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- 2021-06-18 发布
2017浙江省高考压轴卷
数学（文）
球的表面积公式
球的体积公式
其中R表示球的半径
柱体的体积公式
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
椎体的体积公式
其中S表示椎体分底面积，h表示椎体的高
台体的体积公式
其中分别表示台体的上、下底面面积，h表示台体的高
一、 选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|log3x＞0}，则A∩（∁UB）=（ ）
A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}
2.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
3.已知实数{an}是等比数列，若a2a5a8=8，则a1a9+a1a5+a5a9（ ）
A．有最小值12 B．有最大值12 C．有最小值4 D．有最大值4
4.已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，则￢p为( )
A．∃x0∈R，x02+2x0+1＞0 B．∀x∈R，x2+2x+1≤0
C．∀x∈R，x2+2x+1≥0 D．∀x∈R，x2+2x+1＞0
5.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P．若PF1⊥PF2，则C的离心率为( )
A． B． C．2 D．
6.已知实数x，y满足约束条件且目标函数z=2x+y的最大值是6，最小值是1，则的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7. 已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中横线上）
9.若函数是偶函数，则实数的值为
；单调增区间为 .
10.已知f（x）=lg（2x﹣4），则方程f（x）=1的解是 ，不等式f（x）＜0的解集是 ．
11. 已知平面向量，若，则= ，若，则= ；
12.直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点，若△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最小值为 ，最大值 ．
13.已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
14.已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f（x）为F﹣函数．给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=；③f（x）=2x；④f（x）=sin2x．其中是F﹣函数的序号为 ．
15.某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：
①题目：“在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，过点作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于，…”
②解：“设的斜率为，…点，，…”
据此，请你写出直线的斜率为 .（用表示）
三、解答题（本大题共5小题迷宫74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．
（1）求A；
（2）若a=3，sin=，求b．
17.数列{an}满足a1=1，（n∈N+）．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）设bn=n（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．
18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，
（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；
（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．
19.已知抛物线y2=2px，过焦点且垂直x轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．
（1）求抛物线方程；
（2）试证线段AB的垂直平分线经过定点，并求此定点；
（3）求△ABC面积的最大值．
20.已知函数，，
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意 ，恒成立，试求实数的取值范围.
2017浙江省高考压轴卷
数学（文）
1.【答案】D
【解析】A={x|x＜0}，B={x|x＞1}，
则CUB={x|x≤1}，
∴A∩（∁UB）={x|x＜0}，
故选D．
2.【答案】B
【解析】由三视图知该几何体是高为的三棱柱截去同底且高为的三棱锥所得几何体，体积等于，选B．
3.【答案】A
【解析】∵{an}是等比数列且a2a5a8=8，
∴a2a5a8=a53=8，∴a5=2，
∴a1a9+a1a5+a5a9=a32+a52+a72
=4+a32+a72≥4+2a3a7=4+2a52=12．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，则￢p为：∀x∈R，x2+2x+1＞0．
故选：D．
点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系的应用，基本知识的考查．
5.【答案】D
【解析】如图，设P（x，y），
根据题意可得F1（﹣c，0）、F2（c，0），
双曲线的渐近线为：y=x，
直线PF2的方程为：y=（x﹣c），①
直线PF1的方程为：y=﹣（x+c），②
又点P（x，y）在双曲线上，∴﹣=1，③
联立①③，可得x=，
联立①②，可得x=•c=，
∴=，
∴a2+a2+b2=2b2﹣2a2，
∴b2=4a2，
∴e=====，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】由题意得：
作出目标函数2x+y=6，和2x+y=1，
则对应的平面区域如图：
则B，C在直线ax+by+c=0上，
由，解得，即C（1，﹣1），
由，解得，即B（2，2），
则B，C在直线在直线ax+by+c=0上，
∴BC的方程为3x﹣y﹣4=0，
即a=3，b=﹣1，c=﹣4，
则=4，
故选：D
7.【答案】C
【解析】
∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，
∴|AB|=r=．
∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==，化为2a2+b2=2．
∴+=（+）（2a2+b2）=（2+2++）≥（4+2）=4，当且仅当b2=2a2=1取等号．
∴+的最小值为 4．
8.【答案】C
【解析】设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为
连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=﹣，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；
又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；
故选：C．
9. 【答案】 A
【解析】由题意知，圆C是△AF1F2的旁切圆，
点M是圆C与x轴的切点，设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点P，Q，
则由切线的性质可知：AP=AQ，F2Q=F2M，F1P=F1M，
∴MF2=QF2=（AF1+AF2）﹣（AF1+AQ）=2a﹣AF1﹣AP=2a﹣F1P=2a﹣F1M
∴MF1+MF2=2a，∴t=a=2．故选A．
10. 【答案】C
【解析】
不妨设x1＜x2，
作出f（x）和g（x）的图象，由图象知x1＜2，x2＞2，
则f（x1）=|log2（x1﹣1）|=﹣log2（x1﹣1），f（x2）=|log2（x2﹣1）|=log2（x2﹣1），
则f（x2）﹣f（x1）=log2（x2﹣1）+log2（x1﹣1）=log2（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣＜0，
即（x1﹣1）（x2﹣1）＜1，
即x1x2﹣（x1+x2）+1＜1，
即x1+x2＞x1•x2，
故选：C
1`1.【答案】
【解析】由题设可得,即;此时,因此其单调递增区间是,应填，.
