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- 2021-06-23 发布
2016-2017学年河北省邯郸市曲周一中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若a＞b，c＞d，则下列命题中正确的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣d B．＞ C．ac＞bd D．c+a＞d+b
2．在数列{an}中，已知前n项和Sn=7n2﹣8n，则a100的值为（ ）
A．1920 B．1400 C．1415 D．1385
3．已知x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值是（ ）
A．0 B．10 C．15 D．20
4．在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（ ）
A．2 B． C． D．
5．等差数列f（x）中，已知a1=﹣12，S13=0，使得an＞0的最小正整数n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．下列函数中，最小值为4的函数是（ ）
A．y=x+ B．y=sinx+（0＜x＜π）
C．y=ex+4e﹣x D．y=log3x+4logx3
7．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3=+1，则a32+2a2a6+a3a7=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
8．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（ ）
A．24 B．8 C． D．
9．在R上定义运算⊗：a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗（x﹣2）＜
0的实数x的取值范围为（ ）
A．（0，2） B．（﹣2，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣1，2）
10．设等比数列{an}中，前n项之和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（ ）
A． B． C． D．
11．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题：若x=y，则sinx=siny的逆否命题为真命题
B．x＞2是x2﹣3x+2＞0的必要不充分条件
C．命题：若x2=1，则x=1的否命题为“若x2=1，则x≠1”
D．命题：∃x∈R使得x2+x+1＜0的否定为：∀x∈R均有x2+x+1＜0
12．已知不等式x2﹣2ax+a＞0（x∈R）恒成立，则不等式a2x+1＜a＜1的解集是（ ）
A．（1，2） B．（﹣，2） C．（﹣2，2） D．（﹣3，2）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB﹣cosB=，则角A的大小为 ．
14．设命题p：“若ex＞1，则x＞0”，命题q：“若a＞b，则＜”，则命题“p∧q”为 命题． （填“真”或“假”）
15．设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当Sn最大时，n= ．
16．在△ABC中， =是角A，B，C成等差数列的 ．（充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件）
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；
（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，求实数a的取值范围．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求A；
（2）若，△ABC的面积．求b，c．
19．等差数列{an} 中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=．
（1）求an与bn；
（2）求数列{}的前n项和．
20．已知函数f（x）=x2+3x+a
（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
21．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A；
（2）若，求bc的取值范围．
22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣3Sn（n∈N*）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2an，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
2016-2017学年河北省邯郸市曲周一中高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若a＞b，c＞d，则下列命题中正确的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣d B．＞ C．ac＞bd D．c+a＞d+b
【考点】不等式的基本性质．
【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个答案中不等式的正误，可得答案．
【解答】解：若a＞b，c＞d，
则a﹣c＞b﹣d不一定成立，故A错误；
＞不一定成立，故B错误；
ac＞bd不一定成立，故C错误；
由不等式同号可加性可得：c+a＞d+b，
故选：D
2．在数列{an}中，已知前n项和Sn=7n2﹣8n，则a100的值为（ ）
A．1920 B．1400 C．1415 D．1385
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】直接利用an=Sn﹣Sn﹣1的关系进行求值即可．
【解答】解：由Sn=7n2﹣8n，得a100=S100﹣S99=7×1002﹣8×100﹣[7×992﹣8×99]=1385．
故选D．
3．已知x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值是（ ）
A．0 B．10 C．15 D．20
【考点】简单线性规划．
【分析】先满足约束条件，然后将各个角点的坐标代入目标函数的解析式，分析比较后，即可得到目标函数z=4x+2y的最大值；
【解答】解：∵x，y满足约束条件，目标函数z=4x+2y，
∴画出可行域可得：
A点坐标，解得A（，）；
由图可得：目标函数z=4x+2y在点A（，）取得最大值，
zmax=4x+2y=4×+2×=15；
故选C；
4．在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】根据等差中项的性质列出方程，结合内角和定理求出B，由正弦定理和分式的性质求出式子的值．
【解答】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，
由A+B+C=π得B=，
∵b=，∴由正弦定理得， ==2，
∴==，
故选：B．
