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- 2021-06-24 发布
板块命题点专练(十四) 圆锥曲线
(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)
命题点一 椭 圆 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中 题型：选择题、填空题、解答题
1．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为＋＝1(a>0，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为 d2.若d2＝d1，则椭圆C的离心率为________．
2．(2014·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.
3．(2014·安徽高考)若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)的左焦点为F，离心率为， 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设A, B分别为椭圆的左、右顶点， 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值.
命题点二 双曲线 命题指数：☆☆☆☆
难度：中 题型：选择题、填空题
1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B．3
C.m D．3m
2．(2013·浙江高考)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A. B.
C. D.
3．(2013·重庆高考)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.，2 B.，2
C.，＋∞ D. ，＋∞
4．(2013·天津高考)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
5．(2013·辽宁高考)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________.
命题点三 抛物线 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中 题型：选择题、填空题、解答题
1．(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )
A．2 B．2
C．4 D．2
2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
3．(2014·湖南高考)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.
4．(2014·陕西高考)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．
命题点四 圆锥曲线中的综合问题 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高 题型：选择题、填空题、解答题
1．(2014·四川高考改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，
其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)．
2．(2014·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：＋＝1(a>b>0) 的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
①设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
②求△OMN面积的最大值．
答案
命题点一
1．解析：令F(c,0)，B(0，b)，则直线BF的方程为＋＝1，所以d1＝ .
又d2＝－c＝，由d2＝d1，可得＝·，解得b2＝2c2，所以a2＝3c2，a＝c，
所以e＝＝.
答案：
2．解析：设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1，F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|＋|BN|＝2|F1P|＋2|F2P|＝2×2a＝4a＝12.
答案：12
3．解析：设点A在点B上方，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，
由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，
故即
代入椭圆方程可得＋b2＝1，得b2＝，
故椭圆方程为x2＋＝1.
答案：x2＋＝1
4．解：(1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，
于是＝，解得b＝.
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)．
由方程组
消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.
命题点二
1．选A 双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝.选A.
2．选D 由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，
∴a＝，∴e＝＝.
3．选A 设双曲线的焦点在x轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k(k>0)必须满足0)，则有2＋＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是(2，±2)，|OM|＝＝2.
2．选D 易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.
3．解析：由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得2－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.
答案：1＋
4．解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2.
∴a＝2，b＝1.
(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程，整理得
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0. (*)
设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由根与系数的关系，得xP＝，从而yP＝，
∴点P的坐标为.
同理，由
得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．
∵AP⊥AQ，∴·＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，
∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.
经检验，k＝－符合题意，
故直线l的方程为y＝－(x－1)．
命题点四
1．解：(1)由已知可得
解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(－2,0)，
设T点的坐标为(－3，m)，
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
所以PQ的中点M的坐标为，
所以直线OM的斜率kOM＝－.
又直线OT的斜率kOT＝－，
所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.
2．解：(1)由题意知＝，可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±，
因此×＝，可得a＝2.
因此b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)①设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，
因为直线AB的斜率kAB＝，
又AB⊥AD，所以直线AD的斜率k＝－.
设直线AD的方程为y＝kx＋m，
由题意知k≠0，m≠0.
由可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0.
所以x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.
由题意知x1≠－x2，
所以k1＝＝－＝.
所以直线BD的方程为y＋y1＝(x＋x1)．
令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1,0)．
可得k2＝－.
所以k1＝－k2，即λ＝－.
因此存在常数λ＝－使得结论成立．
②直线BD的方程y＋y1＝(x＋x1)，
令x＝0，得y＝－y1，即N.
由①知M(3x1,0)，
可得△OMN的面积
S＝×3|x1|×|y1|＝|x1||y1|.
因为|x1||y1|≤＋y＝1，当且仅当＝|y1|＝时等号成立，此时S取得最大值，
所以△OMN面积的最大值为.