2018-2019学年新疆奎屯市第一高级中学高二下学期第一次月考数学（理)试题 解析版 19页

绝密★启用前 新疆奎屯市第一高级中学 2018-2019 学年高二下学期第一次 月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 分析：由题意先解出集合 A,进而得到结果。 详解：由集合 A 得 , 所以 故答案选 C. 点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。 2． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 分析：由复数的乘法运算展开即可。 详解： 故选 D. 点睛：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题。 3．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据余弦函数二倍角公式，代入 可得 的值。 【详解】 { | 1 0}A x x= − ≥ {0,1,2}B = A B = {0} {1} {1,2} {0,1,2} x 1≥ { }A B 1,2∩ = (1 )(2 )i i+ − = 3 i− − 3 i− + 3 i− 3 i+ ( )( ) 21 i 2 i 2 i 2i 3i i+ − = − + − = + 由余弦函数二倍角公式可知 带入可得 所以选 B 【点睛】 本题考查了余弦函数二倍角公式的化简应用，属于基础题。 4．从 1，2，3，4，5 五个数中任取 3 个，可组成不同的等差数列的个数为(　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】 【分析】 先分析等差数列的公差可能为 ，再列举出所有等差数列即可． 【详解】 易知组成的等差数列的公差可能为 ，公差为 的等差数列有 、 、 ；公差为 的等差数列有 、 、 ；公差为 的等差数列有 ； 公差为 的等差数列有 ；一共 个．故选 D． 【点睛】 本题主要考查等差数列，意在考查学生的基本运算能力，属于基础题． 5．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆 有公共焦点．则曲线 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求出 的焦点坐标可得 根据双曲线的一条渐近线方程为 ，可 1, 2± ± 1, 2± ± 1 1,2,3 2,3,4 3,4,5 1− 3,2,1 4,3,2 5,4,3 2 1,3,5 2− 5,3,1 8 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 5 2y x= 2 2 112 3 x y+ = C 2 2 18 10 x y− = 2 2 14 5 x y− = 2 2 15 4 x y− = 2 2 14 3 x y− = 2 2 112 3 x y+ = 3c = ， 5 2y x= 得 ，结合性质 解得 ， ，从而可得结果. 【详解】 椭圆 的焦点坐标 ， 则双曲线的焦点坐标为 ，可得 ， 双曲线 的一条渐近线方程为 ， 可得 ，即 ，可得 ，解得 ， ， 所求的双曲线方程为： ，故选 B． 【点睛】 本题考查椭圆与双曲线的方程，以及简单性质的应用，属于中档题．求解与双曲线性质 有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及 顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线、离心率等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关 系，挖掘出它们之间的内在联系. 6．设函数 f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 C．f(x+π)的一个零点为 x= D．f(x)在( ,π)单调递减 【答案】D 【解析】 f(x)的最小正周期为 2π，易知 A 正确； f ＝cos ＝cos3π＝－1，为 f(x)的最小值，故 B 正确； ∵f(x＋π)＝cos ＝－cos ，∴f ＝－cos ＝－cos ＝0，故 C 正确； 由于 f ＝cos ＝cosπ＝－1，为 f(x)的最小值，故 f(x)在 上不单调， 5 2 b a = 2 2 2c a b− = 2a = 5b = 2 2 112 3 x y+ = ( )3,0± ( )3,0± 3c = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 5 2y x= 5 2 b a = 2 2 2 5 4 c a a − = 3 2 c a = 2a = 5b = 2 2 14 5 x y− = 3 π 8 3 π 6 π 2 π 8π 3      8π π 3 3  +   ππ 3x + +   π 3x +   π π6  +   π π 6 3  +   2 π 2π 3      2π π 3 3  +   ,2 π π     故 D 错误． 故选 D. 7．