2019-2020学年安徽省池州市高二上学期期末数学（文）试题（解析版） 22页

‎2019-2020学年安徽省池州市高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若直线与直线相互垂直，则实数的值为（ ）‎ A． B．6 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据两直线垂直时的斜率关系，即可得关于的方程，进而求得的值.‎ ‎【详解】‎ 直线与直线相互垂直，‎ 则满足，‎ 解得，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线垂直时的斜率关系，根据斜率关系求参数，属于基础题.‎ ‎2．已知命题，则命题的否定，命题的真假分别为（ ）‎ A．，真 B．，假 C．，真 D．，假 ‎【答案】C ‎【解析】根据全称命题的否定，可得命题的否定；根据二次函数性质及对数的性质，可判断真假.‎ ‎【详解】‎ 全称命题的否定为特称命题，故；‎ 因为，‎ 则，故命题为真，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了全称命题否命题形式，命题真假判断，属于基础题.‎ ‎3．已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数解析式，先求得导函数.将切点坐标求出来，由点斜式即可求得切线方程.‎ ‎【详解】‎ 函数 依题意，，‎ 故，而，所以切点为 所以由点斜式可得切线方程为，‎ 即，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数上一点的切线方程，属于基础题.‎ ‎4．圆与圆的公切线条数为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】先将两个圆的方程化为标准方程，求得两个圆的圆心距，与半径比较即可判断两个圆的位置关系，进而判断出公切线数量.‎ ‎【详解】‎ 圆与圆 则化为标准方程可得圆，圆，‎ 故；‎ 而，‎ 所以圆相离，故两圆有4条公切线，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的一般式与标准方程的转化，圆与圆位置关系的判断方法，由圆与圆的位置关系判断公切线数量，属于基础题.‎ ‎5．用斜二测画法画一个水平放置的边长为的等边得到的直观图，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求得等边三角形面积，再根据直观图面积与原图形的面积关系，即可求得直观图的面积.‎ ‎【详解】‎ 边长为的等边，则，‎ 由直观图与原图形的面积之比为可得，；‎ 故的面积为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了斜二测画法所得直观图与原图形的面积关系，属于基础题.‎ ‎6．已知某圆锥的轴截面为一等腰，其中，则该圆锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意画出圆锥的轴截面图形，由线段关系求得圆锥的高，即可由圆锥体积公式求解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意作出圆锥的轴截面图形如下图所示：‎ 其中为线段的中点，设底面圆的半径为，‎ 则，‎ 故圆锥的体积，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆锥的轴截面画法，圆锥体积的求法，属于基础题.‎ ‎7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求得函数的导函数，根据函数在上单调递增可令.分离参数后构造二次函数，即可由二次函数性质求得二次函数的最小值，进而求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数 则，‎ 因为函数在上单调递增，‎ 令，则，即，‎ 令，‎ 函数在上单调递减，在上单测递增，‎ 故，‎ 解得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数分析函数的单调性，由单调性求参数的取值范围，二次函数图像与性质的简单应用，属于基础题.‎ ‎8．已知长方体中，分别为所在线段的中点，则满足的图形为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，进而可得线线垂直.对于不正确选项，将异面直线平移，平移到同一平面内，利用勾股定理逆定理说明线段不垂直即可.‎ ‎【详解】‎ 长方体中，分别为所在线段的中点，设，则.‎ 对于A，由直线与平面位置关系可知,因而为异面直线但是不垂直；‎ 对于B，取中点，连接，如下图所示：‎ 则，不满足勾股定理逆定理，因而不成立.‎ 在选项C中，连接，如下图所示：‎ 因为，则，‎ 故，‎ 故；‎ 而，故平面，故，‎ 而，则平面，则，‎ 对于D，取中点，中点,.连接，如下图所示：‎ ‎，不满足勾股定理，所以与不垂直 因为,所与不垂直.‎ 综上可知，满足与不垂直的只有C 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面位置关系，直线与平面垂直的判定，直线与直线的位置关系应用，属于基础题.‎ ‎9．已知圆过点，若直线与圆交于 两点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据圆经过三个点，可设圆的一般方程.求得圆的方程后化为标准方程，求得圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 圆过点 可设圆，‎ 将代入可得 解得，‎ 整理得；‎ 故圆心到直线的距离，‎ 故，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆一般方程求法，圆的一般方程与标准方程的转化，直线与圆相交弦长求法，属于基础题.‎ ‎10．