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- 2021-06-17 发布
九江市一中2016-2017学年下学期期末考试
高二数学（文科）试题
一、选择题（共12小题，每题5分有且只有一个正确答案）
1．已知集合， ，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2．设复数满足，则=（ ）
A. B. C. D.
3．在等比数列｛｝中，若，且，则 =（ ）
A. B. C. D. 6
4．若， ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）
A. B. C. D.
6．执行如右图程序框图，输出的为（ ）
A. B. C. D.
7．已知向量满足， ，则
A. B. C. D.
8．设实数， 满足约束条件，则目标函数的取值范围为
A. B. C. D.
9．已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
10．已知直线的斜率为2， 、是直线与双曲线C： ， 的两个交点，设、的中点为（2，1），则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
11．数列满足，且对于任意的都有，则
等于 （ ）
A. B. C. D.
12．若，函数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为( )
A. （0,4] B. （0,8） C. （2,5） D.
二、填空题
13．函数的定义域为_________．
14．已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的一般方程是__________．
15．若， 都是正数，且，则的最小值为__________．
16．已知函数在函数的零点个数__________．
三、解答题
17．在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若， ，求的值及的面积
18．如图，在四棱锥中中，平面,平面， .
（1）求到平面的距离；
（2）在线段上是否存在一点，使//平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．某高职院校进行自主招生文化素质考试，考试内容为语文、数学、英语三科，总分为200分.现从上线的考生中随机抽取20人，将其成绩用茎叶图记录如下：
男
女
15
6
5
4
16
3
5
8
8
2
17
2
3
6
8
8
8
6
5
18
5
7
19
2
3
（Ⅰ）计算上线考生中抽取的男生成绩的方差；（结果精确到小数点后一位）
（Ⅱ）从上述茎叶图180分以上的考生中任选2人作为考生代表出席座谈会，求所选考生恰为一男一女的概率.
20．椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为.
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于， 两点且，是否存在以原点为圆心的定圆与直线相切？若存在求出定圆的方程；若不存在，请说明理由
21．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的，不等式，对恒成立，求实数的取值范围.
（22题、23题任选一题，两题都做的，以22题计分。）
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于，两点.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线恒过的定点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，求直线的普通方程.
23．选修4—5：不等式选讲
已知函数， .
（Ⅰ）当，解不等式；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】 ,选C.
2．C
【解析】由题意可得： .
本题选择C选项.
3．A
【解析】 ， 与 为方程 的两个根，解得 或 ， ， ，故 ，故选A.
4．A
【解析】由题意可得： ，
结合两角和差正余弦公式有：
.
本题选择A选项.
5．B
【解析】将四面体放在如图正方体中，得到如图四面体，得到如图的左视图，故选B.
6．A
【解析】时， 否，所以， 是 ， 否，所以， 是， ， 是， ， 是， ， 否，所以， 是， ， 否，所以， 是， ， 是， ， 否，输出 ，故选A.
7．B
【解析】由即，得，
而，故，故选B.
8．C
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中 ,直线过点B时取最大值4,过点C时取最小值,因此目标函数的取值范围为 ,选C.
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
9．D
【解析】 ， ，所以，故选D.
10．A
【解析】设
则,
点（2，1）是AB的中点,
,,
直线的斜率为2, ,
得,
,
.
11．D
【解析】由题意可得：，则：
，
以上各式相加可得：，则：，
.
本题选择D选项.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②
将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
12．B
【解析】当m≤0时，当x接近+∞时，函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1与g(x)=mx均为负值，显然不成立.
当x=0时，f(0)=1＞0，符合题意.
当m＞0时，
若，即0＜m≤4，函数f(x)与x轴的交点都在y轴右侧，结论显然成立.
若时，只要△=4(4-m)2-8m=4(m-8)(m-2)＜0即可，即4＜m＜8.
综上可得0＜m＜8.
本题选择B选项.
13．或
【解析】令,解得或,故填或.
14．
【解析】解：直线与圆相切，设圆心坐标为(a,0)，
则圆方程为：(x−a)2+y2=4，
∵圆心与切点连线必垂直于切线，
根据点与直线距离公式，得,
解得a=2或 ，(因圆心在正半轴,不符合舍去)，∴a=2，
∴圆C的方程为：(x−2)2+y2=4.
整理为一般方程为： .
点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
15．
【解析】由题可知： ，故==当且仅当x=y时取得等号
16．4
【解析】当时， ，所以，或，本题转化为上述方程有几解，当时， 或，当时， 或，所以共有四个解，因此零点个数为4个，故填：4．
17．（1）;(2) ， ， .