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆 柱的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据组合体位置关系确定球心位置,解得圆柱底面圆的半径,最后根据体积公式求结果. 【详解】 设圆柱底面圆半径为，则 ， 从而圆柱的体积为 ，选 B. 【点睛】 本题考查组合体位置关系以及圆柱体积公式，考查空间想象能力与基本转化求解能力， 属基础题. 8．设圆心在 x 轴上的圆 C 与直线 ： 相切，且与直线 ： 相交 于两点 M，N，若 ，则圆 C 的半径为　　 A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求出平行线的距离，结合半弦长与半径，列出方程求解即可． 【详解】 圆心在 x 轴上的圆 C 与直线 ： 相切， 且与直线 ： 相交于两点 M，N， 两条直线平行，平行线之间的距离， 就是圆的圆心到直线的距离， ， 若 ， 可得 ． 圆 C 的半径为：1． 故选：C． 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查平行线之间的距离的求法，是基本知识 的考查． 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　 A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【解析】 【分析】 画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】 解：由题意可知几何体的形状如图： ， ， ， ，BCDE 是矩形， ， 所以几何体的体积为： ． 故选：B． 【点睛】 本题考查几何体的体积的求法，三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键． 10．设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（–2，0）且斜率为 的直线与 C 交于 M，N 两点，则 = A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方 程组，消元化简，求得两点 ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦 点坐标，之后应用向量坐标公式，求得 ，最后应用向量数量 积坐标公式求得结果. 【详解】 根据题意，过点（–2，0）且斜率为 的直线方程为 ， 与抛物线方程联立 ，消元整理得： ， 解得 ，又 ， 所以 ， 从而可以求得 ，故选 D. 【点睛】 该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过 程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而 确定出 ，之后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐 标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N 的坐标，应用韦达定理得到结果. 11．在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球．若 ， ，则 的最大值是( ) 2 3 FM FN⋅  (1,2), (4,4)M N (0,2), (3,4)FM FN= =  2 3 2 ( 2)3y x= + 2 2 ( 2)3 4 y x y x  = +  = y y− + =2 6 8 0 (1,2), (4,4)M N (1,0)F (0,2), (3,4)FM FN= =  0 3 2 4 8FM FN⋅ = × + × =  (1,2), (4,4)M N (1,0)F A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 当球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积最大. 【详解】 要使球的体积 最大，必须球的半径 最大．由题意，知当球与直三棱柱的上、下底面 都相切时，球的半径取得最大值，为，此时球的体积为 ，故选 . 【点睛】 本题考查空间几何中的球的内切，要使得球的体积最大，只要球的半径最大即可.而要 使得球的半径最大，则球与三棱柱的三个侧面相切或者与两个底面相切，本题中当球与 三棱柱侧面相切时，球的直径比三棱柱的高大，故只考虑球与三棱柱上下底面相切即可. 12．定义在 R 上的奇函数 满足 ，且当 时，不等式 恒成立， 则函数 的零点的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 由不等式 在 上恒成立，得到函数 在 时是增函数， 再由函数 是定义在 R 上的奇函数得到 为偶函数， 结合 ，作出两个函数 与 的大致图象，即可得 出答案． 【详解】 解：定义在 R 的奇函数 满足： ， 且 ， 又 时， ，即 ， 0'/>，函数 在 时是增函数， 又 ， 是偶函数； 时， 是减函数，结合函数的定义域为 R，且 ， 可得函数 与 的大致图象如图所示， 由图象知，函数 的零点的个数为 3 个． 