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- 2021-06-24 发布
2016-2017 学年河北省沧州一中高二（上）第三次月考数学试卷
（文科）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知 p 是 q 的充分不必要条件，则￢q 是￢p 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也必要条件
2．抛物线 y=2x2 的焦点坐标是（ ）
A．（ ，0） B．（﹣ ，0） C．（0， ） D．（0，﹣ ）
3．甲、乙、丙 3 名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣4，0） C．（﹣4，﹣4） D．（0，﹣8）
5．直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的
，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则 52011 的末四位数字为
（ ）
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
7．若椭圆 + =1 的离心率 e= ，则 m 的值为（ ）
A．1 B． 或 C． D．3 或
8．若函数 f（x）=sinx﹣kx 存在极值，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．[0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
9．已知曲线 f（x）=x3+x2+x+3 在 x=﹣1 处的切线与抛物线 y=2px2 相切，则抛物线
的准线方程为（ ）
A． B．x=1 C．y=﹣1 D．y=1
10．定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（1）=1，且对任意 x∈R 都有 f′（x） ，则
不等式 f（x）＞ 的解集为（ ）
A．（1，2） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（﹣1，1）
11．已知函数 f（x）=2x3+4x，且 a+b＜0，b+c＜0，c+a＜0，则 f（a）+f（b）+f
（c）的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定符号
12．已知函数 f（x）=ax3﹣3x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则 a 的
取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．P 是双曲线 上一点，F1，F2 是双曲线的两个焦点，且|PF1|=15，则|PF2|
的值是 ．
14．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现
S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V= πr3，观
察 发 现 V′=S ． 则 四 维 空 间 中“ 超 球” 的 三 维 测 度 V=8πr3 ， 猜 想 其 四 维 测 度
W= ．
15．在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y=ax2+ （a，b 为常数）过点 P（2，﹣5），
且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，则 a+b 的值是 ．
16．设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F（1，0），直线 l 与抛物线 C 相
交于 A，B 两点．若 AB 的中点为（2，2），则直线 l 的方程为 ．
三、解答题
17．已知 p：x2﹣8x﹣20＞0，q：[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]＞0（m＞0），若 p
是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
18．已知直线 l：x+y=1 与双曲线 C： ﹣y2=1（a＞0）．
（1）若 a= ，求 l 与 C 相交所得的弦长；
（2）若 l 与 C 有两个不同的交点，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围．
19．某大学高等数学老师这学期分别用 A，B 两种不同的教学方式试验甲、乙两个
大一新班（人数均为 60 人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉
性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各 20 名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶
图：
（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？
（Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学，求成绩
为 86 分的同学至少有一个被抽中的概率；
（Ⅲ）学校规定：成绩不低于 85 分的为优秀，请填写下面的 2×2 列联表，并判
断“能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
甲班 乙班 合计
优秀
不优秀
合计
下面临界值表仅供参考：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式： ，其中 n=a+b+c+d）
20．已知函数 f（x）=x3﹣3ax2﹣bx，其中 a，b 为实数，
（1）若 f（x）在 x=1 处取得的极值为 2，求 a，b 的值；
（2）若 f（x）在区间[﹣1，2]上为减函数，且 b=9a，求 a 的取值范围．
21．已知函数 ．