【解析】试题分析：（1）由正弦定理化简已知等式可得 ，由于 ，可求 的值，结合范围 ，利用特殊角的三角函数值即可求得 的值；（2）根据正弦定理可得 ，利用余弦定理可求 ，联立即可解得 的值，利用三角形面积公式即可计算得解.
试题解析：（1）由及正弦定理得
， ，而
故.
（2）由及得. ①
又 ，由余弦定理 ，得 . ②
由①②得， .
的面积.
18．（1）（2）见解析
【解析】试题分析：
(1)利用等体积法结合题意可求得到平面的距离为；
(2)当时满足题意，利用题中所给的条件进行证明即可.
试题解析：
解：（1）方法一：因为平面，,又,
所以平面，又，所以到平面的距离为.
方法二：等积法求高.
（2）解：在线段上存在一点，使平面，
下面给出证明：设为线段上的一点，且,
过点作交于点，则,
因为平面，平面，
所以，又，所以,
所以四边形是平行四边形，
所以，又平面,平面，
所以平面.
19．（1）（2）
【解析】试题分析：根据茎叶图中提供的数据，可以求出统计量，如众数、中位数、均值、方差等，要记住公式，计算要准确.求概率问题，列出基本事件的种数时一定要根据题意去列，有的题用列表法，有的题只能列举，列举时要按规律去列，以保证不重不漏.
试题解析：（Ⅰ）依题意：样本中男生共6人，成绩分别为164、165、172、178、185、186.
他们的总分为1050，平均分为175.
.
（Ⅱ）样本中180分以上的考生有男生2人，记为、，女生4人，记为、、、，
从中任选2人，有、、、、、、、、、、、、、、共15种，
符合条件的有： 、、、、、、、8种，
故所求概率.
【点睛】本题为统计问题，是高考必考的应用问题，统计问题考查主要有线性回归、茎叶图、频率分布直方图、独立性检验等，而和函数应用题巧妙结合是考查为近年高考最时髦的命题方法法，茎叶图问题主要考查统计量的计算，如众数、中位数、均值、方差等，与概率结合考查概率的求法.
20．（1）椭圆方程为；（2）存在，方程为.
【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何性质可知，椭圆焦点到短轴端点的距离为，即，又离心率，所以，则，所以椭圆方程为；（2）若直线斜率存在时，设直线： ，将直线方程与椭圆方程联立，消去未知数，得到关于的一元二次方程，设， ，然后表示出韦达定理，由于，转化为，即，坐标表示为，于是得到关于的等式，再求原点O到直线AB的距离，与前面的等式联立化简、整理可以得出，最后得到圆的方程.
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，
∵椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为，
∴由题意，且，解得， .
∴所求椭圆方程为.
（Ⅱ）设， ，若存在，则设直线： ，由，得
∴，且，由，知 ，代入得，原点到直线的距离，
当的斜率不存在时， ，得， ，依然成立
∴点到直线的距离为定值.
∴定圆方程为.
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题时，要注意讨论直线的斜率是否存在，有过直线与圆锥曲线相交涉及到角度问题时，可以用向量表示其角度关系，然后转化为坐标的运算，这是比较常见的考查方式.本题化为，即，最后转化为.
21．（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）求导得，讨论和即可；
（2）对，即恒成立，有
，令求最值即可.
试题解析：
(1) ,所以①当，即时， 在上恒成立， 在上单调递增.②当时，由，得（不符合题意，舍），，所以由得，由得， 在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时， 的递增区间为，无递减区间；当时， 的递增区间为 ，递减区间为.
(2) 对，即，
又恒成立，
.
令，则，
又时， ， 在上是减函数， ，即.
点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
22．（Ⅰ）：,; （Ⅱ）.
【解析】试题分析：
(1)极坐标化为直角坐标可得曲线C的直角坐标方程为，
由直线的参数方程可得直线恒过定点.
(2)将直线方程与椭圆的普通方程联立，结合题意所给的条件可得直线的普通方程为.
试题解析：
（Ⅰ）因为，，所以：.直线恒过定点为.
（Ⅱ）把直线的方程代入曲线的直角坐标方程中得：.
由的几何意义知，，因为点在椭圆内，这个方程必有两个实根，
所以，因为，即，
所以，因为，所以，
因此，直线的方程为.
23．（1）（2）
【解析】解：（Ⅰ）由，得，
两边平方，并整理得，
所以不等式的解集为.
（Ⅱ）法一：
由，得，即.
令，依题意可得.
，
当且仅当时，上述不等式的等号同时成立，所以.
所以的取值范围是.
法二：
由，得，即.
令，依题意可得.
，
易得在上单调递增，在上单调递减，
所以当时， 取得最大值.
故的取值范围是.