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- 2021-06-18 发布
2018理科数学周周练考试
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．
2．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大 ( )
A．10 B．11
C．10或11 D．12
2、在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
3、在数列{an}中，a1＝，a2＝，anan＋2＝1，则a2 016＋a2 017＝( )
A. B.
C. D．5
4、已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，
＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P
依次是△ABC的( )
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
5、已知P是△ABC内一点，且满足＋2＋3＝0，
△ABP，△BCP，△ACP的面积依次为S1，S2，S3，则
S1∶S2∶S3等于( )
A．1∶2∶3 B．1∶4∶9 C．6∶1∶2 D．3∶1∶2
6、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
7、平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定
8、等比数列{}中，a1＝2，a10＝4，函数f（x）＝x（x－a1）（x－a2）…（x－a10），则
A． B． C． D．
9、一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 ( )
A．83 B．108
C．75 D．63
10、已知数列{}的首项a1＝0，＝＋2＋1，则a20＝
A．99 B．101 C．399 D．401
11.正项数列{an}满足：a1＝2，a2＝1，且＝(n≥2)，则此数列的第2 016项为 ( )
A. B.
C. D.
12．一个半径为－1的球位于一个底面边长与侧棱长相等的正四棱锥内，则该正四棱锥体积的最小值为
A． B．3 C．4 D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13、数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋2cos2，则该数列的前20项和为________．
14、数列{·}的前2m项的和＝________
15、如图，记棱长为1的正方体为C1，以C1各个面的中心为顶点的正八面体为C2，以C2各面的中心为顶点的正方体为C3，以C3各个面的中心为顶点的正八面体为C4，…
，以此类推．则正方体C9的棱长为________．
16、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，sinC＝（sinA＋cosA）sinB，则AC边上的高的最大值为____________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn＝an＋n－3成立．
(1)求证：存在实数λ使得数列{an＋λ}为等比数列；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
18、锐角△ABC中，其内角A、B满足：．
（1）求角C的大小；
（2）D为AB的中点，CD＝1，求△ABC面积的最大值
19、等腰△ABC中，AC＝BC＝，AB＝2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P—ABFE，且AP＝BP＝．
（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；
（2）求二面角B－AP－E的大小．
20、设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3，已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
21、已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)，(1,0)，过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
22、(本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数)，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
(1) 求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.
(2) 设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.
答案
CDCDC CBADA AA
13-16 . (－∞，－1) ②③④
17.(1)解 f′(x)＝1＋2ax＋. 解得
(2)证明 因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln x.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
当00，当x>1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的．
而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
18.解：（1）
，3分
由得， ，
故的单调递增区间是.6分
（2）， ， ，
于是，故.8分由成等差数列得： ，
由得： ，10分
由余弦定理得： ，
于是， .12分
19.解：(1)因为，所以.
又，.
解得.
(2)由(1)知.
因为，由，得，
由得，，
所以函数在上递减，在上递增.
因为，，.
所以函数在上的值域为.
20.（1）由题知， . .又，即， 的解析式为.
（2）当时，函数有个零点，
等价于时，方程有个不同的解.
即与有个不同交点.
由图知必有，
即.实数的取值范围是.
21. 解：(1)∵f′(x)＝－1， 令f′(x)＝0，得x2＝1－ln x.
显然x＝1是上面方程的解．
令g(x)＝x2＋ln x－1，x∈(0，＋∞)， 则g′(x)＝2x＋>0，
∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∴x＝1是方程f′(x)＝0的唯一解．
∵当00； 当x>1时，f′(x)<0.
∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
故①当0<2m≤1，即0