2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§6-1 数列的概念及其表示（讲解部分） 17页

专题六　数　列 §6.1 　数列的概念及其表示 高考文数 考点　数列的概念及其表示 考点清单 考向基础 1.数列的概念 按照一定顺序排列 的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的 项. 数列的简单表示法: 列表法、图象法、通项公式法(解析式法). 2.数列的分类 (1)根据数列的项数可以将数列分为两类: 有穷数列——项数有限的数列; 无穷数列——项数无限的数列. (2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类: 递增数列——从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列; 递减数列——从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列; 常数列 —— 各项相等的数列 ; 摆动数列 —— 从第 2 项起 , 有些项大于它的前一项 , 有些项小于它的前一项 的数列 . 3.数列与函数的关系 从函数观点看, 数列可以看成以N * (或它的有限子集)为定义域的函数 a n = f ( n ) ,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反之, 对于函数 y = f ( x ),如果 f ( i )( i =1,2,3, … )有意义,那么我们可以得到一个数列 f (1), f (2), f (3), … , f ( n ), … . 4.如果已知数列{ a n }的首项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一 项 a n 与它的前一项 a n -1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这 个公式叫做数列的递推公式. 5.数列的通项公式 如果数列{ a n }的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这 个公式叫做这个数列的通项公式. 6. 已知 S n ,则 a n =   数列{ a n }中,若 a n 最大,则   若 a n 最 小,则   考向一　数列的性质 考向突破 例1    (2018湖北襄樊五中12月月考,8)已知数列{ a n }满足 a n =   ( n ∈N * ), 将数列{ a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{ b n },则 b 2 017 的末位数字为   (　　) A.8　    B.2　    C.3　    D.7 解析　由 a n =   , n ∈N * ,可得此数列为   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   , … . a n 的整数项为2,3,7,8,12,13, … . 其规律就是各项之间是按照+1,+4,+1,+4,+1,+4, … 递增的, ∴ b 2 n -1 =2+5( n -1)=5 n -3, b 2 n =3+5( n -1)=5 n -2. 由2 n -1=2 017,解得 n =1 009, ∴ b 2 017 =5 × 1 009-3=5 042.故 b 2 017 的末位数字为2,故选B. 答案    B 例2　(1)(2018广东深圳耀华实验学校期中,11)在数列{ a n }中, a 1 =1, a n +1 =2 a n - 2 n ,则 a 17 =   (　　) A.-15 × 2 16 　    B.15 × 2 17 C.-16 × 2 16 　    D.16 × 2 17 (2)(2020届宁夏兴庆月考,4)已知数列{ a n }满足 a n +1 = a n +2 n , a 1 =1,则 a 15 =   (    　) A.111　    B.211　    C.311　    D.411 考向二　由递推公式求通项 a n 解析　(1)由题意可得   =   -   , 即   -   =-   , 据此可得,数列   是首项为   =   ,公差为-   的等差数列, 故   =   +(17-1) ×   =-   , ∴ a 17 =-15 × 2 16 .故选A. (2)数列{ a n }满足 a n +1 = a n +2 n , 则 n ≥ 2时, a n - a n -1 =2( n -1), a n -1 - a n -2 =2( n -2), …… , a 3 - a 2 =2 × 2, a 2 - a 1 =2 × 1, ∴ a n - a 1 =2(1+2+3+ … + n -1)( n ≥ 2), ∴ a n =2(1+2+3+ … + n -1)+1=2 ×   +1= n 2 - n +1( n ≥ 2). 当 n =1时, a 1 =1也符合上式,∴ a n = n 2 - n +1( n ∈N * ). 则 a 15 =15 2 -15+1=211. 故选B. 答案　(1)A　(2)B 方法1　 利用 S n 与 a n 的关系求通项公式 已知 S n 求 a n 的三个步骤: (1)先利用 a 1 = S 1 求出 a 1 . (2)用 n -1替换 S n 中的 n ,得到一个新的关系式,利用 a n = S n - S n -1 ( n ≥ 2)便可求出当 n ≥ 2时 a n 的表达式. (3)对 n =1时的结果进行检验,看是否符合 n ≥ 2时 a n 的表达式,若符合,则可以 把数列的通项公式合写;若不符合,则应该分 n =1与 n ≥ 2两段来写. 方法技巧 例1    (2018广东化州第二次模拟,16)已知 S n 为数列{ a n }的前 n 项和,且log 2 ( S n +1)= n +1,则数列{ a n }的通项公式为 　　　　　　     . 解析　由log 2 ( S n +1)= n +1, 得 S n +1=2 n +1 , 当 n =1时, a 1 = S 1 =3; 当 n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 =2 n ,当 n =1时不符合上式, 所以数列{ a n }的通项公式为 a n =   答案     a n =   方法2 　已知数列的递推公式求数列的通项公式 典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 a n +1 = a n + f ( n ) 累加法 a 1 =1, a n +1 = a n +2 n   = f ( n ) 累乘法 a 1 =1,   =2 n a n +1 = pa n + q ( p ≠ 0,1, q ≠ 0) 化为等比数列 a 1 =1, a n +1 =2 a n +1 a n +1 = pa n + q · p n +1 ( p ≠ 0, q ≠ 0) 化为等差数列 a 1 =1, a n +1 =3 a n +3 n -1 其中:(1) a n +1 = pa n + q ( p ≠ 0,1, q ≠ 0)的求解方法是设 a n +1 + λ = p ( a n + λ ),即 a n +1 = pa n + pλ - λ ,与 a n +1 = pa n + q 比较即可知只要 λ =   . (2) a n +1 = pa n + q · p n +1 ( p ≠ 0, q ≠ 0)的求解方法是两端同时除以 p n +1 ,得   -   = q , 数列   为等差数列. 例2　(1)(2018山东、湖北部分重点中学第二次联考,15)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 a 1 =2, a n +1 = a n +2 n -1 +1,则 S 10 = 　　　     . (2)在数列{ a n }中, a 1 =2, a n =3 a n -1 +2( n ≥ 2),则 a n = 　　　     . 解析　(1) a 1 =2, a n +1 = a n +2 n -1 +1 ⇒ a n +1 - a n =2 n -1 +1 ⇒ a n =( a n - a n -1 )+( a n -1 - a n -2 )+ … +( a 3 - a 2 )+( a 2 - a 1 )+ a 1 ⇒ a n =2 n -2 +2 n -3 + … +2+1+ n -1+ a 1 =   + n -1+2=2 n -1 + n . ∴ S 10 =1+2+2 2 + … +2 9 +1+2+3+ … +10=   +   =1 078. (2)由 a n =3 a n -1 +2( n ≥ 2), 得 a n +1=3( a n -1 +1)( n ≥ 2), ∵ a 1 =2,∴ a 1 +1=3 ≠ 0, ∴数列{ a n +1}是以3为首项,3为公比的等比数列. 则 a n +1=3·3 n -1 =3 n , ∴ a n =3 n -1. 答案　(1)1 078　(2)3 n -1