（1）若函数 f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数 a 的取值范围；
（2）若函数 f（x）在[1，e]上的最小值为 3，求实数 a 的值．
22．已知椭圆 C 的一个顶点为 A（0，﹣1），焦点在 x 轴上，其右焦点到直线
的距离为 3．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l：y=x+m，是否存在实数 m，使直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点
M，N，且|AM|=|AN|，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
2016-2017 学年河北省沧州一中高二（上）第三次月考数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知 p 是 q 的充分不必要条件，则￢q 是￢p 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用充要条件与复合命题的判定方法即可得出．
【解答】解：∵p 是 q 的充分不必要条件，
则￢q 是￢p 的充分不必要条件，
故选：A．
2．抛物线 y=2x2 的焦点坐标是（ ）
A．（ ，0） B．（﹣ ，0） C．（0， ） D．（0，﹣ ）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】直接利用抛物线的简单性质写出结果即可．
【解答】解：抛物线 y=2x2，化为 x2= ，
它的焦点坐标为：（0， ）．
故选：C．
3．甲、乙、丙 3 名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出基本事件总数n= =6，甲、乙两人站在一起包含的基本事件有 m=
=4，由此能求出甲、乙两人站在一起的概率．
【解答】解：甲、乙、丙 3 名学生排成一排，
基本事件总数 n= =6，
甲、乙两人站在一起包含的基本事件有 m= =4，
其中甲、乙两人站在一起的概率 p= = ．
故答案为：C．
4．执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣4，0） C．（﹣4，﹣4） D．（0，﹣8）
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
x=1，y=1，
k=0 时，s=x﹣y=0，t=x+y=2；
x=s=0，y=t=2，
k=1 时，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2；
x=s=﹣2，y=t=2，
k=2 时，s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0；
x=s=﹣4，y=t=0，
k=3 时，循环终止，
输出（x，y）是（﹣4，0）．
故选：B．
5．直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的
，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解
椭圆的离心率．
【解答】解：设椭圆的方程为： ，直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦
点，
则直线方程为： ，椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，
可得： ，
4=b2（ ），
∴ ，
=3，
∴e= = ．
故选：B．
6．观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则 52011 的末四位数字为
（ ）
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
【考点】归纳推理．
【分析】根据所给的以 5 为底的幂的形式，在写出后面的几项，观察出这些幂的
形式是有一定的规律的每四个数字是一个周期，用 2011 除以 4 看出余数，得到结
果．
【解答】解：∵55=3125，56=15625，57=78125，
58=390625，59=1953125，510=9765625，511=48828125…
可以看出这些幂的最后 4 位是以 4 为周期变化的，
∵2011÷4=502…3，
∴52011 的末四位数字与 57 的后四位数相同，是 8125，
故选 D．
7．若椭圆 + =1 的离心率 e= ，则 m 的值为（ ）
A．1 B． 或 C． D．3 或
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】分别看焦点在x 轴和 y 轴时长半轴和短半轴的长，进而求得 c，进而根据
离心率求得 m．
【解答】解：当椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上时，a= ，b= ，c=
由 e= ，得 = ，即 m=3
当椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上时，a= ，b= ，c=
由 e= ，得 = ，
即 m= ．
故选 D
8．若函数 f（x）=sinx﹣kx 存在极值，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．[0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求 f（x）的导函数，利用导数为 0 时左右符号不同的规律，求出 k 的取
值范围．
【解答】解：∵函数 f（x）=sinx﹣kx，∴f′（x）=cosx﹣k，
当 k≥1 时，f′（x）≤0，∴f（x）是定义域上的减函数，无极值；
当 k≤﹣1 时，f′（x）≥0，∴f（x）是定义域上的增函数，无极值；
当﹣1＜k＜1 时，令 f′（x）=0，得 cosx=k，从而确定 x 的值，使 f（x）在定义域内
存在极值；
∴实数 k 的取值范围是（﹣1，1）．
故选：A．
9．已知曲线 f（x）=x3+x2+x+3 在 x=﹣1 处的切线与抛物线 y=2px2 相切，则抛物线
