- 291.50 KB
- 2021-06-18 发布
2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（ ）
A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
2．（5分）若x＞0，y＞0，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．x=y B．x=2y C．x=2，且y=1 D．x=y或y=1
3．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A． B． C．|a|＞﹣b D．
4．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=﹣2015，S6﹣2S3=18，则S2017=（ ）
A．2016 B．2017 C．﹣2015 D．﹣2018
5．（5分）设点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=x+2 D．y=x﹣2
7．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
8．（5分）已知数列{an}为等比数列，若a5=2，则数列{an}的前9项之积T9等于（ ）
A．512 B．256 C．128 D．64
9．（5分）若函数f（x）=a（x﹣2）ex+lnx﹣x存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，0] D．（﹣，0]
10．（5分）定义为n个正数p1，p2…pn的“平均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“平均倒数”为，又bn=，则++…+等于（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是（ ）
A．（0，2） B．[2，+∞） C．（0，2] D．（2，+∞）
12．（5分）已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（e，+∞） C．（0，1） D．（0，e）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置）
13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最小值是 ．
14．（5分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2= ．
15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＜
0的解集为 ．
16．（5分）已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是 ．
三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）
17．（10分）已知二次函数f（x）=ax2+ax﹣2b，其图象过点（2，﹣4），且f′（1）=﹣3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设函数h（x）=xlnx+f（x），求曲线h（x）在x=1处的切线方程．
18．（12分）已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线．
（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x+c的最低点为（﹣1，﹣2）．
（1）求不等式f（x）＞7的解集；
（2）若对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤
x﹣2恒成立，求实数t的取值范围．
20．（12分）在数列{an}中，a1=4，前n项和Sn满足Sn=an+1+n．
（1）求证：当n≥2时，数列{an﹣1}为等比数列，并求通项公式an；
（2）令，求数列{bn}的前n项和为Tn．
21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率是，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，△ABF2的面积为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B点），证明：直线BM和BN的斜率和为定值．
22．（12分）已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）
（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．
（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．
（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．
2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（ ）
A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，
故选：C
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2．（5分）若x＞0，y＞0，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．x=y B．x=2y C．x=2，且y=1 D．x=y或y=1
【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质求出答案即可．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，
∴x+2y≥2，当且仅当x=2y时取等号，
故“x=2且y=1”是“x+2y=2”的充分不必要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．
3．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A． B． C．|a|＞﹣b D．
【分析】根据不等式的基本性质判断即可．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴＞，
故A错误，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质的应用，是一道基础题．
4．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=﹣2015，S6﹣2S3=18，则S2017=（ ）
A．2016 B．2017 C．﹣2015 D．﹣2018
【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据a1=﹣2015，S6﹣2S3=18，利用求和公式可得d，即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=﹣2015，S6﹣2S3=18，
∴d﹣2=18，
化为：9d=18，解得d=2．
则S2017=2017×（﹣2015）+=2017．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）设点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设F1（﹣c，0），A（﹣c，y0），c2=a2+2，A点代入双曲线的方程，解得y0
