2018年广东省茂名市高考一模数学理 18页

2018 年广东省茂名市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x|x2-2x-3＜0}，B={-1，0，1，2}，则 A∩B=( ) A.{-1，0，1，2} B.{x|-1＜x＜3} C.{0，1，2} D.{-1，0，1} 解析：集合 A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}， B={-1，0，1，2}， 则 A∩B={0，1，2}. 答案：C 2.已知复数 z 满足(z-i)i=2+i，i 是虚数单位，则|z|=( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.3 解析：由(z-i)i=2+i，得     2 22 12 iiiz i ii i     ＝ ＝ ， ∴z=1-i， 则   221 1 2z    ＝ . 答案：A 3.已知变量 x，y 满足约束条件 2 4 1 y xy xy      ，则 z=3x+y 的最大值为( ) A.12 B.11 C.3 D.-1 解析：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=3x+y 得 y=-3x+z， 平移直线 y=-3x+z，由图象可知当直线 y=-3x+z，经过点 A 时， 直线的截距最大，此时 z 最大. 由 2 1 y xy    ＝ ＝ ，解得 3 2 x y    ＝ ＝ ， 即 A(1，2)，此时 zmax=3×3+2=11. 答案：B 4.设 X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个 点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( ) (注：若 X～N(μ ，σ 2)，则 P(μ -σ ＜X＜μ +σ )=68.26%，P(μ -2σ ＜X＜μ +2σ )=95.44%) A.7539 B.6038 C.7028 D.6587 解析：∵X～N(1，1)，∴μ =1，σ =1.μ +σ =2 ∵P(μ -σ ＜X＜μ +σ )=68.26%，∴则 P(0＜X＜2)=68.26%， 则 P(1＜X＜2)=34.13%， ∴阴影部分的面积为：0.6587. ∴正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是 6587. 答案：D 5.数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔 七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红 灯数为上一层的两倍，共有 381 盏灯，则该塔中间一层有( )盏灯. A.24 B.48 C.12 D.60 解析：根据题意，设最底一层有 a 盏灯， 则由题意知从下而上，第一层至第七层的灯的盏数构成一个以 a 为首项，以 1 2 为公比的等 比数列， 又由  7 7 11 2 38111 2 a S    ， 解可得 a=192， 则  3 4 1 242aa   ， 即该塔中间一层有 24 盏灯. 答案：A 6.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后， 甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误， 则下列结论正确的是( ) A.丙被录用了 B.乙被录用了 C.甲被录用了 D.无法确定谁被录用了 解析：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立； 假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话， 若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用； 若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立. 答案：C 7.函数   ||xefx x ＝ 的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 解析：∵f(-x)=-f(x)，可得 f(x)为奇函数，排除 B， ∵f(1)＝ 3 e ＜1，排除 A. 当 x＞0 时，       2 1 3 3 xx xeef x f xx x  ＝ ， ＝ ，∴在区间(1，+∞)上 f(x)单调递增，排除 D. 答案：C 8.执行如图所示的程序框图，那么输出的 S 值是( ) A. 1 2 B.-1 C.2018 D.2 解析：依题意，执行如图所示的程序框图可知： 初始 S=2，当 k=0 时，S0=-1，k=1 时，S1= 1 2 ， 同理 S2=2，S3=-1，S4= 1 2 ，…， 可见 Sn 的值周期为 3. ∴当 k=2007 时，S2007=S0=-1， k=2008，退出循环.输出 S=-1. 答案：B 9.