的准线方程为（ ）
A． B．x=1 C．y=﹣1 D．y=1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出f（x）的导数，求得 x=﹣1 处切线的斜率，以及切点，运用点斜式方
程可得切线的方程，联立抛物线方程，运用相切的条件：判别式为 0，解得 p，进
而得到抛物线的方程和准线方程．
【解答】解：f（x）=x3+x2+x+3 的导数为 f′（x）=3x2+2x+1，
则在 x=﹣1 处的切线斜率为 3﹣2+1=2．切点为（﹣1，2），
切线的方程为 y﹣2=2（x+1），即 y=2x+4，
与抛物线 y=2px2 相切，可得 2px2﹣2x﹣4=0，
由判别式△=4+32p=0，
解得 p=﹣ ．
抛物线的方程为 y=﹣ x2，
即 x2=﹣4y，
即有准线方程为 y=1．
故选：D．
10．定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（1）=1，且对任意 x∈R 都有 f′（x） ，则
不等式 f（x）＞ 的解集为（ ）
A．（1，2） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（﹣1，1）
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】所求解的不等式是抽象不等式，是与函数有关的不等式，函数的单调性
和不等关系最密切．由 f′（x）＜ ，构造单调递减函数 h（x）=f（x）﹣ ，利用
其单调性求解即可．
【解答】解：∵f′（x）＜ ，
∴f′（x）﹣ ＜0，
设 h（x）=f（x）﹣ x，则 h′（x）=f′（x）﹣ ＜0，
∴h（x）是 R 上的减函数，且 h（1）=f（1）﹣ =1﹣ = ．
不等式 f（x）＞ ，
即为 f（x）﹣ x＞ ，
即 h（x）＞h（1），
得 x＜1，
∴原不等式的解集为（﹣∞，1）．
11．已知函数 f（x）=2x3+4x，且 a+b＜0，b+c＜0，c+a＜0，则 f（a）+f（b）+f
（c）的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定符号
【考点】函数的值．
【分析】由 f′（x）=6x2+4＞0，知 f（x）是增函数，由 f（0）=0，f（﹣x）
=﹣2x3﹣4x=﹣f（x），能求出 f（a）+f（b）+f（c）的符号．
【解答】解：∵函数 f（x）=2x3+4x，且 a+b＜0，b+c＜0，c+a＜0，
∴f′（x）=6x2+4＞0，
∴f（x）是增函数，
f（0）=0，
f（﹣x）=﹣2x3﹣4x=﹣f（x），
∴f（a）+f（b）＜f（a）+f（﹣a）=0，
f（c+f（a）＜f（c）+f（﹣c）=0，
f（b）+f（c）＜f（b）+f（﹣b）=0，
∴f（a）+f（b）+f（c）＜0．
故选：B．
12．已知函数 f（x）=ax3﹣3x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则 a 的
取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究函数
的极值．
【分析】（i）当 a=0 时，f（x）=﹣3x2+1，令 f（x）=0，解得 x=± ，两个解，舍
去．
（ii）当 a≠0 时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣ ），令 f′（x）=0，解得 x=0 或 ．对
a 分类讨论：①当 a＜0 时，由题意可得 ；②当 a＞0 时，推出极值点
不满足题意，推出结果即可．
【解答】解：（i）当 a=0 时，f（x）=﹣3x2+1，令 f（x）=0，解得 x=± ，函数 f
（x）有两个零点，舍去．
（ii）当 a≠0 时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣ ），令 f′（x）=0，解得 x=0 或 ．
①当 a＜0 时， ＜0，当 x＜ 或 x＞0 时，f′（x）＜0，此时函数 f（x）单调递减；
当 ＜x＜0 时，f′（x）＞0，此时函数 f（x）单调递增．
∴ 是函数 f（x）的极小值点，0 是函数 f（x）的极大值点．
∵函数 f（x）=ax3﹣3x2+1 存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则： ，即：
，可得 a＜﹣2．
②当 a＞0 时， ＞0，当 x＞ 或 x＜0 时，f′（x）＞0，此时函数 f（x）单调递增；
当 0＜x＜ 时，f′（x）＜0，此时函数 f（x）单调递减．
∴ 是函数 f（x）的极小值点，0 是函数 f（x）的极大值点．不满足函数 f（x）
=ax3﹣3x2+1 存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，
综上可得：实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）．
故选：C．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．P 是双曲线 上一点，F1，F2 是双曲线的两个焦点，且|PF1|=15，则|PF2|
的值是 31 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的a，b，c，根据|PF1|=15＜c+a=18，则 P 在双曲线的左支上，
再由双曲线的定义，即可得到所求值．
【解答】双曲线的 a=8，b=6，c=10，
由于|PF1|=15＜c+a=18，
则 P 在双曲线的左支上，
由双曲线的定义，可得，
|PF2|﹣|PF1|=2a=16，
则有|PF2|=16+|PF1|=16+15=31．
故答案为：31．
14．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现
S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V= πr3，观
察发现 V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr3，猜想其四维测度 W=