已知命题；命题直线与圆相切的一个充分不必要条件是；则下列命题中是真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由辅助角公式化简命题，利用特殊值判断命题为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得的值，判断出命题为真命题.即可由复合命题真假判断选项.‎ ‎【详解】‎ 命题 由辅助角化简可得，‎ 可知当时，，故为假；‎ 命题直线与圆相切的一个充分不必要条件是 若直线与圆相切，则，‎ 即，解得或，故为真，‎ 故为真，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.‎ ‎11．如图所示，三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据线段垂直关系，将三棱锥置于长方体中，根各棱长可求得其外接球的半径，即可求得其外接球的表面积.‎ ‎【详解】‎ 由于三棱锥中，平面，‎ 故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：‎ 则体对角线即为外接球的直径，，‎ 所以外接球的半径，‎ 故三棱锥的外接球表面积，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三棱锥的结构特征，三棱锥外接球的表面积求法，将三棱锥置于长方体或正方体中是常用方法，属于中档题.‎ ‎12．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用换元法令，将方程变形后，构造函数.利用导数分析出的单调性，画出图像后，结合曲线在处的切线斜率即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 令，则方程转化为；‎ 显然当时，方程在上无解；‎ 当时，（）式可以化为；‎ 令，，‎ 故当时，，‎ 当时，，‎ 作出函数的图象如下所示，‎ 所以曲线在处的切线斜率为1，故，即，‎ 故实数的取值范围为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数分析函的数单调性，导数的几何意义应用，构造函数法求参数的取值范围，数形结合的应用，综合性强，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．过点的直线的一般方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据两个点坐标求得直线的斜率，利用点斜式求得直线方程，再化为一般式即可.‎ ‎【详解】‎ 过点的直线的斜率为，‎ 故所求直线的方程为，‎ 即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程的求法，已知两点求直线的斜率，点斜式方程的应用，方程几种表达方式的转化，属于基础题.‎ ‎14．如图所示，三棱柱中，点在棱上，且，过点的平面与平面平行，且平面，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，作出截面.由直线关系可得，进而求得.‎ ‎【详解】‎ 因为平面平面，‎ 所以平面，‎ 而平面，平面平面，‎ 则，‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间几何体截面的作法，线段关系的判断，属于基础题.‎ ‎15．函数的极小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得函数的导函数.令，解得极值点，即可判断导函数的符号及单调区间，进而求得函数的极小值.‎ ‎【详解】‎ 函数 则，‎ 令，‎ 解得，‎ 故当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 故函数在处取到极小值.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数在研究函数极值中的应用，根据导函数判断函数的单调性，属于中档题.‎ ‎16．如图所示，三棱锥中，、均为等边三角形，，则三棱锥的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据、均为等边三角形，，可求得的长.结合即可知为正三角形.可证明平面，所以，即可求得.‎ ‎【详解】‎ 取的中点，连接，如下图所示：‎ 因为三棱锥，‎ 故，‎ 又，所以为正三角形，‎ 又因为，故平面，‎ 故三棱锥的体积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥中线面垂直的判断，三棱锥体积的求法，证明平面是关键，并且，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．如图所示，三棱锥中，，分别是线段的中点，过的平面与平面的交线为.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求证：.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）根据中位线定理可证明，从而可知平面.由线面平行的性质即可判定.‎ ‎（2）由题意可得平面，所以.连接，由可得为的中点.从而证明平面，即可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：三棱锥中，‎ ‎∵为的中点，为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，平面平面，故，‎ 故；‎ ‎（2）证明：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ 连接，‎ ‎∵，‎ ‎∴为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面平行的判定，直线与平面平行性质的应用，线面垂直的判定及性质应用，属于中档题.‎ ‎18．