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- 2021-06-17 发布
基本不等式
【考点梳理】
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；
(4)2≤(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
【考点突破】
考点一、利用基本不等式求最值
【例1】(1)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
(2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．
[答案] (1)C (2)3
[解析] (1)由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，
当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.
(2)由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.
【类题通法】
1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．
2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．
【对点训练】
1．已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于( )
A．10 B．9
C．8 D．7
[答案] B
[解析]∵＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B.
2．已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为__________．
[答案]－4
[解析]∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，
∴＋＝－(m＋n)
＝－≤－2－2＝－4，
当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.
考点二、利用基本不等式证明不等式
【例2】已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
[解析]证明：(1)＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).
(2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9，
∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).
法二：＝1＋＋＋，
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9.
【类题通法】
1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．
2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
【对点训练】
设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.
[解析]证明：由于a，b均为正实数，
所以＋≥2＝，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立，
又因为＋ab≥2＝2，
当且仅当＝ab时等号成立，
所以＋＋ab≥＋ab≥2，
当且仅当即a＝b＝时取等号.
考点三、基本不等式的实际应用
【例3】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
[解析] (1)设所用时间为t＝(h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50,100].
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，x∈.
(或y＝＋x，x∈).
(2)y＝＋x≥26 ，
当且仅当＝x，
即x＝18，等号成立.
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
【类题通法】
1．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
【对点训练】
某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
[解析] (1)由题意得，
y＝，
即y＝x＋＋1.5(x∈N*).
(2)由基本不等式得：
y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，
当且仅当x＝，即x＝10时取等号．
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.