，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．
【解答】解：设F1（﹣c，0），A（﹣c，y0），c2=a2+2，
则﹣=1，则y02=2•=，
又S=2，
即为•2c•|2y0|==2，
即为=，则==，
故该双曲线的渐近线方程为y=±x．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．
6．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=x+2 D．y=x﹣2
【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．
【解答】解：y=xex﹣1的导数为y′=（1+x）ex﹣1，
可得曲线y=xex﹣1在点（1，1）处的切线斜率为2，
曲线y=xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），
即为y=2x﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．
7．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式+≥
恒成立，则m的最大值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【分析】变形利用基本不等式即可得出．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，不等式+≥恒成立，∴．
∵=6+=12，当且仅当a=3b时取等号．
∴m的最大值为12．
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
8．（5分）已知数列{an}为等比数列，若a5=2，则数列{an}的前9项之积T9等于（ ）
A．512 B．256 C．128 D．64
【分析】由等比数列的性质可得：a1a9=a2a8=…==22=4．即可得出数列{an}的前9项之积T9．
【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a9=a2a8=…==22=4．
∴数列{an}的前9项之积T9=a1a9•a2a8•…a5=44×2=29=512．
故选：A．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（5分）若函数f（x）=a（x﹣2）ex+lnx﹣x存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，0] D．（﹣，0]
【分析】先求导，再由f'（x）=0得到x=1或aex﹣=0（*），根据（*）无解和函数的极值大于0即可求出a的范围，
【解答】解：f（x）=a（x﹣2）ex+lnx﹣x，x＞0，
∴f′（x）=a（x﹣1）ex+﹣1=（x﹣1）（aex﹣），
由f'（x）=0得到x=1或aex﹣=0（*）
由于f（x）仅有一个极值点，
关于x的方程（*）必无解，
①当a=0时，（*）无解，符合题意，
②当a≠0时，由（*）得，a=，
设g（x）=xex，
∴g′（x）=ex（x+1）＞0恒成立，
∴g（x）为增函数，
∴函数y=为减函数
∴当x→+∞时，y→0
∴a＜0
∴x=1为f（x）的极值点，
∵f（1）=﹣ae﹣1＜0，
∴a＞﹣
综上可得a的取值范围是（﹣，0]
故选：D
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．（5分）定义为n个正数p1，p2…pn的“平均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“平均倒数”为，又bn=，则++…+等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意和“平均倒数”的定义列出方程，求出数列{an}的前n项和为Sn
，根据求出an，代入bn=化简求出bn，代入化简后利用裂项相消法求出式子的和．
【解答】解：由题意和“平均倒数”得，=，
设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=2n2+n，
当n=1时，a1=S1=3，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1
=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1，
当n=1时也适合上式，∴an=4n﹣1，则bn==n，
∴==，
∴=（1）+（）+…+（）
==，
故选B．
【点评】本题考查新定义的理解与应用，利用公式求数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，考查化简、变形能力．
11．（5分）已知过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是（ ）
A．（0，2） B．[2，+∞） C．（0，2] D．（2，+∞）
【分析】设直线PQ的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得R点坐标，求得OR的方程，代入抛物线方程，即可求得S点坐标，由则=，即可求得答案．
【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=k（x﹣2），
，消去y，整理得：k2x2﹣4（k2+2）x+4k2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），S（x3，y3），
则x1+x2=，则x0==，y0=k（x0﹣2）=，
∴kOS==，则直线OS的方程为y=x，，解得：x3=，
由k2＞0，则==k2+2＞0，
故选D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（e，+∞） C．（0，1） D．（0，e）
【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣1，求函数的导数，判断函数的单调性 即可得到结论
【解答】解：设t=lnx，
则不等式f（lnx）＞3lnx+1等价为f（t）＞3t+1，
设g（x）=f（x）﹣3x﹣1，
则g′（x）=f′（x）﹣3，
∵f（x）的导函数f′（x）＜3，
∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，此时函数单调递减，
∵f（1）=4，
∴g（1）=f（1）﹣3﹣1=0，
则当x＜1时，g（x）＞g（1）=0，
即g（x）＜0，则此时g（x）=f（x）﹣3x﹣1＞0，
即不等式f（x）＞3x+1的解为x＜1，
即f（t）＞3t+1的解为t＜1，
由lnx＜1，解得0＜x＜e，
即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e），
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置）
13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最小值是 ﹣2 ．
【分析】作出满足不等式组的可行域，由z=2x﹣y可得y=2x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图形可求z的最大值
【解答】解：作出变量x，y满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：
由于z=2x﹣y可得y=2x﹣z，则﹣z表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z越小