5．等差数列f（x）中，已知a1=﹣12，S13=0，使得an＞0的最小正整数n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据已知条件求得 a13=12，再利用等差数列的性质可得a7=0，再由等差数列为递增的等差数列，可得使得an＞0的最小正整数n为8．
【解答】解：∵等差数列f（x）中，已知a1=﹣12，S13=0，∴=0，∴a13=12．
由等差数列的性质可得 2a7=a1+a13=0，故a7=0．
再由题意可得，此等差数列为递增的等差数列，故使得an＞0的最小正整数n为8，
故选B．
6．下列函数中，最小值为4的函数是（ ）
A．y=x+ B．y=sinx+（0＜x＜π）
C．y=ex+4e﹣x D．y=log3x+4logx3
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．
【解答】解：A．x＜0时，y＜0，不成立；
B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立．
C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．
D．x∈（0，1）时，log3x，logx3＜0，不成立．
故选：C．
7．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3=+1，则a32+2a2a6+a3a7=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由等比数列的性质可得==，把已知条件代入即可求解
【解答】解：
由等比数列的性质可得
=
=
=
=8
故选C
8．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（ ）
A．24 B．8 C． D．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；基本不等式．
【分析】根据向量共线定理列出方程，得出2x+3y=3，再求
的最小值即可．
【解答】解：∵∥，
∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，
化简得2x+3y=3，
∴=（+）×（2x+3y）
=（6+++6）≥（12+2）=8，
当且仅当2x=3y=时，等号成立；
∴的最小值是8．
故选：B．
9．在R上定义运算⊗：a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（ ）
A．（0，2） B．（﹣2，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣1，2）
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据规定的新定义运算法则先把不等式化简，然后利用一元二次不等式求解集的方法求出x的范围即可．
【解答】解：∵x⊙（x﹣2）=x（x﹣2）+2x+x﹣2＜0，
∴化简得x2+x﹣2＜0即（x﹣1）（x+2）＜0，
得到x﹣1＜0且x+2＞0①或x﹣1＞0且x+2＜0②，解出①得﹣2＜x＜1；解出②得x＞1且x＜﹣2无解．
∴﹣2＜x＜1．
故选B
10．设等比数列{an}中，前n项之和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（ ）
A． B． C． D．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差比数列的性质找出a4+a5+a6的和与a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3
的值即可求出公比q的值，然后再利用等比数列的性质求出a7+a8+a9的值．
【解答】解：a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1，
a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，
所以q3=，
则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3=．
故选B．
11．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题：若x=y，则sinx=siny的逆否命题为真命题
B．x＞2是x2﹣3x+2＞0的必要不充分条件
C．命题：若x2=1，则x=1的否命题为“若x2=1，则x≠1”
D．命题：∃x∈R使得x2+x+1＜0的否定为：∀x∈R均有x2+x+1＜0
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A，原命题与逆否命题同假同真命题；
B，x＞2是x2﹣3x+2＞0的充分条件；
C，若x2=1，则x=1的否命题为“若x2≠1，则x≠1；
D，∃x∈R使得x2+x+1＜0的否定为：∀x∈R均有x2+x+1≥0．
【解答】解：对于A，原命题为真，故逆否命题为真命题，故正确；
对于B，x＞2是x2﹣3x+2＞0的充分条件，故错；
对于C，若x2=1，则x=1的否命题为“若x2≠1，则x≠1，故错；
对于D，∃x∈R使得x2+x+1＜0的否定为：∀x∈R均有x2+x+1≥0，故错．
故选：A．
12．已知不等式x2﹣2ax+a＞0（x∈R）恒成立，则不等式a2x+1＜a＜1的解集是（ ）
A．（1，2） B．（﹣，2） C．（﹣2，2） D．（﹣3，2）
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据不等式x2﹣2ax+a＞0恒成立△＜0，求出0＜a＜1；把不等式a2x+1＜
a＜1化为2x+1＞x2+2x﹣3＞0，求出它的解集即可．
【解答】解：不等式x2﹣2ax+a＞0（x∈R）恒成立，则△＜0，
∴4a2﹣4a＜0，
解得0＜a＜1；
∴不等式a2x+1＜a＜1可化为：
2x+1＞x2+2x﹣3＞0，
即，
解得
解得1＜x＜2，
所以不等式的解集是（1，2）．
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB﹣cosB=，则角A的大小为 ．
【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
【分析】直接利用sinB﹣cosB=，通过两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦定理求出A的大小．
【解答】解：因为sinB﹣cosB=，所以，所以B﹣=，
∴B=，
由正弦定理，sinA==，所以A=．
故答案为：．
14．设命题p：“若ex＞1，则x＞0”，命题q：“若a＞b，则＜”，则命题“p∧q”为 假 命题． （填“真”或“假”）
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别判断命题p，q的真假，解得由复合命题的真假判断的原则进行判断，即可得知答案．
【解答】解：∵命题p：“若ex＞1，则x＞0”，∴可以得知命题p是真命题；
∵命题q：“若a＞b，则＜”，取反例，当a=﹣1，b=﹣2时，可以得知＞，矛盾．∴命题q为假命题；
∴命题“p∧q”为 假命题．
故答案为：假．
15．设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当Sn最大时，n= 7 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由题意可得a7+a8=0，判断数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．
