2017-2018学年贵州省铜仁市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题（Word版） 11页

贵州省铜仁第一中学 2017—2018 学年度第一学期 高二数学期末考试（文科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.） 1．命题“ *x n   ，R N ，使得 2n x ”的否定形式是( ) A． *x n   ，R N ，使得 2n x B． *x n   ，R N ，使得 2n x C． *x n   ，R N ，使得 2n x D． *x n   ，R N ，使得 2n x 2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生 的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中 生近视人数分别为( ) A.200, 20 B.100, 20 C.200, 10 D.100, 10 3．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4． 已知△ABC 的周长为 20，且顶点 B (0，－4)，C (0，4)，则顶点 A 的轨 迹方程是 （ ） A. 12036 22  yx （x≠0） B. 13620 22  yx （x≠0） C. 1206 22  yx （x≠0） D. 1620 22  yx （x≠0） 5． ( ) (2016 ln )f x x x  ，若 0'( ) 2017f x  ，则 0x  ( ) A． 2e B．1 C．ln2 D． e 6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数 n 后,输出 的 S∈（10,20），那么 n 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 的位置关系为( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 8.如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的 概率是( ) A． 1 4 B． π 8 C． 1 2 D． π 4 9．已知椭圆 2 2 2 1( 0)9 x y aa    与双曲线 2 2 14 3 x y  有相同的焦点，则 a 的值为（ ） A． 2 B． 10 C．4 D． 34 10. 已知函数 2( )f x x ax  的图象在点 (1, (1))A f 处的切线l 与直线 3 2 0x y   垂直，若 数列 1{ }( )f n 的前 n项和为 nS ，则 2017S 的值为（ ） A． 2014 2015 B． 2015 2016 C． 2016 2017 D． 2017 2018 11.已知 F 是椭圆 12 2 2 2  b y a x (a>b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF⊥x 轴, OP∥AB(O 为原点), 则该椭圆的离心率是 ( ) A． 2 2 B． 4 2 C． 2 1 D． 2 3 12．已知函数 ( )f x 的导函数为 '( )f x ，且满足 ( ) 2 ( )f x f x  ，则（ ） A 2(2) (1)f e f B． 2 (0) (1)e f f C．9 (ln 2) 4 (ln 3)f f D． 2 (ln 2) 4 (1)e f f 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在题中横线上）． 13. 若“     4,0 x ， mx tan ”是真命题，则实数 m 的最小值为________． 14．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲 或乙被录用的概率为________． 15．已知曲线 2( ) ln( 1)f x x a x   在原点处的切线方程为 y x  ，则 a  ________． 16.已知 F 是抛物线 :C 2 8y x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N ． 若 M 为 FN 的中点，则 FN  ____________． 三、解答题：（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17. （本题满分 12 分）设 p ：方程 2 1 0x mx   有两个不等的负根， q ：方程 24 4( 2) 1 0x m x    无实根，若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求 m 的取值范围． 18．（本题满分 12 分）已知函数 2( ) lnf x a x bx  图象上一点 (2, (2))P f 处的切线方程为 3 2ln 2 2y x    ． （1）求 ,a b 的值； （2）若方程 ( ) 0f x m  在 1 ,ee      内有两个不等实根，求 m 的取值范围（其中 e 为自然对数 的底数）． 19．（本题满分 12 分） 铜仁市某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名.为研究 工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人， 先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)” 和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：[50,60)， [60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方 图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率； (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 2×2 列 联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 20.