考点：三角函数的图象和性质的运用．
12.【答案】7；（2，2.5）．
【解析】∵f（x）=1，∴lg（2x﹣4）=1，
∴2x﹣4=10，∴x=7；
∵f（x）＜0，
∴0＜2x﹣4＜1，
∴2＜x＜2.5，
∴不等式f（x）＜0的解集是（2，2.5）．
故答案为：7；（2，2.5）．
13 【答案】.;
【解析】若则有,解得,即此时, ;
若则有,解得,即此时,
.
14.【答案】；3．
【解析】由题意可得，△AOB是等腰直角三角形，故点O到直线ax+by=1的距离等于，
即=，求得a2+b2=2，即点P（a，b）与点（0，0）之间距离为，
即点P（a，b）在以原点为圆心、半径等于的圆上．
而点（2，2）与点（0，0）之间距离为2，
故点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最小值为 2﹣=；点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最大值为 2+=3，
故答案为：；3．
15.【答案】
【解析】设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为 （m+c）y﹣n（x+c）=0，
右焦点F2（c，0）到该直线的距离=2a，
所以n=（m+c），
所以直线AF1的方程为ax﹣by+ac=0，
与﹣=1联立可得（b4﹣a4）x2﹣2a4cx﹣a4c2﹣a2b4=0，
因为A在右支上，所以b4﹣a4＞0，
所以b2﹣a2＞0，
所以c2﹣2a2＞0，
即e＞．
故答案为：．
16.【答案】②④
【解析】对于①，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F﹣函数．
对于②f（x）=，|f（x）|==≤1×|x|，故函数f（x）为F﹣函数．
对于③f（x）=2x ，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F函数．
对于 ④f（x）=sin2x，由于|f（x）|=|sin2x|≤|2x|=2|x|，故函数f（x）为F﹣函数．
故答案为 ②④．
17.【答案】
【解析】由题设AC的斜率是，将其带入B可得C ，运用斜率公式 .
18.【解析】（1）由2cos（B﹣C）=4sinBsinC﹣1 得，
2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC=﹣1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1．
从而2cos（B+C）=﹣1，得cos（B+C）=﹣． …4分
∵0＜B+C＜π
∴B+C=，故A=． …6分
（2）由题意可得，0＜B＜π
∴，
由sin，得cos=，
∴sinB=2sincos=． …10分
由正弦定理可得，∴，
解得b=． …12分．
19.【解析】
（Ⅰ）证明：由已知可得，
即，
即
∴数列是公差为1的等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=n•2n
Sn=1•2+2•22+3•23++n•2n
2Sn=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1
相减得： =2n+1﹣2﹣n•2n+1
∴Sn=（n﹣1）•2n+1+2
20.【解析】
证明：方法一：（Ⅰ）因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，
取A1B1中点E，则HE∥BB1∥CC1且，又D为CC1的中点，
所以，得平行四边形HEDC，
因此CH∥DE，又CH⊥平面AA1B1B，
得CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC1∴CC1⊥平面A1B1D
解：（Ⅱ）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K
因为CH∥DE，CF∥A1D，所以平面CFH∥平面A1B1D，由（Ⅰ）得CC1⊥平面A1B1D，
所以CC1⊥平面CFH，又HK⊂平面CFH，所以HK⊥CC1，又HK⊥CF，得HK⊥平面AA1C1C，所以DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK
在Rt△CFH中，，
在Rt△DHK中，由于DH=2，
方法二：（向量法）
证明：（Ⅰ）如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，），C1（），A1（），B1（0，，0），
所以，，
∴，，
因此CC1⊥平面A1B1D；
解：（Ⅱ）设平面AA1C1C的法向量，由于
则，
得，所以
又，所以
21.【解析】（1）解：由题意，2p=6，∴抛物线方程为y2=6x．…
（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），
则x0=2，y0=，kAB==．
线段AB的垂直平分线的方程是y﹣y0=﹣（x﹣2），①
由题意知x=5，y=0是①的一个解，
所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，
且点C坐标为（5，0）．
所以直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．…
（2）由①知直线AB的方程为y﹣y0=（x﹣2），①
即x=（y﹣y0）+2，②
②代入y2=6x得y2=2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02﹣12=0，③
依题意，y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，
所以△＞0，﹣2＜y0＜2．
|AB|==．
定点C（5，0）到线段AB的距离h=|CM|=．
∴S△ABC=•．…
（3）由（2）知S△ABC=•≤=，…
当且仅当=24﹣2，
即y0=
所以，△ABC面积的最大值为．…
22.【解析】
(１)当a＝时，f（x）＝x＋＋2， ………2分
∵f（x）在区间11，＋∞）上为增函数， ………5分
∴f（x）在区间11，＋∞）上的最小值为f（1）＝．………7分
(２)方法一：在区间11，＋∞）上，f（x）＝＞0恒成立
x2＋2x＋a＞0恒成立. ………9分
设y＝x2＋2x＋a，x∈11，＋∞），
y＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋a－1递增，
∴当x＝1时，ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）恒成立，
故a＞－3．…………14分
方法二：f（x）＝x＋＋2，x∈11，＋∞），
当a≥0时，函数f（x）的值恒为正，当a＜0时，函数f（x）递增，
故当x＝1时，f（x）min＝3＋a，于是当且仅当
f（x）min＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故a＞－3. ……………14分
方法三：在区间11，＋∞上f（x）＝x恒成立x2＋2x+a＞0恒成立a＞－x2－2x恒成立
又∵x∈11，＋∞］a＞－x2－2x恒成立
∴a应大于u=－x2－2x，x∈11，＋∞的最大值
∴a＞－（x＋1）2＋1，x=1时u取得最大值，∴a＞－3………………14分