故选：C． 【点睛】 本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题， 是中档题目． 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．已知向量 ， ， ．若 ，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】 由两向量共线的坐标关系计算即可。 【详解】 由题可得 ,即 故答案为 【点睛】 本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。 14．曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】 求导，利用导数的几何意义计算即可。 【详解】 解： 则 所以 故答案为-3. ( )= 1,2a ( )= 2, 2b − ( )= 1,c λ ( )2c a b  ∥ + λ = 1 2 ( )2 4,2a b+ = ( )/ / 2 ,c a b+   ( )1,c λ= 4λ 2 0∴ − = 1λ 2 = 1 2 ( )1 exy ax= + ( )0 1， 2− a = 3− ( )y 1x xae ax e= + +′ ( )f 0 1 2a= + = −′ 3a = − 【点睛】 本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。 15．函数 在 的零点个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】 求出 的范围，再由函数值为零，得到 的取值可得零点个数。 【详解】 详解： 由题可知 ，或 解得 ,或 故有 3 个零点。 【点睛】 本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。 16．已知双曲线 的左、右焦点分别为点 ，抛物 线 与双曲线在第一象限内相交于点 P，若 ，则双曲线的离心率为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据双曲线与抛物线的图象，结合抛物线定义，表示出P 的坐标，进而求解双曲线的离 心率. 【详解】 抛物线 y2=4cx 与双曲线的右焦点 F2（c，0）相同,如图， ( ) πcos 3 6f x x = +   [ ]0 π， 3 3 6x π+ 3 6x π+ 0 x π ≤ ≤ 1936 6 6x π π π∴ ≤ + ≤ 33 36 2 6 2x x，π π π π+ = + = 53 6 2x π π+ = 4x ,9 9 π π= 7 9 π 已知|PF2|=|F1F2|，由抛物线定义可知，PF2 垂直于 x 轴，故 P（c，2c）， ∵P 在双曲线上，∴ 由 ， 得 ，解得 ∵e＞1， 【点睛】 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的定义和双曲线的方程，根据点满足 双曲线的方程，得到关于 a,b,c 的方程，结合双曲线 a,b,c 的关系，转化为关于离心率的 方程，进而求解. 评卷人 得分 三、解答题 17．在 所对的边分别为 且 ， （1）求角 的大小； （2）若 ， ，求 及 的面积. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 。 【解析】 【分析】 （Ⅰ）已知等式变形后，利用正弦定理化简，根据 sinA 不为 0 求出 cosB 的值，即可确 定出角 B 的大小； （Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把 a，b，cosB 的值代入求出 c 的值，利用三角形面 积公式求出三角形 ABC 面积即可． ABC A B C∆ 中，角 、 、 ,a b c、 、 a b c< < 3sin 2 aA b = B 2a = 7b = c ABC∆ 3B π= 3 3 2ABCS∆ = 【详解】 (Ⅰ ) ， ， 由正弦定理可得 ， 又 ， ， ， ， ， 所以 ，故 . （Ⅱ） ， ，由余弦定理可得： ，即 解得 或 （舍去），故 . 所以 . 【点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活 转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方 向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 18．已知数列 满足 ， 成等比数列， 是公差不为 的等差数列. （1）求数列 的通项公式 （2）求数列 的前 项的和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 (1)由题意构建关于 ， 的方程组，进而得到数列 的通项公式；（2）利用并项 3sin 2 aA b = 3 2 sina b A∴ = 3sin 2sin sinA B A= 0 A π< < sin 0A∴ > 3sin 2B∴ = a b c< < B C∴ < 0 2B π< < 3B π= 2a = 7b = ( )2 2 2 17 2 2 2 2c c= + − × × × 2 2 3 0c c− − = 3c = 1c = − 3c = 1 1 3 3 3sin 2 32 2 2 2ABCS ac B∆ = = × × × = { }na 1 1a = 1 2 4, ,a a a na n     0 { }na ( ){ }1 n na− ⋅ 2n 2nS 2 na n= 2 2 =2nS n n+ 1a d { }na 法求得数列 的前 项的和 . 