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- 2021-06-17 发布
2016-2017学年江苏省盐城市盐都区学富镇时杨中学高二（上）第一次调研数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．不等式x2+x﹣2＜0的解集为 ．
2．命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是 ．
3．命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的逆命题是 ．
4．若方程的曲线是椭圆，则k的取值范围是 ．
5．双曲线﹣=1的焦点坐标为 ．
6．“a=1”是“a2=1”成立的 条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）充分不必要．
7．椭圆16x2+9y2=144的长轴长为 ．
8．a=3，b=4焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 ．
9．若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则实数m的值为 ．
10．不等式组表示的平面区域的面积为 ．
11．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为
12．不等式＞2的解集为 ．
13．在等式中，x＞0，y＞0，若x+y的最小值为，则m的值为 ．
14．不等式kx2+2kx﹣3＜0对一切实数x成立，则k的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共7小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．解不等式：
（1）x2﹣2x﹣3＞0
（2）≤0．
16．已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2mx+2m2﹣m+1=0有两个实根，命题q：x2+（1﹣4m）x+4m2﹣1＞0 解集为R．若命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．
17．已知，（本题不作图不得分）
（1）求z=2x+y的最大值和最小值；
（2）求z=的取值范围．
18．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm，房屋的总造价为y元．
（Ⅰ）求y用x表示的函数关系式；
（Ⅱ）怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
19．求y=3x+（x＜0）的最大值，并求y取最大值时相应的x的值．
20．若x＞2，求的最小值．
21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），F1，F2分别为其左右焦点，
（1）已知P，Q为椭圆C上两动点，直线PQ过点F2（c，0），且不垂直于x轴，△PQF1的周长为8，且椭圆的短轴长为2，求椭圆C的标准方程；
（2）已知A（a，0），B（0，b），B′（0，﹣b），F2（c，0），若直线AB⊥B′F2，求椭圆C的离心率．
2016-2017学年江苏省盐城市盐都区学富镇时杨中学高二（上）第一次调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．不等式x2+x﹣2＜0的解集为 （﹣2，1） ．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．
【解答】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，
且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，
所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
2．命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是 ． ．
【考点】全称命题；命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题得：命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是：．
故答案为：．
3．命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的逆命题是 若2a＞2b﹣1，则a＞b ．
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】利用逆命题的定义，写出结果即可．
【解答】解：命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的逆命题是：若2a＞2b﹣1，则a＞b．
故答案为：若2a＞2b﹣1，则a＞b
4．若方程的曲线是椭圆，则k的取值范围是 1＜k＜4，且k≠ ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆方程可得4﹣k＞0，k﹣1＞0，4﹣k≠k﹣1，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：由曲线表示椭圆，
可得，
即，解得1＜k＜4，且k≠．
故答案为：1＜k＜4，且k≠．
5．双曲线﹣=1的焦点坐标为 （±4，0） ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】直接利用双曲线方程求解即可．
【解答】解：双曲线﹣=1，可得c===4，
双曲线﹣=1的焦点坐标为：（±4，0）．
故答案为：（±4，0）．
6．“a=1”是“a2=1”成立的 充分不必要 条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）充分不必要．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：由a2=1，解得：a=±1，
故a=1是a2=1的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
7．椭圆16x2+9y2=144的长轴长为 8 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】把椭圆的方程化为标准形式，判断焦点所在的坐标轴，求出a的值，即可得到长轴长．
【解答】解：椭圆16x2+9y2=144 即
∴a=4，2a=8，
∴椭圆16x2+9y2=144的长轴长为8，
故答案为8．
8．a=3，b=4焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 ．
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】利用已知条件直接写出结果即可．
【解答】解：a=3，b=4焦点在x轴上的双曲线的标准方程为：．
故答案为：．
9．若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则实数m的值为 1 ．
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】①由一元二次方程与对应不等式关系可知，一元二次不等式解集边界值，就是所对应一元二次方程两根②再有根与系数关系可求的m值
【解答】解：由题意，知0、2是方程﹣x2+（2﹣m）x=0的两个根，
∴﹣=0+2．
∴m=1；
故答案为1．
10．不等式组表示的平面区域的面积为 6 ．
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，结合平面图形是平行四边形，求出它的面积即可．
【解答】解：画出不等式组表示的平面区域如图所示，
则四边形OABC是平行四边形，
由求得点A（2，2），
由求得B（3，0）；
所以四边形OABC的面积为：
S=2S△OAB=2××3×2=6．
故答案为：6．
