数学（文）卷·2019届广西桂林中学高二上学期期中考试（2017-11） 10页

桂林中学 2017-2018 学年上学期高二年级段考 数试卷（文科） 出题人：叶景龙 审题人：雷玉云 考试时间：120 分钟 说明: 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效） 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，有且 只有一项是符合题目要求的. 1．若 ,则下列不等式中成立的是 A. B. C. D. 2．双曲线 的渐近线方程是 A ． B ． C ． D． 3．命题“ ”的否定是 A.不存在 B. C. D. 4．在 中，已知 A=60°， ，则 B 的度数是 A. 45°或 135° B. 135° C. 75° D. 45° 5．在等差数列 中，若 ，则 = A.11 B.12 C.13 D.不确定 6．设集合 ， ，则“x∈A”是“x∈B”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 0<< ba ba −> 1< b a ba −<− ba 11 < 4 3, 4 2a b= = ∠ }{ na 295 =+ aa 13S 2 2 14 9 x y− = 3 2y x= ± 2 3y x= ± 9 4y x= ± 4 9y x= ± ∀ 3 2 1 0x R x x∈ − +， ≤ 3 2 1 0x R x x∈ − +， ≤ ∃ 3 2 1 0x R x x∈ − + >， ∃ 3 2 1 0x R x x∈ − +， ≤ ∀ 3 2 1 0x R x x∈ − + >， ABC∆ { }| 2 0A x x= − > { }2| 2 0B x x x= − > 7．已知椭圆 上的一点 到焦点 的距离为 2, 是 的中点,O 为原点,则 等于 A ． 2 B ． 4 C ． 8 D． 8. 已知 ，则 的最小值为 A．8 B．6 C． D． 9. 已知 中，三内角 的度数成等差数列，边 依次成等比数列．则 是 A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 10. 已知 满足约束条件 错误！未找到引用源。若 的最大 值为 4,则 = A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 11.若双曲线的中心为原点, 是双曲线的焦点,过 的直线 与双曲线相交于 , 两 点,且 的中点为 ,则双曲线的方程为 A. B. C D. 12．已知椭圆 和双曲线 焦点相同，且离心率互为倒数， 是它们的公共焦点， 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若 ，则椭圆 的离心率为 A. B. C. D. 1925 22 =+ yx M 1F N 1MF ON 2 3 12 =+ yx yx 42 + 22 23 ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ ,x y 0, 2, 0. x y x y y − ≥  + ≤  ≥ z ax y= + a (3,0)F F l P Q PQ ( 12, 15)M − − 163 22 =− yx 145 22 =− yx 136 22 =− yx 154 22 =− yx 1C 2C 1 2,F F P 1 2 60F PF∠ = ° 1C 3 3 3 2 2 2 1 2 第 II 卷 非选择题 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．在 中， ，且边 ，则 的面积等于_____________ 14.椭圆 被直线 截得的弦长为________. 15. 已知直线 与双曲线 的左、右支各有一个公共点，则 的取值范围 是 ． 16、椭圆 的焦点为 ,点 为其上的动点,当 为钝角时点 的横坐 标的取值范围是_____________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（本小题满分 10 分） 已知 为等差数列，且 ， . （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）若等比数列 满足 ， ，求 的前 n 项和公式. 18. （本小题满分 12 分） 已知△ 的周长为 10，且 ． （Ⅰ）求边长 的值； （Ⅱ）若 ，求角 的余弦值． 19.（本小题满分 12 分） 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形的休闲区（阴影部分）A 1B1C1D1 和环公 ABC a ABC∆ 60B °= 4, 3a c= = ABC∆ 2 24 16x y+ = 1 12y x= + 1y kx= − 2 2 4x y− = k 2 2 19 4 x y+ = 1 2F F， P 1 2F PF∠ P { }na 3 6a = − 6 0a = { }na { }nb 1 8b = − 2 1 2 3b a a a= + + { }nb ACB sin4sinsin =+ 16=bc A 园人行道组成．已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米（如图） （Ⅰ）若设休闲区的长 求 ABCD 所 占 面 积 S 关 于 x 的 函 数 S（ x）的解 析 式 ； （Ⅱ）要 使 公 园 所 占 面 积 最 小 ， 休 闲 区 A1B1C1D1 的 长 和 宽 该 如 何 设 计 ？ 20.（本小题满分 12 分） 设 p:实数 x 满足 ,其中 a≠0,q:实数 x 满足 .错 误！未指定书签。 (I)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (II)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 21．（本小题满分 12 分） 已知等差数列 的公差大于 0,且 是方程 的两根，数列 的 前 项的和为 ，且 ． （Ⅰ）求数列 ， 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 项和． 22．（本小题满分 12 分） 平面内动点 P（x，y）与两定点 A（-2, 0）, B（2,0）连线的斜率之积等于 ，若点 P 的 轨迹为曲线 E，过点 Q 作斜率不为零的直线 交曲线 E 于点 ． ,xBA 11 = 2 24 3 0x ax a− + < 2 2 x 6 0 2 8 0 x x x  − − ≤  + − > { }na 53 ,aa 045142 =+− xx { }nb n nS *1 ( )2 n n bS n N −= ∈ { }na { }nb { }nc n 1 3 − ( 1,0)− CD C D、 （I）求曲线 E 的方程； （II）求证： ； （III）求 面积的最大值． AC AD⊥ ACD∆ 桂林中学 2017-2018 学年上学期高二年级段考文科数学参考 答案 1、解： 选 A. 2．A 3．B 4．解：由正弦定理得 . 选 D. 5．解： ,选 C. 6．解： , 但 所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，选 A. 7．【答案】B【解】设椭圆的另一焦点为 ,因 为 ,所以 ,由 题意可知： 为 D 的中位线,所以 . 8.解： 当且仅当 时取等号，选 C. 9.解：若 A,B,C 成等差数列，则 2B=A+C,又 A+B+C= 所以 ， 若 a,b,c 成等比数列，则 由余弦定理 得 所以 为等边三角形，选 B. 10.解：选 B.由约束条件可画可行域如图,解得 A(2,0),B(1,1).若过点 A(2,0)时取最大值 4,则 a=2,验证符合条件;若过点 B(1,1)时取最大值 4, 则 a=3,而若 a=3,则 z=3x+y 最大值为 6(此时 A(2,0)是最大值点),不符合题 意. 1 10, 1, , ,aa b B Db a b < < ∴ > > 错， .C,ba0ba 错−>−⇒>−>− ,2 2 34 60sin24 a AsinbBsin =°== °=>∴> 45B,BA,ba { }是等差数列，na ( ) ( ) 13aa2 13aa2 13S 9513113 =+=+=∴ ( ) ( ) ( )+∞∞−=+∞= ,20,B,,2A  ,BxAx ∈⇒∈ ,AxBx ∈∈ 推不出 2F 1925 22 =+ yx 102252 =⇒= aa ON 21FMF∆ 42 10 2 2 11 =−=−= MFMFaON ,22222222242 y2xy2xy2xyx ==•≥+=+ + 4 1y,2 1x == ，π 3B π= ,acb 2 = ,2 1 ac2 bcaBcos 222 =−+= ,bca,ac2ca 22 ===+ ABC∆ 11.【答案】D 解：由题意可设双曲线方程为 ,F(3,0)是双曲线的焦 点 , 所 以 设 ,(1)-(2) 得 ： , 的 中 点 为 ( － 12, － 15), ,又 的斜率是 ,即 ,将 代入 可得 所以双曲线的标准方程为 ,答案为 D 12． 解：设 ， 在椭圆 中 ， ，即 在双曲线 中 ， 即 ，则 所以 ，由题知 ，则椭圆离心率 ，选 A. 13．解： 14.解：由 错误！未指定书签。 ， 消去 y 并化简得 设直线与椭圆的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2),则 所以弦长 ===. 15. 解：由 ，依题意有 )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x 3=c ,922 =+∴ ba ),(),,( 2211 yxQyxP )1(,12 2 1 2 2 1 =− b y a x )2(,12 2 2 2 2 2 =− b y a x )( )( 21 2 21 2 21 21 yya xxb xx yy + +=− − PQ M 2 2 21 21 5 4 a b xx yy =− − PQ 1312 015 =−− −− 15 4 2 2 = a b 22 54 ab = 22 54 ab = ,922 =+ ba 5,4 22 == ba 154 22 =− yx 1 1PF r= 2 2PF r= 1C ( )2 2 2 1 2 1 22 2 cos60C r r rr= + −  ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 1 23 2 3r r rr a rr= + − = − 2 2 2 1 2 1 13 4 4 4rr a c b∴ = − = 2 1 2 1 4 3rr b= 2C ( )2 2 2 1 2 1 22 2 cos60C r r rr= + −  ( ) ( )2 2 1 2 1 2 2 1 22r r rr a rr= − + = + 2 2 2 1 2 2 24 4 4rr c a b∴ = − = 2 2 1 2 4 43 b b∴ = 2 2 1 23b b= ( )2 2 2 2 1 23a c c a− = − 22 2 2 1 c4a3a =+ 2 12 1 1 3 4e e+ = 1 3 3e = 1 1S sin 4 3sin 60 3 3.2 2ac B= = × × ° =    += =+ 1x2 1y 16y4x 22 ,06x2x2 =−+ ,6xx,2xx 2121 −=−=+ 21 2 xxk1MN −+= ( ) 05kx2xk14yx 1kxy 22 22 =−+−⇒    =− −= . 