河南省2020届高三年级猜题大联考（三）数学（理）试题 12页

‎ ‎ 理科数学 注意事项：‎ ‎1. 本试卷共4页，考试时间120分钟，卷面总分为150分.‎ ‎2. 答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.‎ ‎4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 是虚数单位，复数满足：，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知：函数是上的增函数，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 等差数列中，，，则（ ）‎ A. 54 B. 56 C. 58 D. 61‎ ‎5. 已知：，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 如图，是圆柱的一条母线，是底面圆的一条直径，是底面圆周上一点，三棱锥的体积与圆柱的体积之比为，则（ ）‎ A. 1 B. ‎ C. D. 2‎ ‎ ‎ ‎7. 椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（ ）‎ A. 1 B. ‎ C. D. 2‎ ‎8. 已知正实数，，满足：，，，，则以下不等式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9. 执行下图的程序框图，若输入的，则输出的值为（ ）‎ A. 60 B. 48‎ C. 24 D. 12‎ ‎10. 已知：过点可作函数图象的两条切线，，且，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎ ‎ ‎11. 已知函数图象的一条对称轴是，且在上是单调函数，则的最大值为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 10 D. 12‎ ‎12. 双曲线，点是渐近线上的点且位于第一象限，为右焦点，，线段交双曲线于，射线平分，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎ C. 2 D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上）‎ ‎13. 等比数列满足：，则______.‎ ‎14. 正方形边长为2，、分别是、中点，则______.‎ ‎15. 展开式中，项的系数为______.‎ ‎16. 四面体中，平面平面，，为正三角形，，则四面体外接球半径为______.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.）‎ ‎（一）、必考题：共60分.‎ ‎17. 的内角，，的对边分别为，，，且满足：.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若面积为，外接圆直径为4，求的周长.‎ ‎18. 四棱柱中，底面是正方形，，.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎19. 曲线：与曲线：交于、两点，为原点，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）曲线上一点的纵坐标为2，过点作直线、，、的斜率分别为、，，、分别交曲线于异于的不同点，，证明：直线恒过定点.‎ ‎20. 中国已经逐渐进入老龄化社会，以下是2015—2019这5年的中国某省人口平均寿命及年龄分布图表.‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 平均寿命 ‎75.4‎ ‎76.3‎ ‎76.6‎ ‎76.7‎ ‎77‎ 年龄在60岁以上（不含60）人口数量占比 ‎15.5‎ ‎16.7‎ ‎17.3‎ ‎17.9‎ ‎18.1‎ 年龄在16岁以下（不含16）人口数量占比 ‎17.9‎ ‎17.7‎ ‎17.8‎ ‎17.8‎ ‎17.6‎ 劳动力（年龄在之间）人口数量占比 ‎66.6‎ ‎65.6‎ ‎64.9‎ ‎64.3‎ ‎64.3‎ ‎（1）社会老龄化的一个重要特征是：劳动力减少，老龄人增加，幼龄人减少.根据图表写出劳动力人数占比小于，且60岁以上人数多于16岁以下人数的年份；‎ ‎（2）人口平均寿命的增长是造成人口老龄化的一个重要因素.由统计规律发现，60岁以上（不含60）人口数量占比与人口平均寿命拟合线性回归模型.‎ ‎①求出线性回归方程（精确到0.01）；‎ ‎②到2025年该省人口预期平均寿命为80岁，16岁以下人口占比预期为17.5，计算2025年劳动力占比的预期值（精确到0.1）.‎ ‎ ‎ 参考数据公式：①，②③④⑤.‎ ‎21. 已知函数是上的增函数.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）已知：，且，证明：.‎ ‎（二）、选考题（共10分，请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线与轴交于，与曲线交于，两点，且，求.