【详解】 （1）设等差数列 的公差为 ， ， 则 ， 即 ， 又 成等比数列， 整理的： ，又 ; （2）∵ = + + = + = = 【点睛】 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用并项法求数列的和． 19．如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点． （1）证明：平面 平面 ； （2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值． 【答案】（1）见解析 ( ){ }1 n na− ⋅ 2n 2nS na n     ( )0d d ≠ 1 1 1, 11 aa = ∴ = ( )1 1na n dn = + − ( )2 na n n n d∴ = + − ( )2 2 2 2 2 2 2a d d= + − = + ( )2 4 4 4 4 4 12a d d= + − = + 1 2 4, ,a a a ∴ ( ) ( )22 2 1 4 12d d+ = ⋅ + 2d d= 0d ≠ 1d∴ = 2 na n∴ = 2 na n= ∴ 2nS 21− 22 23− 24 ( ) ( )2 22 1 2n n+ − − + 2nS ( ) ( )2 1 2 1− ⋅ + ( ) ( )4 3 4 3− ⋅ + ( ) ( )2 2 1 2 2 1n n n n   + + − − ⋅ + −    3 7 11 4 1n+ + + + − 22n n+ ABCD CD M CD C D AMD ⊥ BMC M ABC− MAB MCD （2） 【解析】 【分析】 （1）先证 平面 CMD,得 ,再证 ，进而完成证明。 （2）先建立空间直角坐标系，然后判断出 的位置，求出平面 和平面 的 法向量，进而求得平面 与平面 所成二面角的正弦值。 【详解】 解：（1）由题设知,平面 CMD⊥平面 ABCD,交线为 CD.因为 BC⊥CD,BC 平面 ABCD,所以 BC⊥平面 CMD,故 BC⊥DM. 因为 M 为 上异于 C，D 的点,且 DC 为直径，所以 DM⊥CM. 又 BC CM=C,所以 DM⊥平面 BMC. 而 DM 平面 AMD,故平面 AMD⊥平面 BMC. （2）以 D 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz. 当三棱锥 M−ABC 体积最大时，M 为 的中点. 由题设得 ， 设 是平面 MAB 的法向量,则 即 可取 . 是平面 MCD 的法向量,因此 ， 2 5 5 BC ⊥ BC CM⊥ CM MD⊥ M MAB MCD MAB MCD ⊂ CD  ⊂ DA CD ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 2,0,0 , 2,2,0 , 0,2,0 , 0,1,1D A B C M ( ) ( ) ( )2,1,1 , 0,2,0 , 2,0,0AM AB DA= − = =   ( ), ,n x y z= 0, 0. n AM n AB  ⋅ =  ⋅ =   2 0, 2 0. x y z y − + + =  = ( )1,0,2n = DA 5cos , 5 n DAn DA n DA ⋅= =   ， 所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 . 【点睛】 本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问 主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将 几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题。 20．已知 ， 两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，且 ，若动点 满足 ． 求出动点 P 的轨迹对应曲线 C 的标准方程； 一条纵截距为 2 的直线 与曲线 C 交于 P，Q 两点，若以 PQ 直径的圆恰过原点， 求出直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程． （2）直线 l1 斜率必存在，且纵截距为 2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出 k 的 值，问题得以解决． 