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- 2021-06-17 发布
2017-2018学年云南省大理州南涧县民族中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（ ）
A． B．（0，1） C． D．∅
2．（5分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
3．（5分）直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（ ）
A．[0，π） B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[0，]∪（，π）
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（ ）
A．6 B．3 C． D．1
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
6．（5分）命题p：∀x∈[0，1]，ex≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则下列正确的是（ ）
A．p∨q为真 B．p∧q为真 C．p∨q为假 D．q为真
7．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）
A． B．1 C． D．
8．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
9．（5分）已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α B．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β
C．若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
10．（5分）从数字0，1，2，3，4，5中任取两个数组成两位数，其中奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（ ）
A． B． C． D．2
12．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A． B． C．（1，2） D．（1，﹣2）
二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）在区间（0，4）内任取一个实数x，则使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率为 ．
14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= ．
15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=2Sn﹣1（n≥
2），则an= ．
16．（5分）如图，把椭圆+=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= ．
三、解答题（本题共70分）
17．（10分）某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有如下数据：
广告支出x（单位：万元）
1
2
3
4
销售收入y（单位：万元）
12
28
42
56
根据以上数据算得：yi=138，xiyi=418
（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程=x+，并判断变量与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅱ）若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？
（参考公式：=，=﹣）
18．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（1，），F1，F2是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P在椭圆上运动，求|PF1|•|PF2|的最大值．
19．（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，
asinC﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b、c．
20．（12分）已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．
22．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为直角时，求△OMN的面积．
2017-2018学年云南省大理州南涧县民族中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（ ）
A． B．（0，1） C． D．∅
【分析】由题设条件知A={y|y＞0}，B={y|0＜y＜}，由此能够得到A∩B的值．
【解答】解：∵，
∴=．
故选A．
【点评】本题考查集合的运算，解题时要注意公式的灵活运用．
2．（5分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．
【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，
则c＜a＜b，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．
3．（5分）直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（ ）
A．[0，π） B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[0，]∪（，π）
【分析】
由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．
【解答】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=﹣sinα，
∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1
∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）
故选B
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（ ）
A．6 B．3 C． D．1
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．
【解答】解：变量x，y满足约束条件，目标函数z=2x+y，
画出图形：
点A（1，1），zA=3，
B（0，1），zB=2×0+1=1
C（3，0），zC=2×3+0=6，
z在点B处有最小值：1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．
【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC
∴sinC=1，C=．
∴S=ab=（b2+c2﹣a2），
解得a=b，因此∠B=45°．
故选C
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．作为解三角形常用的定理，我们应熟练记忆和掌握正弦定理公式及其变形公式．
6．（5分）命题p：∀x∈[0，1]，ex≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则下列正确的是（ ）
A．p∨q为真 B．p∧q为真 C．p∨q为假 D．q为真
【分析】分别判断命题p、q的真假，只要命题p或命题q有一个命题是真命题，则p∨q为真
【解答】解：命题p：∀x∈[0，1]，由指数函数y=ex的图象可得ex≥1，正确，
命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，因为x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，
p∨q为真，故正确．
故选A．
【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件求出命题p，q的真假是解决本题的关键，属于基础题．
7．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可．
【解答】解：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，
说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：
那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：．
故选D．
【点评】本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力．
8．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：∵3an+1+an=0
∴
∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列
∵
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）
故选C
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
9．（5分）已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α B．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β
C．若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
【分析】由条件利用直线和平面平行的判定定理、性质定理，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：若直线a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不对；
若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，故B不对；
若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a、b是异面直线，故C不对；
根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定定理、性质定理的应用，直线和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于基础题．
10．（5分）从数字0，1，2，3，4，5中任取两个数组成两位数，其中奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．
【解答】解：从数字0，1，2，3，4，5中任取两个数组成两位数，
共有10，12，13，14，15，
20，21，23，24，25，
30，31，32，34，35，
40，41，42，43，45，
50，51，52，53，54，
故25中等可能事件，其中奇数有13，15，21，23，25，31，35，41，43，45，51，53，共12个，
故从数字0，1，2，3，4，5中任取两个数组成两位数，其中奇数的概率为P=，
故选：B
【点评】数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的可以借助于排列数和组合数来表示
11．（5分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】求出椭圆的方程为+y2=1，联立得出A（0，1），B（，），即可得出两点距离．
【解答】解：∵e=，2c=2，c=1
∴a=，c=1，
则b==1，
∴椭圆的方程为+y2=1，
联立