设 P 是双曲线 22 221yx ab  ＝ (a＞0，b＞0)上的点，F1，F2 是其焦点，且 PF1⊥PF2，若△PF1F2 的面积是 1，且 a+b=3，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 5 C. 5 2 D. 3 2 解析：方法一：设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意得 由 PF1⊥PF2，△PF1F2 的面积是 1，则 1 2 mn=1，得 mn=2， ∵Rt△PF1F2 中，根据勾股定理得 m2+n2=4c2 ∴(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4， 结合双曲线定义，得(m-n)2=4a2， ∴4c2-4=4a2，化简整理得 c2-a2=1，即 b2=1， 则 b=1，由 a+b=3，得 a=2，所以 22 5c a b   ， ∴该双曲线的离心率为 5 2 ce a . 方法二：由双曲线的焦点三角形的面积公式 2 tan 2 bS  ，∠F1PF2=θ ， 由 PF1⊥PF2，则∠F1PF2=90°， 则△PF1F2 的面积 2 2 1tan 45 bSb   ，由 a+b=3，得 a=2，所以 ， ∴该双曲线的离心率为 . 答案：C 10.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若  sin 126 A ，且 a=2.则△ ABC 面积的最大值为( ) A. 3 B. 3 3 C. 3 2 D. 23 解析：△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 ，且 a=2. 由于：0＜A＜π ， 则： 6 2 6 3 A  ＜ ＜ ， 所以： 2 6 6 A ， 解得： 2 3A ＝ ， 所以：a2=b2+c2-2bccosA， 整理得：4=b2+c2+bc， 由于：b2+c2≥2bc， 所以：bc≤ 4 3 ， 则： 1 1 4 3 3sin2 2 3 2 3ABCS bc A   ＝ ＝ . 答案：B 11.三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为( ) A. 43π B. 23π C. 42π D. 22π 解析：三棱锥的直观图如图，以△PBC 所在平面为球的截面， 则截面圆 O1 的半径为 1312 sin 60  ＝ ，以△ABC 所在平面为球的截面， 则截面圆 O2 的半径为 1 11 22AB＝ 球心 H 到△ABC 所在平面的距离为 11 32PO＝ ， 则球的半径 R 为 1 11 344 ＝ ， 所以球的体积为  34 3 4 33 . 答案：A 12.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足条件 f(1+x)=f(1-x)，当 x∈[0，1]时，f(x)=x，若函数 g(x)=|f(x)|-ae-|x|在区间[-2018，2018]上有 4032 个零点，则实数 a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(e，e3) C.(e，e2) D.(1，e3) 解析：∵f(x)满足条件 f(1+x)=f(1-x)且为奇函数，函数 f(x)=f(2-x)=-f(-x) ∵f(-x)=f(2+x) f(x+4)=f(x) ∴f(x)周期为 4， ∵当 x∈[0，1]时，f(x)=x，根据 m(x)=|f(x)|与 n(x)=ae-|x|图象， 函数 g(x)=|f(x)|-ae-|x|在区间[-2018，2018]上有 4032 个零点， 即 m(x)=|f(x)|与 n(x)=ae-|x|在[0，4]有且仅有两个交点， ∴         11 33 mn mn    ＜ ＞ 即 e＜a＜e3. 答案：B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 a＝(1，2)，b＝(-1，λ )，若 a⊥b，则λ =_____. 解析：∵    1 2 1a b a b＝ ， ，＝ ， ， ， ∴ ab =-1+2λ =0， 解得λ = 1 2 . 答案： 1 2 14.在   42 11xx的展开式中，x2 的系数是_____. 解析：        432 2 2 3 2 441 1 1 2 1 4x x x x x C x C x x         ∴x2 的系数= 2 41 2 1 10C     答案：-10 15.已知函数    224 sin sin 2 sin24 xf x x x    (ω ＞0)在区间 ]3 44[  ， 上是 增函数，且在区间[0，π ]上恰好取得一次最大值，则ω 的取值范围是_____. 解析： =   2 1 cos 24 sin 2 sin2 x xx     =2sinω x(1+sinω x)-2sin2ω x =2sinω x， 即：f(x)=2sinω x， ∴[ 2 ]2   ， 是函数含原点的递增区间. 又∵函数在 ]3 44[  ， 上递增，∴ 3 22[ ] [ 4 ]4     ， ， ， ∴得不等式组 24 3 42             ，得 2 2 3         ， 又∵ω ＞0， ∴ 20 3 ＜ ， 又函数在区间[0，π ]上恰好取得一次最大值， 根据正弦函数的性质可知 2 2xk，k∈Z， 即函数在 2 2 kx  处取得最大值，可得 0≤ 2   ≤π ， ∴ω ≥ 1 2 ， 综上，可得ω ∈ 12 23   ， . 