【解答】解：∵a1＞0，若S5=S9，
∴S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0，
∴2（a7+a8）=0，
∴a7+a8=0，
又a1＞0，
∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，
即前7项和最大，
∴当Sn最大时，n=7
故答案为：7
16．在△ABC中， =是角A，B，C成等差数列的 充分不必要条件 ．（充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，我们可以
=对进行恒等变形，进而得到角A、B、C成等差数列与=的等价关系，再由充要条件的定义即可得到答案．
【解答】解：在△ABC中， =⇒2sinA•sinC﹣sin2A=2cosA•cosC+cos2A
⇒2sinA•sinC﹣2cosA•cosC=cos2A+sin2A=1
⇒﹣2cos（A+C）=1
⇒cos（A+C）=﹣⇒A+C==2B
⇒角A、B、C成等差数列
当角A、B、C成等差数列⇒A+C==2B，角A有可能取90°，
故 =不成立
故 =是角A、B、C成等差数列的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要条件．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；
（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．
【分析】（1）分别求出关于p，q的x的范围，根据且p∨q为真，即可求出x的范围，
（2）根据¬p是¬q的必要不充分要条件，得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）化简p：x∈（a，3a），
化简q：x∈[﹣2，9]∩（（﹣∞﹣4）∪（2，+∞））=（2，9]…，
∵a=1，∴p：x∈（1，3）依题意有p∨q为真，
∴x∈（1，3）∪（2，9]…
（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，则¬q⇒¬p且逆命题不成立，即p⊂q．
∴（a，3a）⊂（2，9]，即2≤a＜3a≤9…
∴a∈[2，3]…
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求A；
（2）若，△ABC的面积．求b，c．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，结合sinC≠0，化简可得sin（A﹣）=，结合范围0＜A＜π，即可求A的值．
（2）由三角形面积公式可得： =，解得bc=4，由余弦定理可得b+c=4，即可求得b，c的值．
【解答】解：（1）由条件，可得sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，
∵sinC≠0，
∴=sinA﹣cosA，即sinAcos﹣cosAsin=，sin（A﹣）=，
∵0＜A＜π，∴，∴A﹣，∴A=…6分
（2）由三角形面积公式可得： =，解得bc=4．
由余弦定理可得：a2=b=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc=（b+c）2﹣4=12．
故解得：b+c=4，则b=c=2…12分
19．等差数列{an} 中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=．
（1）求an与bn；
（2）求数列{}的前n项和．
【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
【分析】（1）根据b2+S2=12，{bn}的公比q=，建立方程组，即可求出an与bn；
（2）对通项化简，利用裂项法求和，即可得到数列{}的前n项和．
【解答】解：（1）由已知得b2=b1q=q，所以有，
解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6
∴an=3+3（n﹣1）=3n，
（2）∵，∴
∴==
20．已知函数f（x）=x2+3x+a
（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．
【分析】（1）直接利用二次不等式转化求解即可．
（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的最值求解即可．
【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，
解得{x|x＜﹣4或x＞1} …
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，
设g（x）=﹣x2﹣3x
则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，
∴a得取值范围为{a|a＞﹣4} …．
21．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A；
（2）若，求bc的取值范围．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）所求式子变形后，利用余弦定理及二倍角的正弦函数公式化简，求出sin2A的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值化简即可求出A的度数；
（2）由cosA的值求出sinA的值，利用正弦定理求出2R的值，利用正弦定理表示出bc，将表示出的B代入，利用和差化积公式变形，根据余弦函数的值域即可确定出bc的范围．
【解答】解：（1）由余弦定理得：cos（A+C）=﹣cosB=﹣，
∴已知等式变形得： =，
即2sinAcosA=1，即sin2A=1，
∵A为锐角三角形的内角，
∴2A=，即A=；
（2）∵a=，cosA=，
∴sinA=，
由正弦定理=2R，即2R==2，
∴bc=2RsinB•2RsinC=4sinBsinC=4sinBsin（﹣B）
=﹣4×
=﹣2×[﹣﹣cos（2B﹣）]= +2cos（2B﹣），
由45°＜B＜90°知，﹣＜2B﹣≤，
∴＜2cos（2B﹣）≤2，
∴2＜+2cos（2B﹣）≤+2，
则bc∈（2，2+]．
22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣3Sn（n∈N*）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2an，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）利用公式an=Sn﹣Sn﹣1判断{an}为等比数列，再得出通项公式；
（II）先求出bn得出{bn}为等差数列，将两数列分别求和得出Tn．
【解答】解（Ⅰ）当n≥2时，由an=2﹣3Sn①，得an﹣1=2﹣3Sn﹣1②，
①﹣②即得4an=an﹣1，
而当n=1时，a1=2﹣3a1，故，
因而数列{an}是首项为公比为的等比数列，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故bn=1﹣2n．
∴{bn}是以﹣1为首项，以﹣2为公差的等差数列．
数列{an+bn}的前n项和Tn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）
=+=﹣n2﹣．
2017年1月13日