‎ ‎23. [选修4-5：不等式选讲]‎ 已知.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的最小值是，且，求证：.‎ 理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5：BABCB 6-10：ACBCB 11-12：DB ‎1.【答案】B ‎【解析】由题意，，故，故选B.‎ ‎2.【答案】A ‎ ‎ ‎【解析】，∴.‎ ‎3.【答案】B ‎【解析】.‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】设公差为，则由解得：，故.‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】，∴，，∴，故.‎ ‎6.【答案】A ‎【解析】设圆柱的底面半径为，高为，由，可得：，，，∴，.‎ ‎7.【答案】C ‎【解析】设，，则，又（1），（2），（1）式平方减去（2）式得：，得：.‎ ‎8.【答案】B ‎【解析】，‎ 得：，‎ 又，‎ 得：，故选B.‎ ‎9.【答案】C ‎【解析】，，，，，，则输出的值为24，故选C.‎ ‎10.【答案】B ‎ ‎ ‎【解析】过点且与图象相切的直线方程设为，代入，整理得：，，此方程的两个根满足：，即，得：.‎ ‎11.【答案】D ‎【解析】图象的对称轴可表示为，故存在的满足：，故时，为最大值.‎ ‎12.【答案】B ‎【解析】平分可得：，又射线所在直线方程为：，是射线上一点，且，故，故，设，由（其中）代入双曲线方程得：.‎ 二、填空题 ‎13. 1 14. 4 15. 1 16. ‎ ‎13.【答案】1‎ ‎【解析】设数列的公比为9，则，‎ ‎∴.‎ ‎14.【答案】4‎ ‎【解析】，由，得：.‎ ‎ ‎ ‎15.【答案】1‎ ‎【解析】，故项的系数为1.‎ ‎16.【答案】2‎ ‎【解析】设四面体外接球心为，点在平面、平面的射影分别为、，则、分别为、的外心，设中点为，则，在中，，故，.‎ 三、解答题 ‎17.【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1），‎ 得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）的面积，‎ ‎，‎ 由，‎ 则，∴的周长为.‎ ‎18.【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）如图，取中点为，，、为正三角形，‎ ‎∴与，可得：，‎ ‎ ‎ ‎∴，故平面与平面，‎ 得：平面平面.‎ ‎（2）以为原点，、、方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，设，‎ 则，，，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，令，得：，‎ 则，‎ 故与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19.【答案】（1）2；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）由对称性可知：、关于轴对称，可设，‎ 则，‎ 把代入曲线得：.‎ ‎（2）由（1）得：，‎ ‎ ‎ 设，，则，‎ 同理，，‎ 若直线斜率为0，直线的方程为：，代入曲线，仅一解，不合题意，舍去，‎ 存在时，设直线的方程为：，‎ 把代入整理得：，‎ 得：，代入式，得：，‎ 故直线的方程为：，恒过.‎ ‎20.【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）由图表可知：劳动力人数占比小于，且60岁以上人数多于16岁以下人数的年份是：2018，2019.‎ ‎（2）①，，‎ ‎，‎ ‎，故所求线性回归方程为：.‎ ‎②，求得.‎ 故2025年劳动力占比的预期值为：.‎ ‎21.【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）由题意，对，恒成立，‎ 时，不合题意，舍去，‎ 时，，在上，；‎ ‎ ‎ 在上，.故的最小值为，‎ 故的取值范围为.‎ ‎（2）不妨设，，与1的大小关系可分为：或，对（i），由是增函数可知：，符合题意；对（ii）与，可得：，故 ‎，只需证：，化为，令，则，‎ 故为增函数，而，故，‎ 即得证，由前面分析过程可知，不等式成立.‎ ‎22.【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）由，得直线的普通方程为. ‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）易得：，‎ 将（为参数）代入，‎ 得，‎ 可解得，‎ ‎ ‎ 得：，又由的几何意义，‎ 得：，‎ ‎∴.经验证，舍掉，故.‎ ‎23.【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】，‎ 等价于或或，‎ 得：或或.‎ 不等式的解集.‎ 证：∵（当时，等号成立），‎ ‎∴的最小值为7，‎ 即.‎ ‎∴，‎ ‎（当，时，等号成立）‎