答案： 12 23   ， 16.从抛物线 x2=4y 的准线 l 上一点 P 引抛物线的两条切线 PA、PB，且 A、B 为切点，若直线 AB 的倾斜角为 6  ，则 P 点的横坐标为_____. 解析：如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，-1)， 则 12 12 3tan 63AB yyk xx   ＝ ＝ ＝ ， 又∵ 22 12 1244 xxyy＝ ， ＝ ，∴ 12 3 43AB xxK ＝ ＝ ，则 12 43 3xx ＝ . 由 x2=4y，得 2 4 xy＝ ，∴ 2 xy＝ ， ∴切线 PA 的方程为  1 112 xy y x x   ， 切线 PB 的方程为  2 222 xy y x x   ， 即切线 PA 的方程为   2 11 142 xxy x x   ，即 x1 2-2x1x+4y＝0； 切线 PB 的方程为   2 22 242 xxy x x   ，即 x2 2-2x2x+4y＝0. ∵点 P(x0，-1)在切线 PA、PB 上， ∴x1 2-2x1x0-4＝0，x2 2-2x2x0-4＝0， 可知 x1，x2 是方程 x2-2x0x-4=0 的两个根， ∴x1+x2=2x0，得 0 23 3x ＝ . 答案： 23 3 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.其中 17 至 21 题为必做题，22、23 题为选做题.解 答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设正项等比数列{an}，a4=81，且 a2，a3 的等差中项为  12 3 2 aa . (I)求数列{an}的通项公式； (II)若 21log 3 na nb  ，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，数列{cn}满足 1 41n n c S  ＝ ，Tn 为数列{cn} 的前 n 项和，若 Tn＜λ n 恒成立，求λ 的取值范围. 解析：(I)设等比数列{an}的公比为 q(q＞0)，由题意得   3 41 2 1 1 1 1 81 3 a a q a q a q a a q    ＝ ＝ ＝ ，解得即可 得出. (II)由(I)得 213log 3 = 2 1n n nb   ，利用求和公式可得 Sn，利用裂项求和方法可得 Tn，再 利用单调性即可得出. 答案：(I)设等比数列{an}的公比为 q(q＞0)， 由题意，得 解得 1 3 3 a q    ＝ ＝ 所以 an＝a1qn-1＝3n (II)由(I)得    1 21 2 1 22 n n nnn b b Sn ＝ ＝ ＝ . ∴  2 1 1 1 1 2 2 1 2 141nc nnn  ＝ ＝ ， ∴      1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nT n n n            ＝ ＝ ， 若 21n nT n  ＝ ＜λ n 恒成立，则 1 21n  ＞ (n∈N*)恒成立， 则  1 21n  ＞ max，所以λ ＞ 1 3 . 18.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥底面 ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E 是 PD 的中点. (I)求证：平面 EAC⊥平面 PCD； (II)求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 解析：(I)推导出 PC⊥AC，AC⊥CD，从而 AC⊥平面 PCD，由此能证明平面 EAC⊥平面 PCD. (II)解法 1：作 PH⊥EC，则 PH⊥平面 EAC，从而 PA 与平面 EAC 所成角为∠PAH，由此能出直 线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 解法 2：由 PC⊥底面 ABCD，建立空间直角坐标系，利用向量法能出直线 PA 与平面 EAC 所成 角的正弦值. 答案：(I)∵PC⊥底面 ABCD，AC  底面 ABCD，∴PC⊥AC， 由题意可知，AD∥BC，且 AD=2BC=2 △ABC 是等腰直角三角形， ∴ 2 2 2AC BC C D＝ ， ， ∴CD2+AC2=AD2，即 AC⊥CD， 又∵PC∩CD=C， ∴AC⊥平面 PCD， ∵AC  平面 EAC，∴平面 EAC⊥平面 PCD. (II)解法 1：由(1)得平面 EAC⊥平面 PCD，平面 EAC∩平面 PCD=EC， 作 PH⊥EC，则 PH⊥平面 EAC， ∴PA 与平面 EAC 所成角为∠PAH， 在 Rt△PAC 中，PA= 6 ， 在 Rt△PHC 中，sin∠PCE= 3 3 ，PH=PCsin∠PCE＝ 23 3 ， 23 23sin 33 6 PHPAH PA＝ ＝ ， ∴直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 23. 