的面积为bcsinA＝bc＝2，所以bc＝8.
因为A＝，故cosA＝，由余弦定理可知，b2＋c2－a2＝2bccosA＝bc.
又a＝2－2，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝(2＋)bc＋a2＝8×(2＋)＋(2－2)2＝32.
故b＋c＝＝4.
11．[2016·武汉调研]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
解 (1)证明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．
由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，
∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC，
化简，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，
∴a，b，c成等比数列．
(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.
则cosB＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时，等号成立．
∵0