化简得：3x﹣4x=0，x=0，或x=，
代入直线得出y=1，或y=
则A（0，1），B（，）
∴|AB|=，
故选：B
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，联立方程组求解出点的坐标，运用距离公式，属于中档题．
12．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A． B． C．（1，2） D．（1，﹣2）
【分析】先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S，P，Q三点共线时取得，可得到答案．
【解答】解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PS+PQ，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是﹣1，
故选A．
【点评】本题主要考查抛物线的定义，即抛物线是到定点的距离等于定直线的距离的点的集合．
二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）在区间（0，4）内任取一个实数x，则使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率为 ．
【分析】先利用不等式求出满足不等式成立的x的取值范围，然后利用几何概型的概率公式求解．
【解答】解：由题意知0＜x＜4．
由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，
所以由几何概型的概率公式可得使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率
为=，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查几何概型，要求熟练掌握几何概型的概率求法．
14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= 30° ．
【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．
【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，
代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，
∴由余弦定理得：cosA===，
∵A为三角形的内角，
∴A=30°．
故答案为：30°
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=2Sn﹣1（n≥2），则an= ．
【分析】利用n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，确定数列{Sn}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而可得结论．
【解答】解：n≥2时，∵an=2Sn﹣1，∴Sn﹣Sn﹣1=2Sn﹣1，∴Sn=3Sn﹣1，
∵a1=1，∴S1=1
∴数列{Sn}是以1为首项，3为公比的等比数列
∴Sn=3n﹣1，
∴n≥2时，an=2Sn﹣1=2•3n﹣2，
又a1=1，∴an=
故答案为：
【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查数列的通项，确定数列{Sn}是以1为首项，3为公比的等比数列是解题的关键．
16．（5分）如图，把椭圆+=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= 35 ．
【分析】根据椭圆的定义与椭圆的对称性，证出|P1F|+|P7F|=|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a，结合|P4F|==a和题中的数据，可得答案．
【解答】解：将椭圆+=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆
的上半部分于P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，
F是椭圆的一个焦点，设椭圆的另一个焦点为F'，
根据椭圆的对称性，得|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F'|=2a=10同理可得：|P2F|+|P6F|=2a=10且|P3F|+|P5F|=2a=10
又∵|P4F|==a=5
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35，
故答案为：35
【点评】本题着重考查了椭圆的标准方程、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．巧妙运用椭圆的对称性，是解决本题的关键所在．
三、解答题（本题共70分）
17．（10分）某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有如下数据：
广告支出x（单位：万元）
1
2
3
4
销售收入y（单位：万元）
12
28
42
56
根据以上数据算得：yi=138，xiyi=418
（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程=x+，并判断变量与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅱ）若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？
（参考公式：=，=﹣）
【分析】（Ⅰ）由表中数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．
（Ⅱ）由销售收入最少为144万元，建立不等式，即可求出广告支出费用．
【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得，，
∴线性回归方程为，变量x与y之间是正相关；
（Ⅱ）依题意有，解得x≥10，所以广告支出费用至少需投入10万元．
【点评】本题考查线性回归方程的写法和应用，本题解题的关键是正确求出线性回归方程的系数，本题是一个基础题．
18．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（1，），F1，F2是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P在椭圆上运动，求|PF1|•|PF2|的最大值．
【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4，再由基本不等式求得|PF1|•|PF2|的最大值．
【解答】解：（1）由题意，得，解得．
∴椭圆C的方程是；
（2）∵P在椭圆上运动，
∴|PF1|+|PF2|=2a=4，
∴|PF1|•|PF2|≤，
当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，
∴|PF1|•|PF2|的最大值为4．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的定义及基本不等式的应用，属中档题．
19．（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，
asinC﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b、c．
【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数的关系式的恒等变换求出结果．
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．
【解答】解：（1）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC﹣ccosA由正弦定理得，
sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，
由于：sinC≠0，
所以：．
即：，
由于：0＜A＜π，
解得：A=．
（2）因为△ABC的面积为，
所以：①，
所以bc=4；在△ABC中，应用余弦定理知，
a2=b2+c2﹣2bccosA，
，所以b2+c2=8②；
联立①②两式可得，b=c=2．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题型．
20．（12分）已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．
【分析】（I）根据数列{an}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式an
和前n项和Sn，然后经过运算即可证明．
（II）根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式．
【解答】证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q=
∴an=×=，
Sn=
又∵==Sn
∴Sn=
（II）∵an=
∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）
=﹣（1+2+…+n）
=﹣
∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．
【分析】（Ⅰ）通过BD2+AD2=AB2，说明BD⊥AD，证明BD⊥PD，即可证明BD⊥平面PAD．推出PA⊥BD．
（II）作DE⊥PB于E，证明BC⊥BD．BC⊥DE，推出DE⊥平面PBC．推出DE•PB=PD•BD，然后求解即可．
【解答】（12分）解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．
（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，
则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，
∴BC⊥BD．
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，
则DE⊥平面PBC．
由题设知PD=1，则BD=，PB=2．
根据DE•PB=PD•BD，得DE=，
即棱锥D﹣PBC的高为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
22．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为直角时，求△OMN的面积．
【分析】（Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，把点（2，1）代入运算求得 p的值，即可求得抛物线的标准方程；
（Ⅱ） 由直线与圆相切可得，把直线方程代入抛物线方程并整理，由△＞0求得t的范围．利用根与系数的关系及∠MON为直角则，求得t=4，运用弦长公式求得|MN|，求得点O到直线的距离，从而求得△OMN的面积．
【解答】解：（Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，
由已知得：22=2p所以p=2，
所以抛物线的标准方程为x2=4y；
（Ⅱ）因为直线与圆相切，
所以，
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0，
由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0得 t＞0或t＜﹣3，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=4k且x1•x2=﹣4t，
∵∠MON为直角∴，解得t=4或t=0（舍去），
∵，
点O到直线的距离为，
∴=．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，向量的数量积公式的应用，点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．