（本题满分 12 分） 如图所示，F1、F2 分别为椭圆 C： )0(12 2 2 2  bab y a x 的左、右两个焦点，A、B 为两个顶点， 已知椭圆 C 上的点 )2 3,1( 到 F1、F2 两点的距离之和为 4. （1）求椭圆 C 的方程和焦点坐标； （2）过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点，求△F1PQ 的面积. 21．（本题满分 12 分）已知函数 2( ) lnf x x ax x   ， a R . （1）若函数 ( )f x 在 1,2 上是减函数，求实数 a 的取值范围； （2）令 2( ) ( )g x f x x  ，是否存在实数 a ，当  0,x e （ e 是自然常数）时， 函数 ( )g x 的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由. 22．（本题满分 10 分）选修 4—4：极坐标与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程为        sin24 cos23 y x （为参数）. （1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知 ( 2,0), (0,2)A B ，圆C 上任意一点 ),( yxM ，求 ABM 面积的最大值. 贵州省铜仁第一中学 2017—2018 学年度第一学期 高二文科数学期末考试参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A A B B B A B C D A B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上) 13．___1__ 14．P＝ 9 10 15．__-1___ 16．__6___ 一、详解 1．D 解析： 的否定是  ，  的否定是 ， 2n x 的否定是 2n x ．故选 D． 2．A 解析：该地区中小学生总人数为 3500＋2000＋4500＝10000，则样本容量为 10000 ×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为 2000×2%×50%＝20，选 A. 3．A.解析 ∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α sin α＝cos α，故选 A. 4．B 5．B 解析 1( ) 2016 ln ln 2017f x x x xx        ， 0 0( ) ln 2017 2017f x x    ，所以 0ln 0x  ， 0 1x  ，故选 B. 6. B 7．A 解析 直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 8. B 解析：设正方形边长为 a ，则圆的半径为 2 a ，正方形的面积为 2a ，圆的面积为 2π 4 a .由图形 的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得， 此点取自黑色部分的概率是 2 2 1 π π2 4 8 a a   ，选 B. 9． 10. 【答案】D 1 1 1 2017( ) 12017 2018 2018 2018     ，故选 D． 11. A 解：把 x=c 代入椭圆方程求得 y=± 2b a ∴|PF|= 2b a ∵OP∥AB， PF∥OB∴△PFO∽△ABO ∴ | PF| | OB| | OF| | OA |  求得 b=c∴e= 2 2 故选 A 12． B 解析：由 ( ) 2 ( )f x f x  得： 2 ( )( ) 0x f x e   ， 即函数 2 ( )g( ) x f xx e  单调减， 2 4 2 (2) (1)g(2) g(1) (2) (1)f f f e fe e      ， 2 0 2 (0) (1)g(0) g(1) (0) (1)f f e f fe e      ， 2ln3 2ln 2 (ln3) (ln 2) (ln3) (ln 2)g(ln3) g(ln 2) 4 (ln3) 9 (ln 2)9 4 f f f f f fe e        2 2 2ln2 2 (1) (ln 2) (1) (ln 2)g(1) g(ln 2) 4 (1) (ln 2)4 f f f f f e fe e e        ，选 B． 二、详解 13. 1 解析 ∵函数 y＝tan x 在 0，π 4 上是增函数， ∴ymax＝tan π 4 ＝1.依题意，m≥ymax，即 m≥1.∴m 的最小值为 1. 14．P＝ 9 10. 解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)， (甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙， 戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共 10 种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只 有(丙，丁，戊)这 1 种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有 9 种，所求概率 P＝ 9 10. 15．-1 解析： '( ) 2 1 af x x x    试题分析：，由题意 '(0) 0 10 1 af     ， 1a   ． 16. 6 解析：如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 x 轴交于点 F' ，作 MB l 与 点 B ，NA l 与点 A ，由抛物线的解析式可得准线方程为 2x   ，则 2, 4AN FF'  ，在 直角梯形 ANFF' 中，中位线 ' 32 AN FFBM   ，由抛物线的定义有： 3MF MB  ， 结合题意，有 3MN MF  ，故 3 3 6FN FM NM     ． 