作直线L：y=2x，然后把直线l向平域平移，由题意可得，直线平移到A时，z最小，
由可得A（，3），此时z=﹣2．
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．
14．（5分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2= ﹣6 ．
【分析】由公差d的值为2，根据等差数列的通项公式分别表示出a3和a4，由a1，a3，a4成等比数列，利用等比数列的性质列出关于首项a1的值，再由公差d的值，利用等差数列的通项公式即可求出a2的值．
【解答】解：由等差数列{an}的公差为2，得到a3=a1+4，a4=a1+6，
又a1，a3，a4成等比数列，
∴（a1+4）2=a1•（a1+6），
解得：a1=﹣8，
则a2=a1+d=﹣8+2=﹣6．
故答案为：﹣6
【点评】此题考查了等差数列的通项公式，以及等比数列的性质，熟练掌握通项公式及性质是解本题的关键．
15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＜0的解集为 （﹣∞，0）∪（，2） ．
【分析】由函数y=f（x）（x∈R）的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式xf′（x）＜0的解集．
【解答】解：由f（x）图象特征可得，f′（x）在（﹣∞，）∪（2，+∞）上大于0，
在（，2）上小于0，
∴xf′（x）＜0⇔⇔⇔x＜0或＜x＜2，
所以xf′（x）＜0的解集为（﹣∞，0）∪（，2）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（，2）．
【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求函数的单调性是重点．
16．（5分）已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是 ①③ ．
【分析】运用椭圆的定义可得P也在椭圆+
=1上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；
通过b的变化，可得②不正确；由图象可得当P的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP|的值取得最小，即可判断③．
【解答】解：椭圆G：的两个焦点分别为
F1（，0）和F2（﹣，0），
短轴的两个端点分别为B1（0，﹣b）和B2（0，b），
设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|，
由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|=2a=2＞2b，
即有P在椭圆+=1上．
对于①，将x换为﹣x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，
故①正确；
对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜，
则椭圆G上满足条件的点P有4个，
不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；
对于③，由图象可得，当P满足x2=y2，即有6﹣b2=b2，即b=时，
|OP|取得最小值，可得x2=y2=2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用，以及对称性，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题．
三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）
17．（10分）已知二次函数f（x）=ax2+ax﹣2b，其图象过点（2，﹣4），且f′（1）=﹣3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设函数h（x）=xlnx+f（x），求曲线h（x）在x=1处的切线方程．
【分析】（Ⅰ）由题意可得f（2）=﹣4，代入f（x）解析式，求出f（x）的导数，代入x=1，解方程可得a=b=﹣1；
（Ⅱ）求出h（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得f（2）=﹣4，
即为4a+2a﹣2b=﹣4，
又f′（x）=2ax+a，可得f′（1）=3a=﹣3，
解方程可得a=b=﹣1；
（Ⅱ）函数h（x）=xlnx+f（x）
=xlnx﹣x2﹣x+2，
导数h′（x）=lnx+1﹣2x﹣1=lnx﹣2x，
即有曲线h（x）在x=1处的切线斜率为ln1﹣2=﹣2，
切点为（1，0），
则曲线h（x）在x=1处的切线方程为y﹣0=﹣2（x﹣1），
即为2x+y﹣2=0．
【点评】本题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程的点斜式方程是解题的关键．
18．（12分）已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线．
（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．
【分析】（Ⅰ）命题q为真命题，由已知得，可求实数k的取值范围；
（Ⅱ）根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”即可得出实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当命题q为真时，由已知得，解得1＜k＜4
∴当命题q为真命题时，实数k的取值范围是1＜k＜4…（5分）
（Ⅱ）当命题p为真时，由k2﹣8k﹣20≤0解得﹣2≤k≤10…（7分）
由题意得命题p、q中有一真命题、有一假命题 …（8分）
当命题p为真、命题q为假时，则，
解得﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…（10分）
当命题p为假、命题q为真时，则，k无解．…（12分）
∴实数k的取值范围是﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…（13分）
【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．
19．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x+c的最低点为（﹣1，﹣2）．
（1）求不等式f（x）＞7的解集；
（2）若对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2恒成立，求实数t的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数的性质求出a=1，c=﹣1，再解f（x）＞7即可，
（2）对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2恒成立转化为（﹣）2﹣≤t﹣1≤（+）2﹣，求出范围即可
【解答】解：（1）依题意，得﹣=﹣1，①
f（﹣1）=a﹣2+c=﹣2，②
由①②解得，a=1，c=﹣1．
∴f（x）=x2+2x﹣1．
则原不等式可化为x2+2x﹣8＞0，解得x＜﹣4或x＞2．
故不等式f（x）＞7的解集为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
（2）对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2恒成立，得（x﹣t+1）2﹣2≤x﹣2，
即﹣≤x﹣t+1≤，则x﹣≤t﹣1≤x+，
