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- 2021-06-24 发布
课时分层训练(十三)
变化率与导数、导数的计算
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
【导学号：01772077】
A．2(x2－a2) B.2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D.3(x2＋a2)
C [∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于( )
A．－e B.－1
C.1 D.e
B [由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]
3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A．x－3y＋3＝0 B.x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D.3x－y＋1＝0
C [y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.]
4．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B.1
C.2 D.3
D [令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.]
5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )
【导学号：01772078】
A．4 B.5
C. D.
C [∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，
∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，
故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，
令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，
∴所求面积S＝××10＝.]
二、填空题
6．(2017·郑州二次质量预测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________．
2x－y＋1＝0 [由题意得f′(x)＝3x2－1，则f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.]
7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
【导学号：01772079】
[因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.]
图2101
8．如图2101，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
0 [由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.
又因为g(x)＝xf(x)，
所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.]
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x·tan x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝.
[解] (1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·
＝tan x＋.
(2)y′＝(x＋1)′[(x＋2)(x＋3)]＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.
(3)y′＝′＝
＝＝
＝.
10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
[解] (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，2分
所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，
所以斜率最小的切线过点，4分
斜率k＝－1，
所以切线方程为x＋y－＝0.6分
(2)由(1)得k≥－1，9分
所以tan α≥－1，所以α∈∪.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝sin x B.y＝ln x
C．y＝ex D.y＝x3
A [若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，
使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.
对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；
对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；
对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；
对于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.
综上所述，选A.]
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x
，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
y＝－2x－1 [因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.]
3．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．
【导学号：01772080】
[解] 根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－. 2分
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，
所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3. 6分
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为
y－f(1)＝3(x－1)，
所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.9分
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为
y－g(1)＝3(x－1)，
所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，
所以，两条切线不是同一条直线. 12分