- 657.72 KB
- 2021-06-18 发布
北京市西城外国语学校
2016-2017学年第一学期阶段测试试卷
高二年级 数学模块2
A卷（本卷共100分）
一、选择题（本题共10小题，每题只有一个正确答案，每题4分，共40分）
1. 直线的倾斜角为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线，
，
倾斜角．
故选．
2. 过点且与直线平行的直线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设直线，
代入点解出，
故直线方程为．
故选．
3. 直线与圆的位置关系为（ ）．
A. 相切 B. 相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离
【答案】B
【解析】圆心到直线的距离，
，
说明两者相交，且直线不经过．
故选．
4. 已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）．
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】D
【解析】试题分析：由题意得，A中，若，则与平行、相交或异面，所以不正确；B中，若，则与可能是相交平面，所以不正确；C中，若，则与可以是相交平面，所以不正确；D中，根据垂直与同一平面的两直线是平行的，所以“若，则”是正确的，故选D.
考点：线面位置的判定与证明.
5. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】由左视图知，棱柱高为，
底面三角形高为，
正三角形边长为．
故选．
6. 直线与直线平行，那么的值是（ ）．
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】两直线平行，则，
解出或，
当时，直线分别为，
，
当时，直线分别为，
．重合（舍去）
7. 设直线过点，其斜率为，且与圆相切，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线为，
圆心到直线距离，
解出．
故选．
8. 己知正方体棱长为，则它的内切球的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设球的半径为，
球是正方体的内切球，，
表面积．
故选．
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．
9. 如图，将无盖正方体纸盒展开，线段，
所在直线在原正方体中的位置关系是（ ）．
A. 平行 B. 相交且垂直 C. 异面 D. 相交成
【答案】D
【解析】在原正方体中，，相聚为一点，
连接，则，
为等边三角形，
、相交成．
故选．
10. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由三视图可知，几何体为棱锥，
底面积，
高，
体积．
故选．
二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
11. 在空间直角坐标系中，点到原点的距离为__________．
【答案】
【解析】距离
12. 直线与圆相交于、两点，则__________．
【答案】
【解析】圆心到直线的距离，
，
圆半径，
．
点睛：处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
13. 圆与圆的位置关系是__________．
【答案】外切
【解析】圆心分别为、，
半径分别为，，
圆心距，
等于两圆半径之和，外切．
14. 为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为__________．
【答案】
【解析】圆心到直线距离
，
圆上动点到直线距离最小值为
．
点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
15. 底面边长是，高为的正四棱锥的侧棱长为__________，侧面积为__________．
【答案】 (1). (2).
【解析】侧棱长，
侧面三角形的高，
侧面积．
16. 下列条件中，能判定互异的平面与平面平行的条件可以是__________．（写出所有正确条件的序号）
①内有无穷多条直线都与平行； ②内的任何一条直线都与平行；
③直线，直线，且；④直线，直线，．
【答案】②④
②成立．
③一条直线平行于平面，无法判断．
④成立．
三、解答题（本题共3小题，每题12分，本题共36分）
17. 已知平面上有三个定点，，．
（I）已知、分别为、中点，求所在直线方程．
（II）求的边的高所在直线方程．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）先根据中点坐标公式求、坐标，再根据两点式求所在直线方程．（2）先求斜率，再根据负倒数得的高斜率，最后根据点斜式写高所在直线方程．
试题解析：（I），，，
，
，
∴，
，
整理得．
（II）∵，
∴边上高斜率为，
∵高经过，
∴，
整理得：．
18. 如图，四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面，为的中点．
（）求证：平面．
（）求证：．
【答案】(1)见解析(2) 见解析
【解析】试题分析：（1）连接交于点，根据中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）先根据正方形性质得，再根据侧棱底面得，最后根据线面垂直判定定理得平面，即得结论
试题解析：（）
证明：连接交于点，
∵在中，
、分别是，中点，
∴，
∴平面，
平面，
∴平面．
（）∵在正方形中，
，