2πr4 ．
【考点】类比推理．
【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测
度，从而得到 W′=V，从而求出所求．
【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，
观察发现 S′=l
三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V= πr3，观察发现
V′=S
∴四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr3，猜想其四维测度 W，则 W′=V=8πr3；
∴W=2πr4；
故答案为：2πr4
15．在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y=ax2+ （a，b 为常数）过点 P（2，﹣5），
且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，则 a+b 的值是 ﹣3 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由曲线 y=ax2+ （a，b 为常数）过点 P（2，﹣5），且该曲线在点 P 处的
切线与直线 7x+2y+3=0 平行，可得 y|x=2=﹣5，且 y′|x=2= ，解方程可得答案．
【解答】解：∵直线 7x+2y+3=0 的斜率 k= ，
曲线 y=ax2+ （a，b 为常数）过点 P（2，﹣5），且该曲线在点 P 处的切线与直线
7x+2y+3=0 平行，
∴y′=2ax﹣ ，
∴ ，
解得： ，
故 a+b=﹣3，
故答案为：﹣3
16．设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F（1，0），直线 l 与抛物线 C 相
交于 A，B 两点．若 AB 的中点为（2，2），则直线 l 的方程为 y=x ．
【考点】抛物线的简单性质；直线的一般式方程．
【分析】设出A，B 的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理求得直线 l 的斜率，
进而利用点斜式求得直线的方程．
【解答】解：抛物线的方程为 y2=4x，A（x1，y1），B（x2，y2），
则有 x1≠x2， 两式相减得，y12﹣y22=4（x1﹣x2），
∴
∴直线 l 的方程为 y﹣2=x﹣2，即 y=x
故答案为：y=x
三、解答题
17．已知 p：x2﹣8x﹣20＞0，q：[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]＞0（m＞0），若 p
是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】分别解出命题p，q 中的不等式．再利用 p 是 q 的充分不必要条件，即可
得出．
【解答】解：满足 p：（x﹣10）（x+2）＞0，即 x＜﹣2 或 x＞10，
满足 q：x＜1﹣m 或 x＞1+m，（m＞0）．
因为 p 是 q 的充分不必要条件，
所以 ，即 0＜m≤3．
18．已知直线 l：x+y=1 与双曲线 C： ﹣y2=1（a＞0）．
（1）若 a= ，求 l 与 C 相交所得的弦长；
（2）若 l 与 C 有两个不同的交点，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】（1）a= ，l 与 C 联立，消去 y，可得 3x2+2x﹣2=0，利用弦长公式求 l 与
C 相交所得的弦长；
（2）由直线 l：x+y=1 与双曲线 C： ﹣y2=1，消去 y，并整理得（1﹣a2 ）
x2+2a2x﹣2a2=0，由 C 与 l 相交于两个不同的点，确定 a 的范围，即可求得双曲线 C
的离心率 e 的取值范围．
【解答】解：（1）a= ，l 与 C 联立，消去 y，可得 3x2+2x﹣2=0，
∴l 与 C 相交所得的弦长为 = ；
（2）由直线 l：x+y=1 与双曲线 C： ﹣y2=1，消去 y，并整理得（1﹣a2 ）
x2+2a2x﹣2a2=0，
∴ ，解得 0＜a＜ ，且 a≠1，
而双曲线 C 的离心率 e= = ，从而 e＞ ，且 e≠ ，
故双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为（ ， ）∪（ ）．
19．某大学高等数学老师这学期分别用 A，B 两种不同的教学方式试验甲、乙两个
大一新班（人数均为 60 人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉
性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各 20 名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶
图：
（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？
（Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学，求成绩
为 86 分的同学至少有一个被抽中的概率；
（Ⅲ）学校规定：成绩不低于 85 分的为优秀，请填写下面的 2×2 列联表，并判
断“能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
甲班 乙班 合计
优秀
不优秀
合计
下面临界值表仅供参考：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式： ，其中 n=a+b+c+d）
【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；独立性检验的应用．
【分析】（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于 60 分﹣90 分之间，而乙班数学成绩集中
于 80﹣100 分之间，可得乙班的平均分高．
（Ⅱ）记成绩为 86 分的同学为 A，B 其他不低于 80 分的同学为 C、D、E、F，一
切可能结果组成的基本事件有 15 个，