解法 2：∵PC⊥底面 ABCD，则建立如图所示的直角坐标系， 则 P(0，0，2)，C(0，0，0)，A(0， 2 ，0)，D( 2 ，0，0)，E( 2 2 ，0，1)    20 2 0 0 1 0 2 22CA CE PA  ＝ ， ， ， ＝ ，， ， ＝ ， ， . 设平面 EAC 的法向量为 n =(x，y，z)， 则 0 0 n CA n CE     ＝ ＝ ，即 20 2 2 0 y xz    ＝ ＝ ， 令 z=1，解得  2 0 1n ＝ ，， 记直线 PA 与平面 EAC 所成角为θ ， 则 2sin 3 n PA n PA     ， 所以直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 2 3 . 19.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 6 座以下私家车投保交强险第一年的费 用(基准保费)统一为 a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆 发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如 表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 A1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 10% A2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 20% A3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 30% A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 10% A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 30% 某机构为了解某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 100 辆车龄已满三年的 该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表： 类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 数量 20 10 10 30 20 10 以这 100 辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： (I)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a=950(元)，记 X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求 X 的分布列与数学期望； (II)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的 车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损 5000 元，一辆非事故车盈利 10000 元： ①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概 率； ②若该销售商一次购进 100 辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望 值. 解析：(I)由题意可知：X 的可能取值为 0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，由统计数据分 别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望. (II)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 3 10 ，由此 能出三辆车中至多有一辆事故车的概率. ②设 Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为-5000，10000，分别求出 相应的概率，由此能求出 Y 的分布列和该销售商一次购进 100 辆该品牌车龄已满三年的二手 车获得利润的期望值. 答案：(I)由题意可知：X 的可能取值为 0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，…(1 分) 由统计数据可知：P(X＝0.9a)＝ 1 5 ， P(X＝0.8a)＝ 1 10 ， P(X＝0.7a)＝ 1 10 ， P(X＝a)＝ ， P(X＝1.1a)＝ ， P(X＝1.3a)＝ 1 10 . ∴X 的分布列为： X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1a 1.3a P ∴ 1 1 1 3 1 1 9.80.9 0.8 0.7 1.1 1.3 9315 10 10 10 5 10 10EX a a a a a a a          ＝ ＝ ＝ (II)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 3 10 ， 三辆车中至多有一辆事故车的概率为        0 3 1 2 01 33 3 3 3 31 1 0.78410 10 10 10P C C  ＝ ＝ ②设 Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为-5000，10000， P(Y=-5000)= 3 10 ，P(Y=10000)= 7 10 ， ∴Y 的分布列为： Y -5000 10000 P 7 10 375000 10000 550010 10EY    ＝ ＝ 所以该销售商一次购进 100 辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为 100EY=550000 元=55 万元. 20.