16、解：依题意 ,设 ,则 ,故 . 17．解：（Ⅰ）设等差数列 的公差 ， 因为 所以 ………………2 分 解得 ………………4 分 所以 ………………5 分 （Ⅱ）设等比数列 的公比为 因为 所以 即 =3 ………………8 分 所以 的前 项和公式为 ………10 分 18. 解：（Ⅰ）根据正弦定理， 可化为 …………3 分 联立方程组 解得 …………5 分 所以，边长 …………6 分 （Ⅱ）由 又由（Ⅰ）得 得 …………8 分 = …………10 分 因此，所求角 的余弦值是 …………12 分 19.解：（Ⅰ）由 米，知 米， …………2 分 …………6 分 （Ⅱ） …………9 分 当且仅当 即 时取等号 …………11 分 所以要使所占面积最小，休闲区 的长为 100 米，宽为 40 米。………12 分 ( ) ( )       <− − >−×−−=∆ ≠− 0k1 5 05k14k4 0k1 2 22 2 1k1 <<−⇒ 1 25 ( 5 )F F( - , 0) ， , 0 P 0 0( , )x y 1 0 0 2 0 0( 5 , ), ( 5 , ),PF x y PF x y= − − − = − −  2 2 2 1 2 0 0 0 55 1 09PF PF x y x= − + = − <   0 3 5 3 5 5 5x− < < { }na d 3 66, 0a a= − = 1 1 2 6 5 0 a d a d + = −  + = 1 10, 2a d= − = 10 ( 1) 2 2 12na n n= − + − ⋅ = − { }nb q 2 1 2 3 124, 8= + + = − = −b a a a b 8 24q− = − q { }nb n 1(1 ) 4(1 3 )1 n n n b qS q −= = −− Asin4CsinBsin =+ a4cb =+ ,a4cb 10cba    =+ =++ .2a = .2a = ,16bc = ,8cb =+ ,4cb == bc2 acbAcos 222 −+=∴ .8 7 442 244 222 =×× −+ A .8 7 xBA 11 = x 4000CB 11 = ( ) ( )0xx 80000x841608x 400020xS >++=     ++=∴ ,5760x 80000x824160x 80000x84160S =•+≥++= ,x 80000x8 = 100x = 1111 DCBA 20.解：(I)由 错误！未指定书签。得 q:20 时,p:a0， ∴ ， 公差 ∴ ………………2 分 又当 =1 时，有 当 ∴数列{ }是首项 ，公比 等比数列，∴ ………6 分 （2） ，设数列 的前 项和为 ， (1) (2)………9 分 得： 化简得： …………………12 分 22、解：（I）设动点 P 坐标为 ，当 时，由条件得：    >−+ ≤−− 08x2x 06xx 2 2 ,3x1 3x2    << ≤< ,3x2 << 53,aa 045142 =+− xx }{ na d 53 =a 95 =a .235 35 =− −= aad .12)5(5 −=−+= ndnaan n 1 1 1 1 2 bb S −= = 1 1 3b∴ = ).2(3 1),(2 1,2 1 11 ≥=∴−=−=≥ − −− nb bbbSSbn n n nnnnn有时 nb 1 1 3b = 1 3q = 1 1 1 .3 n n nb b q −= = 2 1 3n n n n nc a b −= = { }nc n nT  1 2 3 1 3 5 2 1........3 3 3 3n n nT −= + + + + 1 3 nT∴ = 2 3 4 1 1 3 5 2 3 2 1...3 3 3 3 3n n n n + − −+ + + + + (1) (2)− 2 3 1 2 1 2 2 2 2 1.....3 3 3 3 3 3n n n nT + −= + + + + − = 2 3 1 1 1 1 1 2 12( ..... )3 3 3 3 3n n n + −+ + + + − 11 3n n nT += − ( )y,x 2x ±≠ ，化简得 ， 故曲线 E 的方程为 . 4 分（说明：不写 的扣 1 分） （ II ） 斜 率 不 为 0 ， 所 以 可 设 方 程 为 ， 与 椭 圆 联 立 得 ： 设 ， 所 以 ，. 6 分 = 所以 8 分 = ,这里 10 分 当 的面积最大为 . 12 分 1 2 2 3 y y x x ⋅ = −− + 2 23 14 4 x y+ = 2 23 14 4 x y+ = ( 2)x ≠ ± 2x ±≠ CD CD 1+= xmy 032)3( 22 =−−+ myym ),(),,( 2211 yxDyxC 3 3,3 2 221221 + −=+=+ myym myy ( ) ( ) ( ) ( )22112211 y,1myy,1myy,2xy,2xADAC +•+=+•+=• ( ) ( ) ( ) ，013m m2 3m 1m31yymyy1m 2 2 2 2 2121 2 =++++ +−=++++ AC AD⊥ ( ) 的面积为ACDIII ∆ ( ) ( ) ( ) 21 2 212121 yy4yy2 1yy2 1yyQA2 1 −+=−=+ 3m 12 3m m2 2 1 2 2 2 ++     += ( ) ( )22222 2 3m 3 3m 4 3m 9m4 + −+= + += 3 4 3 2 3m 13 2 2 +     −+− ,3 1 3m 1 2 ≤+ 时，即 0m,3 1 3m 1 2 ==+ ACD△ 1