“抽到至少有一个 86 分的同学”所组成的基本事件有 9 个，由此求得所求事件的概
率．
（Ⅲ）计算 K2= ≈5.584＞5.024，由此得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于 60 分﹣90 分之间，而乙班数学成绩
集中于 80﹣100 分之间，
所以乙班的平均分高．﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）记成绩为 86 分的同学为 A，B 其他不低于 80 分的同学为 C、D、E、F，
“从甲班高等数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果
组成的基本事件有：
（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（A，F）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（B，
F）、
（C，D）、（C，E）、（C，F）、（D，E）、（D，F）、（E，F），一共 15 个，
“抽到至少有一个 86 分的同学”所组成的基本事件有：
（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（A，F）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（B，
F）
共 9 个，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
故 所求事件的概率为 P= = ．﹣﹣﹣﹣﹣
甲班 乙班 合计
优秀 3 10 13
不优秀 17 10 27
合计 20 20 40
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅲ）K2= ≈5.584＞5.024，因此在犯错误的概率不超过
0.025 的前提下，
可以认为成绩优秀与教学方式有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20．已知函数 f（x）=x3﹣3ax2﹣bx，其中 a，b 为实数，
（1）若 f（x）在 x=1 处取得的极值为 2，求 a，b 的值；
（2）若 f（x）在区间[﹣1，2]上为减函数，且 b=9a，求 a 的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）根据 f（x）在 x=1 处取得的极值为 2，可建立关于 a，b 的两个等式
关系，解方程组即可．
（2）由 f（x）在区间[﹣1，2]上为减函数，可转化成 f'（x）≤0 对 x∈[﹣1，2]恒
成立，借助二次函数的知识建立不等关系，可求出 a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题设可知：f'（1）=0 且 f（1）=2，
即 ，
解得 ．；
（Ⅱ）∵f'（x）=3x2﹣6ax﹣b=3x2﹣6ax﹣9a，
又 f（x）在[﹣1，2]上为减函数，
∴f'（x）≤0 对 x∈[﹣1，2]恒成立，
即 3x2﹣6ax﹣9a≤0 对 x∈[﹣1，2]恒成立，
∴f'（﹣1）≤0 且 f′（2）≤0，
即 ，
∴a 的取值范围是 a≥1．
21．已知函数 ．
（1）若函数 f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数 a 的取值范围；
（2）若函数 f（x）在[1，e]上的最小值为 3，求实数 a 的值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出 f（x）的导数，由题意可得 x﹣2a≥0 即 2a≤x 在区间[2，+∞）
恒成立，求得 x 的最小值，即可得到 a 的范围；
（2）求出 f（x）的导数，讨论①当 时，②当 时，③当 时，由
单调性和恒成立思想解方程可得 a 的值．
【解答】解：（1） ，∵f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，
∵x2＞0，∴x﹣2a≥0 即 2a≤x 在区间[2，+∞）恒成立，
即 2﹣2a≥0 解得 a≤1；
（2） ，
①当 时， 在[1，e]恒成立，
∴f（x）在区间[1，e]为增函数，
∴f（x）min=f（1）=2a=3，得 不符合题意舍；
②当 时， 在[1，2a]成立，
∴f（x）在区间[1，2a]为减函数， 在[2a，e]成立，
∴f（x）在区间[2a，e]为增函数，
∴f（x）min=f（2a）=ln（2a）+1=3，解得 a= （舍）；
③当 时， 在[1，e]恒成立，
∴f（x）在区间[1，e]为减函数，
∴f（x）min=f（e）=lne+ =3，
解得 a=e．
综上可得，a 的值为 e．
22．已知椭圆 C 的一个顶点为 A（0，﹣1），焦点在 x 轴上，其右焦点到直线
的距离为 3．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l：y=x+m，是否存在实数 m，使直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点
M，N，且|AM|=|AN|，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
【考点】圆锥曲线的存在性问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）利用椭圆的性质得到 c，求出 a，b，即可求解椭圆方程．
（2）设 M（x1，y1）N（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用判别式以及韦达定理，
求出 MN 的中点坐标，利用 AM=AN，验证 m 是否存在即可．
【解答】解：（1）因为焦点在 x 轴，顶点 A（0，﹣1），∴b=1，设右焦点坐标为
（c，0），
由题意得 ，∴ ，
可得 b=1，
∴ ；
（ 2 ） 设 M （ x1 ， y1 ） N （ x2 ， y2 ） ，
，
即 M，N 的中点坐标 ，∵AM=AN，
∴kAQ=﹣1，∴m=2 经检验△=0 不合题意，
∴不存在．