已知椭圆 C1： 2 2 221y x ab  ＝ ((a＞b＞0))的一个焦点为 F1(0， 5 )，且经过点 P( 4 53 ， ). (I)求椭圆 C1 的标准方程； (II)已知椭圆 C2 的中心在原点，焦点在 y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆 C1 的长轴和 短轴的长的λ 倍(λ ＞1)，过点 C(-1，0)的直线 l 与椭圆 C2 交于 A，B 两个不同的点，若 2AC C B＝ ，求△OAB 面积取得最大值时直线 l 的方程. 解析：(1)由已知可得|PF1|、|PF2|的值及椭圆焦距，再由椭圆定义求得 a，结合隐含条件求 得 b，则椭圆方程可求； (2)设椭圆 C2 的方程为 2 2 221 94 y x   ＝ ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意设直线 l 方程为 y=k(x+1)(A，B，O 三点不共线，故 k≠0)，联立直线方程与椭圆方程，借助于向量等式及根 与系数的关系可得 2 2 18 94 ky k   ＝ .则△OAB 的面积为 S△OAB=S△AOC+S△BOC，化为含有 k 的代数式， 利用基本不等式求最值，进一步得到直线 l 的方程. 答案：(1)设椭圆 C1 的另一个焦点为 F2(0， 5- )，由题意可得，△PF1F2 为直角三角形， 则|PF1|＝ 4 3 ，|F1F2|＝ 25，∴ 22 2 1 1 2 14 3PF PF F F＝ ＝ ， 由椭圆的定义得 12 18263a PF PF＝ ＝ ＝ ，即 a=3， 又由 b2+c2=a2，得 b=2， ∴椭圆 C1 的标准方程 2 2 194 y x ＝ ； (2)设椭圆 C2 的方程为 ，A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵λ ＞1，∴点 C(-1，0)在椭圆内部，直线 l 与椭圆必有两个不同的交点. 当直线 l 垂直于 x 轴时， AC C B＝ (不是零向量)，不合条件； 故设直线 l 方程为 y=k(x+1)(A，B，O 三点不共线，故 k≠0)， 由   2 2 2 1 4 9 36 y k x yx     ＝ ＝ ，得 22 2 9 184 9 36 0yykk     ＝ . ∴ 12 2 18 94 kyy k   ＝ ， ∵ 2AC C B＝ ，而点 C(-1，0)， ∴(-1-x1，-y1)=2(x2+1，y2)，即 y1=-2y2，则 y1+y2=-y2， ∴ 2 2 18 94 ky k   ＝ . ∴△OAB 的 面 积 为 S △ OAB=S △ AOC+S △ BOC 1 2 1 2 2 2 181 1 1 3 3 27 27 9112 2 2 2 2 9 42 3694 4 k y y y y y k k k                ═ . 上式取等号的条件是 2 9 4k ＝ ，即 3 2k  时，△OAB 的面积取得最大值. ∴直线 l 的方程为  3 12yx＝ 或  3 12yx＝ - . 21.已知函数   ln 2 ag x x x x＝ (a∈R). (I)讨论 g(x)的单调性； (II)当 10 a e ＜ ＜ 时，函数       222 af x xg x x x  ＝ 在其定义域内有两个不同的极值点， 记作 x1，x2，且 x1＜x2，若 m≥1，证明： 1 12 mmx x e  ＞ . 解析：(Ⅰ)求出函数的导数，需要分类讨论，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间； ( Ⅱ ) 先求出 f(x)= 2ln 2 ax x x x a   ，求导，欲证 等 价 于 要 证 ：   1 12ln lnmmx x e  ＞ ，等价于证明 12 1 ma x mx   ＞ ，等价于证明    11 ln mt t tm   ＜ ，t∈(0， 1)， 再构造函数，利用导数，求出函数的最值即可证明. 