即（﹣）2﹣≤t﹣1≤（+）2﹣．
∵x∈[2，4]，
∴（+）2﹣的最小值是（+）2﹣=2+．
∴（+）2﹣的最大值是（﹣）2﹣=2．
∴2≤t﹣1≤2+，即3≤t≤3+．
故实数t的取值范围是[3，3+]．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次不等式的求解及恒成立问题，深刻把握“三个二次”间的关系是解决问题的关键，恒成立问题常转化为函数最值解决．
20．（12分）在数列{an}中，a1=4，前n项和Sn满足Sn=an+1+n．
（1）求证：当n≥2时，数列{an﹣1}为等比数列，并求通项公式an；
（2）令，求数列{bn}的前n项和为Tn．
【分析】（1）由已知数列递推式可得当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=an+1+n﹣an﹣n+1，即an+1﹣1=2（an﹣1），再由等比数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；
（2）把{an}的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列{bn}的前n项和为Tn．
【解答】（1）证明：n=1，a1=4．
当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=an+1+n﹣an﹣n+1，
∴an+1﹣1=2（an﹣1），
∴，
则，得 ，
∴an=；
（2）解：当n=1时，．
当n≥2时，，
∴当n=1时，，
当n≥2时，，
令，
∴，
∴=，
∴，
∴．
经检验n=1时，T1也适合上式．
∴（n∈N*）．
【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．
21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率是，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，△ABF2的面积为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（﹣1，1）且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B点），证明：直线BM和BN的斜率和为定值．
【分析】（1）利用离心率以及三角形的面积，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．
（2）联立直线与椭圆方程．设出MN的坐标，利用韦达定理，转化求解斜率，推出定值即可．
【解答】解：（1），a2=2c2，b2=c2，又bc=1，∴
所以椭圆的标准方程为
（2）证明：设直线l的方程为y=k（x+1）+1，M（x1，y1），N（x2，y2）
联立得（2k2+1）x2+4k（k+1）x+2k2+4k=0，
∴，
∴
=．
=．
∴直线BM与BN的斜率之和为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
22．（12分）已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）
（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．
（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．
（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．
【分析】（1）由题意x＞0，=lnx﹣k，由此根据k≤0，k＞0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．
（2）问题转化为k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．
（3）设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，由此利用导数性质能证明x1x2＜e2k．
【解答】解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），
∴x＞0，=lnx﹣k，
①当k≤0时，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0，
函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；
②当k＞0时，令lnx﹣k=0，解得x=ek，
当1＜x＜ek时，f′（x）＜0；当x＞ek，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+∞），
在区间（1，+∞）上的极小值为f（ek）=（k﹣k﹣1）ek=﹣ek，无极大值．
（2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，
∴f（x）﹣4lnx＜0，
即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x∈[e，e2]恒成立，
即k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，
令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，
∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，
∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣，
要使k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，
∴k+1＞2﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，+∞）．
证明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，
在区间（ek，+∞）上单调递增，且f（ek+1）=0，
不妨设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，
要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，
∵f（x）在区间（ek，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（），
又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜，
构造函数h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），
即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x∈（0，ek）
h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），
∵x∈（0，ek），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，
∴函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h′（x）＜h（ek），
∵，故h（x）＜0，
∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），∴x1x2＜e2k成立．
【点评】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．