11．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为 5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z=x﹣3y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，
此时z最大，
由，解得，即C（2，﹣1）．
代入目标函数z=x﹣3y，
得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，
故答案为：5．
12．不等式＞2的解集为 （1，4） ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】利用移项，通分，根据分式不等式的解法直接求解即可．
【解答】解：不等式＞2化解可得：﹣2＞0，即＞0等价于（12﹣3x）（x﹣1）＞0，
解得：1＜x＜4
∴不等式＞2的解集为（1，4）．
故答案为：（1，4）．
13．在等式中，x＞0，y＞0，若x+y的最小值为，则m的值为 30 ．
【考点】基本不等式．
【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴x+y===，当且仅当＞0时取等号．
∴，解得m=30．
故答案为30．
14．不等式kx2+2kx﹣3＜0对一切实数x成立，则k的取值范围是 （﹣3，0] ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】不等式kx2+2kx﹣3＜0对一切实数x成立，分k=0与k≠0讨论即可求得答案．
【解答】解：∵kx2+2kx﹣3＜0对任意的实数x恒成立，
∴当k=0时，﹣3＜0对任意实数x都成立；
当k≠0时，，解得：﹣3＜k＜0．
综上所述，﹣3＜k≤0．
故答案为：（﹣3，0]．
二、解答题：本大题共7小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．解不等式：
（1）x2﹣2x﹣3＞0
（2）≤0．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】（1）由x2﹣2x﹣3＞0 可得（x﹣3）（x+1）＞0，可得（x﹣3）＞0且（x+1）＞0或（x﹣3）＜0且（x+1）＜0，可得答案．
（2）根据分式不等式≤0等价于（x﹣2）（x﹣1）≤0且（x﹣1）≠0可得答案．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＞0 可得（x﹣3）（x+1）＞0，可得（x﹣3）＞0且（x+1）＞0或（x﹣3）＜0且（x+1）＜0，
解得：x＞3或x＜﹣1．
故得不等式的解集为：{x|x＞3或x＜﹣1}
（2）（2）≤0等价于（x﹣2）（x﹣1）≤0且（x﹣1）≠0，
解得：1＜x≤2．
故得不等式的解集为：{x|1＜x≤2}．
16．已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2mx+2m2﹣m+1=0有两个实根，命题q：x2+（1﹣4m）x+4m2﹣1＞0 解集为R．若命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】若命题“p∧q”是真命题，则命题p，命题q均为真命题，进而得到实数m的取值范围．
【解答】解：若关于x的一元二次方程x2+2mx+2m2﹣m+1=0有两个实根，
则，
解得：，
若x2+（1﹣4m）x+4m2﹣1＞0 解集为R．
则△=（1﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）＜0，
解得：m＞，
若命题“p∧q”是真命题，
则命题p，命题q均为真命题，
故．
17．已知，（本题不作图不得分）
（1）求z=2x+y的最大值和最小值；
（2）求z=的取值范围．
【考点】简单线性规划．
【分析】由已知首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求各目标函数的最值．
【解答】解：由已知得到平面区域如图：（1）z=2x+y变形为y=﹣2x+z，当此直线经过图中A时使得直线在y轴的截距最小，z最小，经过图中B时在y轴的截距最大，z 最大，A（1，1），B（5，2），所以z=2x+y的最大值为2×5+2=12，最小值为2×1+1=3；
（2）z=的几何意义表示区域内的点与（﹣1，﹣1）连接直线的斜率，所以与B的直线斜率最小，与C连接的直线斜率最大，所以z=的最小值为，最大值为所以z=的取值范围是[]．
18．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm，房屋的总造价为y元．
（Ⅰ）求y用x表示的函数关系式；
（Ⅱ）怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数模型的选择与应用．
【分析】（Ⅰ）设底面的长为xm，宽ym，则y=m．设房屋总造价为f（x），由题意可得f（x）=3x•1200+3××800×2+5800=3600（x+）+5800（x＞0）；
（Ⅱ）利用基本不等式即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）如图所示，设底面的长为xm，宽ym，则y=m．
设房屋总造价为f（x），
由题意可得f（x）=3x•1200+3××800×2+5800=3600（x+）+5800（x＞0）
（Ⅱ）f（x）=3600（x+）+5800≥28800+5800=34600，
当且仅当x=4时取等号．
答：当底面的长宽分别为4m，3m时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元．
19．求y=3x+（x＜0）的最大值，并求y取最大值时相应的x的值．
【考点】基本不等式．
【分析】由x＜0，变形y=3x+=﹣，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＜0，∴y=3x+=﹣≤﹣=﹣4，当且仅当x=﹣时取等号．
20．若x＞2，求的最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】=（x﹣2）+，当x＞2时，x﹣2＞0，由基本不等式，可得其最小值．
【解答】解： =（x﹣2）+，
当x＞2时，x﹣2＞0，
故（x﹣2）+≥2=2，
故当x＞2时，的最小值为2．
21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），F1，F2分别为其左右焦点，
（1）已知P，Q为椭圆C上两动点，直线PQ过点F2（c，0），且不垂直于x轴，△PQF1的周长为8，且椭圆的短轴长为2，求椭圆C的标准方程；
（2）已知A（a，0），B（0，b），B′（0，﹣b），F2（c，0），若直线AB⊥B′F2，求椭圆C的离心率．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由题意可知：椭圆C： +=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨+丨QF1丨+丨QF2丨=4a=8，a=2，由2b=2，b=，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）由=（﹣a，b），=（c，b），AB⊥B′F2，可知： •=0，即可求得b2=ac，因此c2+ac﹣a2=0，即e2+e﹣1=0，根据离心率的取值范围，即可求得椭圆C的离心率．
【解答】解：（1）由椭圆C： +=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，
由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a，丨QF1丨+丨QF2丨=2a，
由△PQF1的周长为8，
∴丨PF1丨+丨PF2丨+丨QF1丨+丨QF2丨=4a=8，
∴a=2，
由2b=2，即b=，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）由A（a，0），B（0，b），B′（0，﹣b），F2（c，0），
∴=（﹣a，b），=（c，b），
由AB⊥B′F2，
∴•=0，即﹣ac+b2=0，
∴b2=ac，
由a2=b2+c2，
∴c2+ac﹣a2=0，等式两边同除以a2，
由e=，0＜e＜1，
∴e2+e﹣1=0，解得：e=，
∴e=，
∴椭圆C的离心率．