答案：(I)   2 22 122 a x x agx x xx   ＝ ＝ (a∈R)， 方程 2x2+x-a=0 的判别式△=1+8a， ①当 a≤- 1 8 时，△≤0，g′(x)≥0，g(x)在(0，+∞)为增函数， ②当 a＞- 1 8 时，△＞0，方程 2x2+x-a=0 的两根为 12 1 1 8 1 1 8 44 aaxx     ＝ ， ＝ ， 当- 1 8 ＜a≤0 时，x1＜x2≤0，g(x)在(0，+∞)为增函数， 当 a＞0 时，x1＜0＜x2，g(x)在(x2，+∞)为增函数，在(0，x2]为减函数， 综上所述：当 a≤0 时，g(x)的增区间为(0，+∞)，无减区间， 当 a＞0 时，g(x)的增区间为(x2，+∞)，减区间(0，x2]， (II)证明： 2ln 2 ax x x x a   ， 所以 f'(x)=lnx-ax 因为 f(x)有两极值点 x1，x2， 所以 lnx1=ax1，lnx2=ax2， 欲证 1 12 mmx x e  ＞ 等价于要证：   1 12ln lnmmx x e  ＞ ， 即 1+m＜lnx1+mlnx2， 所以 1+m＜lnx1+mlnx2=ax1+max2=a(x1+mx2)， 因为 m≥1，0＜x1＜x2， 所以原式等价于要证明： 12 1 ma x mx   ＞ . 又 lnx1=ax1，lnx2=ax2， 作差得  1 12 2 ln x a x xx ， 所以 1 2 12 ln x xa xx  所以原式等价于要证明：     1 1221 1 2 1 2 2 1 2 ln 11 ln x m x xxxm x x x m x x x m x     ＞ ＜ ， 令 1 2 xt x ，t∈(0，1)，上式等价于要证：    11 ln mt t tm   ＜ ，t∈(0，1)， 令      11 ln mt h t t tm    ＝ ， 所以         2 2 1t t m ht t t m    ＝ ， 当 m≥1 时，h′(t)＞0， 所以 h(t)在(0，1)上单调递增， 因此 h(t)＜h(1)=0， 所以 在 t∈(0，1)上恒成立，所以原不等式成立. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程选讲] 22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 倾斜角为α ，其参数方程为 2 cos sin xt yt      ＝ ＝ (t 为参数)， 在以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位)，曲线 C 的极坐 标方程为ρ -4cosθ =0. (I)若直线 l 与曲线 C 有公共点，求直线 l 倾斜角α 的取值范围； (II)设 M(x，y)为曲线 C 上任意一点，求 x+ 3 y 的取值范围. 解析：(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化. (Ⅱ)利用三角函数的关系变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值域. 答案：(Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程为ρ -4cosθ =0.转化为：x2+y2-4x=0， 整理得：(x-2)2+y2=4 ∴曲线 C 是圆心为 C(2，0)，半径为 2 的圆. ∵直线 l 过点 P(-2，0)，当 l 斜率不存在时，l 的方程为 x=-2 与曲线 C 没有公共点； ∴当直线 l 斜率存在时， 设直线 l 的方程为：y=k(x+2)， 即 kx-y+2k=0 直线 l 与圆有公共点，则 2 22 2 1 kk d k    ＝ ， 解得： 33 33k   ∵α ∈[0，π ]， ∴α 的取值范围是： 50 66            ， ， . (II)曲线 C 的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0， 可化为：(x-2)2+y2=4. 其参数方程为： 2 2 cos 2 sin x y      ＝ ＝ (θ 为参数) ∵M(x，y)为曲线 C 上任意一点， ∴  3 2 2 cos 2 3 sin 2 4 sin 6xy        ＝ ， 由于：-1≤  sin 6   ≤1 则：-4≤4  sin 6   ≤4 所以：-2≤4  sin 6   +2≤6 ∴x+ 3 y 的取值范围是[-2.6]. [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x-3|-|x+5|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≥2 的解集； (Ⅱ)设函数 f(x)的最大值为 M，若不等式 x2+2x+m≤M 有解，求 m 的取值范围. 解析：(Ⅰ)通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可； (Ⅱ)求出 f(x)的分段函数的形式，根据二次函数的性质求出 m 的范围即可. 答案：(Ⅰ)当 x≥3 时，f(x)=-8，此时 f(x)≥2 无解； 当-5＜x＜3 时，f(x)=-2x-2，由 f(x)≥2 解得-5＜x≤-2； 当 x≤-5 时，f(x)=8，此时 f(x)≥2 恒成立. 综上，不等式 f(x)≥2 的解集是{x|x≤-2}. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知   83 2 2 5 3 85 x f x x x x       ， ＝ ， ＜ ＜ ， 易知函数 f(x)的最大值 M=8， 若 x2+2x+m≤8 有解，得 m≤-x2-2x+8 有解. 即 m≤[-(x+1)2+9]max=9. 因此，m 的取值范围是 m≤9.