三、解答题：（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17. （本小题 12 分） 解：若方程 2 1 0x mx   有两个不等的负根，则 2 1 2 4 0 0 m x x m           ， 所以 2m  ，即 : 2p m  ． 若方程 24 4( 2) 1 0x m x    无实根，则 216( 2) 16 0m     ， 即1 3m  ， 所以 :1 3p m  ． 因为 p q 为真，则 ,p q 至少一个为真，又 p q 为假，则 ,p q至少一个为假． 所以 ,p q 一真一假，即“ p 真 q假”或“ p 假q 真”． 所以 2 1 3 m m m     或 或 2 1 3 m m     所以 3m  或1 2m  ． 故实数 m 的取值范围为(1,2] [3, ) ． 18．（本题满分 12 分） 解：（1）  2 2 4 2 ln 2 42( )＝ ， ＝ ，（ ） ．a af x bx f b f a bx       ∴ 4 32 ＝a b  ，且 ln 2 4 6 2ln 2 2a b     ． 解得 2 1，a b  ． （2） 22ln（ ）f x x x  ，令 22ln（ ） （ ）h x f x m x x m     ， 则  22 12 2( )＝ ＝ x h x xx x    ，令 h'（x）=0，得 x=1（x=-1 舍去）． 在 1 ,ee      内，当 x∈ 1 ,1e     时， ' 0（ ）＞ ， （ ）h x h x 是增函数； 当 x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数． 则方程 h（x）=0 在 1 ,ee      内有两个不等实根的充要条件是        0 1 0     ( 0. 1) ＞ h e h h e        即 2 11 2＜m e   ． 19．（本小题 12 分） 解：(1)由已知得，样本中有 25 周岁以上组工人 60 名，25 周岁以下组工人 40 名.所以， 样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁以上组工人有 60×0.05＝3(人)， 记为 A1，A2，A3； 25 周岁以下组工人有 40×0.05＝2(人)，记为 B1，B2. 从中随机抽取 2 名工人，所有的可能结果共有 10 种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2， A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2). 其中，至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种，它们是(A1，B1)，(A1， B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2). 故所求的概率 P＝ 7 10 . (2)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 名工人中，“25 周岁以上组”中的生产能手有 60×0.25＝15(人)，“25 周岁以下组”中的生产能手有 40×0.375＝15(人)，据此可得 2 ×2 列联表如下： [] 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以得 K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ＝100×(15×25－15×45)2 60×40×30×70 ＝25 14 ≈1.786. 20.（本小题 12 分） 解：（1）由题设知：2a = 4，即 a = 2， 将点 )2 3,1( 代入椭圆方程 得 1)( 2 1 2 2 2 3 2  b ， 解得 b2 = 3 ∴ c2 = a2 － b2 = 4 － 3 = 1 ， 故 椭 圆 方 程 为 134 22  yx ， ………5 分 焦点 F1、F2 的坐标分别为（-1，0）和（1，0） …………6 分 （2）由（Ⅰ）知 )3,0(),0,2( BA  ， 2 3 ABPQ kk ， ∴PQ 所在直线方程为 )1(2 3  xy ， 由         134 )1(2 3 22 yx xy 得 09348 2  yy 设 P (x1，y1)，Q (x2，y2)，则 8 9,2 3 2121  yyyy ， ……………………………9 分 2 21 8 944 34)( 21 2 2121  yyyyyy .2 21 2 2122 1 2 1 21211   yyFFS PQF ……………12 分 21．（本题满分 12 分） 解析：（1） 21 2 1'( ) 2 0x axf x x a x x       在 1,2 上恒成立， 令 2( ) 2 1h x x ax   ，有 (1) 0 (2) 0 h h    得 1 7 2 a a     ，得 7 2a   . 6 分 （2）假设存在实数a，使  ( ) ln ( 0, )g x ax x x e   有最小值 3， 1 1'( ) axg x a x x    ①当 0a  时， ( )g x 在 0,e 上单调递减， min( ) ( ) 1 3g x g e ae    ， 4a e  （舍去）， ②当 10 ea   时， ( )g x 在 1(0, )a 上单调递减，在 1 ,ea      上单调递增 ∴ min 1( ) ( ) 1 ln 3g x g aa     ， 2a e ，满足条件. ③当 1 ea  时， ( )g x 在 0,e 上单调递减， min( ) ( ) 1 3g x g e ae    ， 4a e  （舍去）， 综上，存在实数 2a e ，使得当  0,x e 时 ( )g x 有最小值3 . 12 分 22．（本小题满分 10 分） 解析：（1）圆C 的参数方程为        sin24 cos23 y x （为参数） 所以普通方程为 4)4()3( 22  yx . 2 分 圆C 的极坐标方程： 021sin8cos62   . 5 分 （2）点 ),( yxM 到直线 AB ： 02  yx 的距离为 2 |9sin2cos2|  d 7 分 ABM 的面积 |9)4sin(22||9sin2cos2|||2 1  dABS 所以 ABM 面积的最大值为 229  10 分