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- 2021-06-17 发布
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河南省豫北重点中学2017-2018学年高二12月联考
数学（理）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列满足，则等于（ ）
A. 1 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】数列为等比数列，所以 ，选C.
2. 命题：的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】命题：的否定是，选B.
3. 设，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时；当时；当时 ；成立；所以选D.
4. 已知点是拋物线上一点，且到拋物线焦点的距离是到原点的距离的，则等于（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】由抛物线定义得 ，选B.
5. 关于的不等式组表示的平面区域的面积为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】可行域为一个直角三角形ABC，其中 所以面积为 ，选C.
6. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，
由题意得 或，解得 或，选D.
7. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得
所以数列的前项和为 ，选A.
..................
8. 设是双曲线的一个焦点，若点的坐标为，线段的中点在上，则的离心率为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】由题意得线段的中点为 ，所以 ，选C.
9. 在中，内角所对的边分别为，已知，，，设的面积为，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由正弦定理得
因为，所以 ，
，当且仅当时取等号
所以选B.
点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
10. 如图，在长方体中，，为中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设
平面的一个法向量为
取 ，所以点到平面的距离为 ,选C.
11. 已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，选A.
点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.
②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.
③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线交直线于，若在以线段为直径的圆上，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 与直线交点为 ，所以 ，选C.
点睛：建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆或双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 设，则的最小值为__________.
【答案】5
【解析】 ，当且仅当时取等号
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
14. 若等比数列的各项都是正数，且，则__________．
【答案】15
【解析】
所以
15. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，是坐标原点.若的面积为，则__________.
【答案】5
【解析】设 ，
从而
16. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是__________.
【答案】
【解析】以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设
因此 ,设平面一个法向量为 ，取
因此直线与平面所成角的正弦值是
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知:方程表示双曲线；:方程表示焦点在轴上的椭圆.若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：先根据方程为双曲线以及椭圆条件得为真命题时实数的取值范围.再根据为真命题，为假命题，得与—真一假，最后根据补集求命题为假时实数的取值范围，再解对应不等式组得实数的取值范围.
试题解析：为真命题时，，
为真命题时，，或，
∵为真命题，为假命题，∴与—真一假，
当真，假时，，当假，真时，或，
∴.
18. 已知分别为三个内角的对边，.
（1）求角；
（2）若，求的周长的最大值.
【答案】(1)；(2)15.
【解析】试题分析：（1）由正弦定理得将边角关系转化为角的关系，再根据两角和公式以及配角公式解得角；（2）由余弦定理得，再利用基本不等式得，即得的周长的最大值.
试题解析：（1）由已知及正弦定理得，
∴，
化简并整理得，即，
∴，从而.
（2）由余弦定理得，∴，
又，∴，
即，∴，从而，
∴的周长的最大值为15.
19. 设双曲线的方程为.
（1）求的实轴长、虚轴长及焦距；
（2）若抛物线的焦点为双曲线的右顶点，且直线与抛物线交于两点，若(为坐标原点），求的值.
【答案】(1)实轴长，虚轴长，焦距.(2)12.
【解析】试题分析：（1）由椭圆方程可得a,b,c，即得实轴长、虚轴长及焦距；（2）先求p，再根据以及对称性得A,B在直线上，代入抛物线方程可得的值.
试题解析：（1）∵，
∴.
∴的实轴长，虚轴长，焦距.
（2）∵的右顶点为，
∴，∴，的方程为.
当时，，∴可设，
∵，∴，∵，∴.
20. 设数列的前项和为，且对任意正整数，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，是否存在正整数，使
? 若存在，求出符合条件的所有的值构成的集合；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系可得项之间递推关系，再根据等比数列定义可得数列的通项公式；（2）由错位相减法可得，再化简不等式得，根据指数函数与一次函数图像可得的值
试题解析：（1），
时，，
所以，
所以是以首项，公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
记数列的前项和为，则
，①
，②
②-①得，
，
所以，数列的前项和为.
要使，即，
所以.
当时，，当时，，当时，，结合函数与的图象可知，当时都有，
所以 .
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
21. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，,
.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：（1）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组求出平面一个法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角关系求直线与平面所成角的正弦值；（2）列方程组求出两个平面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角的余弦值.
试题解析：∵，∴底面，又底面为矩形，∴分别以
为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.
∴.
（1）设平面的一个法向量，
则令，得 ，
∴与平面所成角的正弦值.
（2）设平面的一个法向量，
则令，得 ，
∴，∴二面角的余弦值为.
22. 已知点与点都在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若的左焦点、左顶点分别为，则是否存在过点且不与轴重合的直线 (记直线与椭圆的交点为)，使得点在以线段为直径的圆上；若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
【解析】试题分析：（1）将点坐标代入椭圆方程，解方程组可得a,b（2）利用向量数量积与零大小判定点与圆关系：设，计算，利用椭圆方程化简，并比较与零大小，可得结论
试题解析：（1）由已知∴所以椭圆的方程为.
（2）由题意知：，设，则
因为 ，
所以.
所以点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
另解：由题意可设直线的方程为，.
由可得：.
所以.
所以
.
因为，所以，
所以.
所以点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上.