已知函数，其中.‎ ‎（1）若，求曲线在点处切线的斜率；‎ ‎（2）记函数的极大值为，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）将代入函数解析式，并求得导函数.代入即可求得曲线在点处切线的斜率；‎ ‎（2）将代入可得，并求得导函数.由，列表讨论的变化情况.即可求得的极大值，结合即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 依题意，‎ 故.‎ ‎（2）依题意，‎ 则 当时，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 由上表可知，，解得，‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，利用导数分析函数的单调性与极值，根据极值的情况求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎19．已知以为圆心的圆.‎ ‎（1）若圆与圆交于两点，求的值；‎ ‎（2）若直线和圆交于两点，若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得的值.‎ ‎（2）设，利用向量的坐标运算表示出.将直线方程与圆的方程联立，化简后由求得的取值范围，并表示出，，进而由直线方程表示出.根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的方程为，‎ 即；‎ 故圆的圆心到的距离，‎ 故；‎ ‎（2）设，则，‎ 由化简可得，‎ 故 解得，‎ ‎，‎ 所以，‎ 又，‎ 又 故，‎ 故，‎ 将，代入可得，‎ 解得.又因为 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.‎ ‎20．已知命题函数在上单调递增；命题函数至少有1个零点.‎ ‎（1）若为假，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为假，为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）因为为假，则命题为真.令，分离参数并构造函数，求得，由的符号判断函数的单调性与极大值.结合函数图像即可求得的取值范围；‎ ‎（2）先求得当命题为真命题时的取值范围.再由为假，为真可知一真一假.分类讨论真假、假真，即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意若为假，则命题为真，‎ 令，‎ 解得，‎ 令，则，‎ 故当时，，‎ 当，，‎ 作出函数图象如下所示，‎ 所以当时，取得极大值，为 由图像可知若至少有一个零点，则，‎ 即；‎ ‎（2）当命题为真时，函数在上单调递增，‎ 显然时，不符合题意，‎ 由二次函数性质知解得；‎ 若为假，为真，则一真一假：‎ 若真假，则实数满足则；‎ 若假真，则实数满足则；‎ 综上所述，实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据命题真假求参数的取值范围，由复合命题真假求参数的取值范围，注意分类讨论思想的应用，属于中档题.‎ ‎21．如图，四边形由边长为2的等边、等边以及等边拼接而成，现沿进行翻折，使得平面平面.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）取的中点，连接.可得，，因而平面，即可得.‎ ‎（2）设到平面的距离为，直线与平面所成角为所以.求得.在中，求得边上的高，即可求得.由等体积法可知，即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：取的中点，连接，如下图所示：‎ 依题意，为等边三角形，‎ 故，‎ 是等边三角形，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 故；‎ ‎（2）设到平面的距离为，直线与平面所成角为，‎ 则；‎ 因为平面平面，‎ 所以平面，‎ ‎，‎ 由，得，故，‎ 因为，故边上的高为，‎ 故，‎ 故，即，‎ 得，‎ 故，‎ 故直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面垂直的判定，直线与平面夹角的求法，等体积法的应用，属于中档题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）判断函数的单调性；‎ ‎（2）若，证明：关于的不等式在上恒成立.‎ ‎【答案】（1）当时函数在上单调递减；当时，在 上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）先求得导函数，对分类讨论：当时，易得，即可判断函数的单调性；当时，令，求得极值点，即可判断在极值点左右两侧的函数单调性.‎ ‎（2）将解析式代入，移项后构造函数.求得导函数.根据可知，因而构造函数，求得导函数，可判断的单调性，进而由单调性与最值得，即.由讨论的取值情况，判断的单调性，并求得最值，即可证明，从而证明不等式成立.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数，‎ 则；‎ 若，则，此时函数在上单调递减；‎ 若，令，解得，‎ 故当时，；‎ 当时，，‎ 故函数在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（2）证明：要证，即证，‎ 令，‎ 则，‎ 当时，，‎ 令，则当时，，‎ 故函数在上单调递增，‎ 即；‎ ‎∴.‎ 当时，，当时，，‎ 函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 故，‎ 即，‎ 故关于的不等式在上恒成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数判断函数的单调区间，分类讨论思想的综合应用，利用构造函数法分析函数的单调性与极值和最值，利用导数证明不等式成立，属于难题.‎