2020高中数学 课时分层作业7 椭圆及其标准方程 新人教A版选修2-1 6页

课时分层作业(七)　 椭圆及其标准方程 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)‎ A．(5,0)，(－5,0)　　　　 B．(0,5)，(0，－5)‎ C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)‎ C　[c2＝169－25＝144.c＝12，故选C.]‎ ‎2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　)‎ A．x2＋＝1‎ B.＋y2＝1或x2＋＝1‎ C.＋y2＝1‎ D．以上都不对 A　[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，‎ 则 ‎∴ ‎∴椭圆的方程为x2＋＝1.]‎ ‎3．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　) ‎ ‎【导学号：46342065】‎ A．5　　　　　　 B．4‎ C．3 D．1‎ B　[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝‎2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.]‎ ‎4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 5‎ C．线段 D．直线 B　[|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a>|F1O|，因此点P的轨迹是椭圆．]‎ ‎5．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(3，＋∞)‎ B．(－∞，－2)‎ C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)‎ D．(3，＋∞)∪(－6，－2)‎ D　[由于椭圆的焦点在x轴上，‎ 所以即 解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________. ‎ ‎【导学号：46342066】‎ ＋＝1　[由题意知，解得则b2＝a2－c2＝3，‎ 故椭圆的标准方程为＋＝1.]‎ ‎7．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF‎1F2的面积为9，则b＝________.‎ ‎3　[依题意，有 可得‎4c2＋36＝‎4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.]‎ ‎8．已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．‎ ‎(x＋1)2＋y2＝16　[如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝‎2a(a是常数且a＞0)．‎ 又|PQ|＝|PF2|，‎ ‎∴|PF1|＋|PQ|＝‎2a，‎ 即|QF1|＝‎2a.‎ 由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.‎ ‎∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，‎ 5‎ ‎∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，‎ ‎∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.]‎ 三、解答题 ‎9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．‎ ‎[解]　∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，‎ ‎∴‎2a＝4，a2＝4，‎ ‎∵点是椭圆上的一点，‎ ‎∴＋＝1，‎ ‎∴b2＝3，∴c2＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ 焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．‎ ‎10．已知点A(0，)和圆O1：x2＋(y＋)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O‎1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程. ‎ ‎【导学号：46342067】‎ ‎[解]　因为|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，‎ 所以|PO1|＋|PA|＝4，‎ 又因为|O‎1A|＝2<4，‎ 所以点P的轨迹是以A，O1为焦点的椭圆，所以c＝，a＝2，b＝1.‎ 所以动点P的轨迹方程为x2＋＝1.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．. C. D. C　[设M(x0，y0)，由F1(－，0)，F2(，0)得＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，‎ 5‎ 由·＝0得x＋y＝3，‎ 又＋y＝1，解得y0＝±.‎ 即点M到x轴的距离为，故选C.]‎ ‎2.如图223，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为__________．‎ 图223‎ ＋＝1　[设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，‎ ‎∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.‎ ‎∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，‎ 解得b2＝2，则a＝2b＝2.‎ ‎∴所求椭圆的方程为＋＝1.]‎ ‎3．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________. ‎ ‎【导学号：46342068】‎ k＝　[易知k>0，方程2kx2＋ky2＝1变形为＋＝1，所以－＝16，解得k＝.]‎ ‎4．如图224所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________.‎ 图224‎ 5‎ ‎2　[设正三角形POF2的边长为c，则c2＝，‎ 解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，‎ 连接PF1(略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2‎ 则|PF1|＝＝＝2 所以‎2a＝|PF1|＋|PF2|＝2＋2，即a＝＋1‎ 所以b2＝a2－c2＝(＋1)2－4＝2.]‎ ‎5．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图225所示)，∠F‎1F2B＝，△F‎1F2A的面积是△F‎1F2B面积的2倍．若|AB|＝，求椭圆C的方程．‎ 图225‎ ‎[解]　由题意可得S＝2S，‎ ‎∴|F‎2A|＝2|F2B|，‎ 由椭圆的定义得 ‎|F1B|＋|F2B|‎ ‎＝|F‎1A|＋|F‎2A|＝‎2a，‎ 设|F‎2A|＝2|F2B|＝‎2m，‎ 在△F‎1F2B中，由余弦定理得 ‎(‎2a－m)2＝‎4c2＋m2－2·‎2c·m·cos⇒‎ m＝.‎ 在△F‎1F2A中，同理可得m＝，‎ 所以＝，解得‎2a＝‎3c，‎ 可得m＝，|AB|＝‎3m＝＝，c＝4.‎ 由＝，得a＝6，b2＝20，‎ 5‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ 5‎