在四棱柱中，
平面，
平面，
∴，
∵点，
，平面，
∴平面，
∵平面，
∴．
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
19. 如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且，，、分别为和的中点．
（）证明：平面．
（）证明：平面平面．
（）当上的动点满足什么条件时，使三棱锥的体积与四棱锥体积的比值为，并证明你的结论．
【答案】(1) 见解析(2) 见解析(3) 在中点
【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得结论（2）由矩形性质得，再根据面面垂直性质定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结论（3）
两锥体体积高之比为1：2，所以对应底面面积之比为1：8，在正方形中易得点中点
试题解析：（）证明：连接，
在矩形中
为中点，
同为中点，
∵为中点，
∴，
∵平面，
平面，
∴平面．
（）在矩形中，
，
∵平面平面，
平面平面，
平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．
（）当动点在中点时，
，
，
，
即．
点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
B卷
一、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）
20. 正四棱锥底面外接圆半径为，斜高为，则棱锥侧面积为__________．
【答案】
【解析】∵正四棱锥底面为正方形，
正方形边长为，
侧面积．
21. 已知、满足方程，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】在圆中，
过原点作直线与圆相切，
圆心到直线的距离，
，
解得或，
即最大值为．
点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
22. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．
【答案】
【解析】设底面圆的半径为，
圆柱高为，
则，
侧面积，
全面积，
∴．
23. ．如图：点在正方体的面对角线上运动，下列四个命题：
①三棱锥的体积不变；②平面；
③；④平面平面．
其中正确命题的序号是__________．
【答案】①②④
【解析】①正确，∵面积不变，
且点到平面的距离不变，
∴三棱锥体积不变．
②正确，∵在正方体中，
，
平面，
平面，
∴平面，
∵，
平面，
平面，
∴平面，
∵点，
、平面，
∴平面平面，
∵平面，
∴平面．
③错误，在上移动，
当在处时，有．
④正确，连接交于点，
∵在正方形中，
，
在正方体中，
面，
∴，
∵点，
、平面，
∴平面，
∴，
同理可证，
∵点，
、平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．
综上①②④正确．
24. ．已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．则点到线段的距__________．
【答案】
【解析】过点作直线①，
∵，
∴，
∴，
整理得②，
联立两直线方程①②，
解得，，交点，
∵，即点不在线段上，
∴当时，．
二、解答题（本题共3小题，每题10分，共30分）
25. ．已知圆的方程为．
（I）求过点的圆的切线方程．
（II）求平行于直线且被圆截得的弦长为的直线方程．
【答案】(1) 或．(2) 直线方程为或．
【解析】试题分析：（1）设切线点斜式方程，根据圆心到切线距离等于半径可得斜率，最后验证斜率不存在时是否满足题意（2）根据平行关系可设直线方程，再根据垂径定理列等量关系，求参数
试题解析：（I）设切线方程，
整理得，
圆心，半径，
∴圆心到切线距离，
解出，
即切线方程为，
当切线斜率不存在时，切线平行于轴，
切线方程为，符合要求，
综上，切线方程为或．
（II）设直线方程，
圆心到直线的距离，
，
代入解出，
∴直线方程为
或．
点睛：1．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．
26. 关于，的方程为．
（）若上述关于，的方程表示圆，求的取值范围．
（）若圆与直线的两个交点为，，且满足其中（为坐标原点），求此时的值．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）根据一般式条件得，解得的取值范围．（2）由条件可得圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求的值．
试题解析：（）
化成标准方程为
，
∴，
解出．
（）∵，
在中，，
∴，
解出．
27. ．某几何体如图所示，平面，，是边长为的正三角形，，，点、分别是、的中点．
（I）求证：平面．
（II）求证：平面平面．
（III）求该几何体的体积．
【答案】(1)见解析(2) 见解析(3)
【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）由正三角形性质得，由平面，得，再由线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结论（3）几何体为四棱锥，C到直线AB距离为高，根据锥体体积公式可得结论
试题解析：（I）证明：
连接，
在中，
、分别是、中点，
∴，
∵平面，
平面，
∴平面．
（II）∵在等边中，
是边中点，
∴，
又∵平面，
∴，
∵点，
且、平面，
∴平面平面．
（III）将直角梯形看成底面，
过点作于点，
看成几何体的高，
∴
，
，
．