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- 2021-06-17 发布
荆州中学高三第八次周考文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．若复数满足，则
A． B． C． D．
3．已知为锐角，，则
A． B． C． D．
4．设命题：，，命题：，，则下列命题中是真命题的是
A． B． C． D．
5．已知变量，满足则的最大值为
A． B． C． D．
6．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为的大正方形，直角三角形中较小的锐角．若在该大正方形区域内随机地取一点，则该点落在中间小正方形内的概率是
A． B． C． D．
7．△的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则△的面积等于
开始
输入f0(x)
i=0
i = i+1
i >2017?
输出
结束
否
是
A． B． C． D．
8．在如图的程序框图中， 为的导函数，若，则 []
输出的结果是
A． B． C． D．
9．正方体的棱长为，点为的中点，点为
线段上靠近的三等分点，平面交于点，则的
长为
A． B． C． D．
10．将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为
A． B． C． D．
11．在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支上一点，且△为正三角形，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
12．如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥
的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，若，则向量的模为____．
14．已知函数为奇函数，则实数________．
15．已知直线与曲线相切，则实数的值为_______．
16．在直角坐标系中，已知直线与椭圆：相切，且椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则△的面积为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）如图，已知多面体的底面是
边长为的菱形，，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若,求三棱锥的体积．
19. （本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数
并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：
周光照量（单位：小时）
光照控制仪最多可运行台数
3
2
1
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．
附：相关系数公式，参考数据，．
19. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于，两点（，两点在轴上方），点关于轴的对称点为，且，求△的外接圆的方程．
20. （本小题满分12分）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当，时，对任意，有成立，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线
经过伸缩变换后得到曲线．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．[]
（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；
（2）已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值和最小值．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数的值域为，且，求的取值范围.
荆州中学高三第八次周考文科数学
答案及评分参考
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
B
B
A
B
C
D
B
A
C
二．填空题
13．10 14． 15． 16．
三、解答题
17． 解：（1）当时，．……………………………1分
因为， ①
所以． ②……………………………………3分
①－②得．……………………………………………………………………………………4分
所以．……………………………………………………………………………5分
由于也满足上式，故．…………………………………………………………6分
（2）由（1）得=．………………………………………………………………………7分
所以．………………………………………………9分[]
故……………………………………………………10分
………………11分 ．………………12分
18．（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．因为，分别为，的中点，所以，且，因为，且，所以，且．…1分
所以四边形为平行四边形，所以，即．………………………………2分
因为平面，平面，所以．
因为是菱形，所以． 因为，所以平面．……4分
因为，所以平面．………………………………………………………………5分
因为平面，所以平面平面． ………………………………………………6分
（2）解法1：因为，所以△是等边三角形，所以．………………………7分
又因为平面，平面，所以． 所以．…8分
因为面，所以是三棱锥的高．…9分因为，…10分
所以………11分 ．……………12分
解法2：因为底面为菱形，且，所以△为等边三角形．………………7分
取的中点，连，则，且．………………………………………8分
因为平面，所以，又，
所以平面，所以是三棱锥的高．………………………………………9分
因为．…………………………………………………………………………10分
所以三棱锥的体积……11分 ．…12分
19．解：（1）由已知数据可得，．…………………1分
因为 ………………………………………2分
………………………………………………3分
……………………………………………………4分
所以相关系数．………………5分
因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系． …………………………………………6分
（2）记商家周总利润为元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元． …………………………………………8分
当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元． …9分
当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元．…………10分
所以过去50周周总利润的平均值元，
所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． ………………………………………………12分
20． 解：（1）抛物线的准线方程为，所以点到焦点的距离为．………1分
解得． 所以抛物线的方程为．…………………2分
（2）解法1：设直线的方程为．………………………………………………………3分
将代入并整理得，………………………………………………4分
由，解得．……………………………………………………………………5分
设， ， ，则， ，………………6分
因为，………………7分
因为，所以．即，又 ，解得．………8分
所以直线的方程为．设的中点为,
则，，……………………………………………………9分
所以直线的中垂线方程为．
因为的中垂线方程为，所以△的外接圆圆心坐标为．…………………10分
因为圆心到直线的距离为，且，
所以圆的半径．………11分
所以△的外接圆的方程为．…………………………………………………12分
解法2：依题意可设直线．……………………………………………………3分
将直线与抛物线联立整理得．………………………………………4分
由，解得
．………………………………………………………5分
设则．……………6分
所以，因为，……7分
因为，所以．所以，又 ，解得．………………8分
以下同解法1．
21．解：（1）函数的定义域为．
当时，，所以．………………………………1分
① 当时，，所以函数在上单调递增．………………………………2分
② 当时，令，解得，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增．………………………3分
综上所述，当，时，函数在上单调递增；
当，时，函数在上单调递减，在上单调递增．………4分
（2）因为对任意，有成立，所以．……………………………5分
当即时，，．
令，得；令，得．
所以函数在上单调递减，在上单调递增，…………………………………………7分
为与中的较大者．…………………………………………8分
设，则，
所以在上单调递增，故所以，
从而．………………………………………………………………………9分
所以即．
设，则．…………………………………………………10分[]
所以在上单调递增．
又，所以的解为．……………………………………………………11分
因为，所以的取值范围为．………………………………………………………………12分
22．解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
因为，则曲线的参数方程．………………………………………………2分
所以的普通方程为．……………………………………………………………………3分
所以为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分
所以的极坐标方程为，即．…………………………………………………………5分
（2）解法1：直线的普通方程为．…………………………………………………………6分
曲线上的点到直线的距离．…………8分
当即时，取到最小值为．……………9分
当即时，取到最大值为．………10分
解法2：直线的普通方程为．…………………………………………………………6分
因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，…………………………7分
因为，所以圆与直线相离．………………………………………………………………8分
所以圆上的点到直线的距离最大值为，最小值为．…10分
23．解：（1）当时，．…………………………………………………………………1分
①当时，原不等式可化为，解得．…………………………………2分
②当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解．……3分
③当时，原不等式可化为，解得．…………………………………………4分
综上可知，原不等式的解集为或．…………………………………………………5分
（2）解法1：①当时， ………………………………………6分
所以函数的值域，因为，所以解得．………7分
②当时， …………………………………………………8分
所以函数的值域，因为，所以解得
．………9分
综上可知，的取值范围是．………………………………………………………10分
解法2：因为，……………………………………………7分
所以．
所以函数的值域．…………………………………………………………8分
因为，所以解得或．
所以的取值范围是．…………10分
．