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- 2021-06-24 发布
2018届高三第一学期期中质量检测
数学(文科)试卷
（共5页；完卷时间120分钟；满分150分）
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1.已知集合则（ ）
A. B. C. D.
2.若，其中i为虚数单位，则（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D.2
3.方程的根存在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
4.函数的部分图象大致为（ ）
A、 B、
C、 D、
5.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若，则的值为（ ）
6.张苍是战国末期曾在荀子的门下学习，与李斯、韩非等人是同门师兄弟。他在《九章算术》卷中“盈不足”中有如下问题（改编）：“今有垣厚卅尺，两鼠对穿。小鼠日一尺，大鼠日八尺.小鼠日自倍，大鼠日自半，问几何日相逢？”其大意是：今有墙厚30尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.小老鼠第一天打1尺，以后每天加倍；大老鼠第一天打8尺，以后每天减半，问几天后两只老鼠相遇？（ ）
A. B. 3 C. D. 4
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. 180 B. 200 C. 220 D. 240
8.已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
9.已知定义域为R的函数在上有1和6两个零点，且与 都是偶函数，则在上的零点个数至少有（ ）个
A. 403 B. 807 C. 806 D. 402
10.已知定义在R上函数，且，
则方程在区间上所有实根之和为（ ）
A．-7 B． -9 C．-11 D. -13
12.已知O是平面上一定点，动点P满足：
，则P一定经过的( )
A.重心 B.内心 C.垂心 D. 外心
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13.曲线在点处的切线方程为，则
14.如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数的值为______.
15.已知四面体中，，且，，，则该四面体的外接球的表面积为 .
16.给出下列四个关于数列命题：
（1）若是等差数列，则三点、、共线；
（2）若是等比数列，则、、也是等比数列；
（3）等比数列的前项n和为，若对任意的，点均在函数的图象上，则r的值为1．
（4）对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项为，则数列的前n项和
其中正确命题的有 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
已知数列的首项为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18．(本小题满分12分)
中，D是边BC的中点，,,.
（1）求边BC的长；
（2）求的面积.
19．(本小题满分12分)
已知函数．
（1）求函数的对称轴方程；
（2）将函数
的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象．若，，分别是△三个内角，，的对边，，，且，求的值．
20．(本小题满分12分)
如左图,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如右图所示),连结、,其中.【来源：全,品…中&高*考+网】
(Ⅰ) 求证:平面；
(Ⅱ) 在线段上是否存在点使得平面?若存在,求出点的位置；若不存在,请说明理由.
(Ⅲ) 求点到平面的距离.
21．(本小题满分12分)
已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若对成立，求实数的取值范围.
本题有(22)、(23)两题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
22.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设直线与轴，轴分别交于两点，点是圆上任一点，求两点的极坐标和面积的最小值.
23.(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]
已知，，函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）求的最小值．
2018届高三第一学期期中质量检测
数学(文科)试卷参考答案
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1-5 BCBDD 6-10DDABC 11-12DC
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13. 4 14. -3 15. 16.（1）（4）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
18.解：（1）设，则，由余弦定理，
在△中，有……………………2分
在中，有……………………4分
且，即，得 ……………………6分
∴ ……………………7分
（2） 由（1）可知，，得， ……………………
9分
∴ ……………………12分
19.（Ⅰ）函数=，
令，解得，
所以函数f（x）的对称轴方程为．
（Ⅱ）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，
再向左平移个单位，得到函数的图象，所以函数．
又△ABC中，g（B）=0，所以，又，
所以，则．由余弦定理可知，，
所以．
20.(Ⅰ)连结,由翻折不变性可知,,,
在中,,
所以………………………………2分
在图中,易得,……3分
在中,
,所以………………………………4分
又,平面,平面,所以平面.…………………5分（注：学生不写扣1分）
(Ⅱ) 当为的三等分点(靠近)时,平面. ………………………………………………6分（注：只讲存在满足条件1分）
证明如下:
因为,,所以 ………………7分
又平面,平面,所以平面.…………………9分
（注：学生不写平面,扣1分）
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知平面,所以为三棱锥的高. ……………10分
设点到平面的距离为,由等体积法得, ………………………11分
即,又,,
所以,即点到平面的距离为.……………12分
（注：指出给1分，若能最终得到结果给3分）
21.（1）定义域为，当时，在上是减函数，当时，由得，当时，，时，，在上是减函数，在上是增函数，综上，当时，的单调减区间为，没有增区间，当时，的单调增区间为，单调减区间为
.
（2）化为时，，
令，
当时，，
在上是减函数，即.
22.（1）由消去参数，得，
所以圆的普通方程为.
由，得，
所以直线的直角坐标方程为………5分
（2）直线与轴，轴的交点为，化为极坐标为，
设点的坐标为，则点到直线的距离为
，
∴，又，
所以面积的最小值是………………………………10分
23.（1）因为，
所以，当且仅当时，等号成立，又，
所以，所以的最小值为，所以．………………………….5分
（2）由（1）知，
，
当且仅当时，的最小值为．………………………………………….10分