【详解】 (1) 因为 即 所以 所以 又因为 ,所以 即: ,即 2 5sin , 5n DA = 2 5 5 ( )0 ,0A x ( )00,B y 1AB = ( ),P x y 2 3OP OA OB= +   ( )1 ( )2 1l 2 2 14 3 x y+ = 2 3y 23 x= ± + 2 3OP OA OB= +   ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, 2 ,0 3 0, 2 , 3x y x y x y= + = 0 02 , 3x x y y= = 0 0 1 3,2 3x x y y= = 1AB = 2 2 0 0 1x y+ = 221 3 12 3x y    + =        2 2 14 3 x y+ = 所以椭圆的标准方程为 (2) 直线 斜率必存在，且纵截距为 ,设直线为 联立直线 和椭圆方程 得: 由 ,得 设 以 直径的圆恰过原点 所以 , 即 也即 即 将(1)式代入,得 即 解得 ,满足（*）式，所以 所以直线 21．已知函数 ，其中 为常数， 为自然对数的底数． （1）若 在区间 上的最大值为 ，求 的值； （2）当 时，判断方程 是否有实根？若无实根请说明理由，若 有实根请给出根的个数． 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】 2 2 14 3 x y+ = 1l 2 2y kx= + 1l 2 2 2 14 3 y kx x y = + + = ( )2 23 4 16 4 0k x kx+ + + = > 0∆ 2 1 4k > ( )* ( ) ( )1 1 2, 2, ,P x y Q x y PQ OP OQ⊥ • 0OP OQ =  1 2 1 2 0x x y y+ = ( )( )1 2 1 22 2 0x x kx kx+ + + = ( ) ( )2 1 2 1 21 2 4 0k x x k x x+ + + + = ( )2 2 2 4 1 32 4 03 4 3 4 k k k k + − + =+ + ( ) ( )2 2 24 1 32 4 3 4 0k k k+ − + + = 2 4 3k = 2 3 3k = ± 2 3 23y x= ± + ( ) lnf x ax x= + a e ( )f x ( ]0,e 3− a 1a = − ln 1| ( ) | 2 xf x x = + 2a e= − （1）在定义域（0，+∞）内对函数 f（x）求导，对 a 进行分类讨论并判断其单调性， 根据 f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就 可求出相应的最大值． （2）根据（1）可求出|f（x）|的值域，通过求导可求出函数 的值域， 通过比较上述两个函数的值域，就可判断出方程 是否有实数解． 【详解】 （Ⅰ） ， ， ①当 时， ≥0，从而 在 上单调递增，∴ 舍； ②当 时， 在 上递增，在 上递减， ，令 ，得 （Ⅱ）当 时， ， 当 00；当 x>1 时。 <0，∴ 是 在定义域 上唯 一的极（大）值点，则 ∴| |≥1，又令 ， ， ， ∴方程无解． 22．设函数 ，其中 e 为自然对数的底数． 若曲线 在 y 轴上的截距为 ，且在点 处的切线垂直于直线 ，求实数 a， b 的值； 记 的导函数为 ，求 在区间 上的最小值 ． ( ) ln 1 2 xx x ϕ = + ( ) ln 1 2 xf x x = + ( ) 1f x a x ′ = + ( ]0,x e∈ 1 1 ,x e  ∈ +∞  1a e ≥ − ( )f x′ ( )f x ( ]0,e ( ) ( )max 1 0f x f e ae= = + ≥ 1a e < − ( )f x 10, a  −   1 ,ea  −   ( )max 1 11 lnf x f a a    = − = − + −       11 ln 3a  − + − = −   2a e= − 1a = − ( ) lnf x x x= − + ( ) 1 11 xf x x x ′ −= − + = ( )f x′ ( )f x′ 1x = ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( )max 1 1f x f= = − ( )f x ( ) ln 1 2 xx x ϕ = + ( ) 2 1 lnxx x ϕ −′ = ( ) ( ) 1 1 12x e e ϕ ϕ≤ = + < 【答案】（1）实数 a，b 的值分别为 1， ；（2） 【解析】 【分析】 Ⅰ将 ，代入 ，即可求得 b 的值，求导，由 ，即可求得 a 的值； Ⅱ求导， ，分类分别取得 在区间 上的最小值 解析式． 【详解】 解：Ⅰ曲线 在 y 轴上的截距为 ，则过点 ， 代入 ， 则 ，则 ，求导 ， 由 ，即 ，则 ， 实数 a，b 的值分别为 1， ； Ⅱ ， ， ， 当 时， ， ， 恒成立， 即 ， 在 上单调递增， ． 当 时， ， ， 恒成立， 即 ， 在 上单调递减， 当 时， ，得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 【点睛】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程考查发现问题解决 问题的能力．