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- 2021-02-26 发布
2016—2017年度第五次五校联考
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知，若，则等于
A. B.5 C.13 D. 9
2.已知集合，若有三个元素，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则实数的值为
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
4.已知随机变量X满足正态分布，则等于
[附：]
A. B. C. D.
5.已知双曲线的左焦点为F，右顶为A,过F且与轴垂直的直线交双曲线于B,C两点，若为直角三角形，则双曲线的离心率为
A. B. 3 C. D. 2
6.我国古代数学名著《九章算术》有这样的问题“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢，各穿几何？”意思是“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠相向打洞窗墙.大老鼠第一天打洞1 尺，小老鼠第一天也打洞1尺.以后大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍，小老鼠每天穿墙尺数是前一天的，问大、小老鼠几天后相遇？”若将题中条件“墙厚5尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍”分别改为“墙厚10尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的”，问在第几天会出现“大鼠穿墙总尺数是小鼠穿墙总尺数的4倍”情况
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的是
A. ，输出的值为5
B. ，输出的值为5
C. ，输出的值为5
D. ，输出的值为5
8.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为
A. B. C. D.
9.将函数的图象向左平移个单位得到的图象，记函数在区间内的最大值为,最小值为，设函数，若，则函数的最小值为
A. B. C. 1 D.
10.已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
11.已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A,且被直线截得的弦长为，若，则等于
A.1 B. 2 C. 3 D.4
12.已知正项数列的前项和为，当时，且，设，则的最小值为
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中常数项为 .
14.若实数满足不等式组，且的最大值为，则 .
15.已知函数为偶函数，当时，是减函数，则不等式的解集为 .
16.在长方体中，底面是边长为的正方形，是的中点，过作平面与平面交于点，则与平面所成角的正切值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）在中，角的对边分别为，且
（1）求的值；
（2）若角为锐角，，求的面积.
18.（本题满分12分）
如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，平面，是的中点.
（1）求证：平面 ；
（2）求二面角的余弦值.
19.（本题满分12分）
中学阶段是学生身体发育总重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两个班每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时）分别从这两个班中随机抽取了6名同学进一步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数，叶表示个位数）.如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”.
（1）请根据样本数据，估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；
（2）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；
（3）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望.
20.（本题满分12分）已知右焦点为的椭圆过点，且椭圆C关于直线对称的图形过坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作直线与椭圆C交于E,F两点，线段EF的中点为M,点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率的取值范围.
21.（本题满分12分）已知函数
（1）若，求的取值范围；
（2）当时，函数，设是函数的两个根，是的等差中项，求证：（是函数的导函数）.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数且），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
（1）求直线和曲线C的普通方程；
（2）设直线与曲线C相交于A,B两点，证明：.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设实数满足
（1）若，求的取值范围.
（2）若，求证：.