数学文卷·2017届山东省师大附中高三第八次模拟考试（2017 9页

山东师大附中 2014 级高三第八次模拟考试 数学（文史类）试题 命题人：文科数学组 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项： 1. 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 第Ⅰ卷（共 50 分） 一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 （其中 是虚数单位），则 的虚部为（ ） A．1 B．﹣1 C． D． 3．设不等式组 所表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知语句 函数 的导函数是常数函数；语句 函数 是一次函数， 则语句 是语句 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．设某几何体的三视图如图所示（尺寸的长度单位为 m），则该 几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 6. 若将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于原点对 称，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于（ ）. A. B. C. D. 8．已知向量 ，若 // ， 则 4x+2y 的最小值为（ ） A. 4 B. C.2 D. 9. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有 一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安 一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日 增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良 马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相 逢？ A．12 日 B．16 日 C．8 日 D．9 日 10.已知双曲线 的左、右焦点 分别为 F1，F2， 为坐标原点， 是双曲线在第一象限上 的点，直线 分别交双曲线 左、右支于另一点 ， ，且 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．第十届中国艺术节在山东济南胜利闭幕，山东省京剧院的京剧《瑞蚨祥》获得“第十四 届文华奖——文华大奖”，评委给她的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余 分数的平均分为 91,现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 表示: 则 7 个剩余分数的方差为 ． 12. 已知点 是边长为 的等边三角形 的中心，则 ． 13．花园小区内有一块三边长分别是 5 m，5 m，6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其 内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均 超过 2 m 的概率是______. 14. 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 ,所以 的所有正约数之和 为 , 参照上述方法, 可求得 的所有正约数之和为 ． 15. 已知 上的连续函数 满足：①当 时 ， 恒成立；②对任意的 都有 .又函数 满足：对任意的 ，都有 成立 ， 当 时， .若关于 的不等式 ，对于 恒成立，则 的取值范围为____________. 三、解答题:本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分 12 分） 设函数 ． （Ⅰ）求函数 的最小正周期，并求出函数 对称中心的坐标； （Ⅱ）求函数 在 时的最大值． 17.（本小题满分 12 分） 某学校高三年级 800 名学生在一次百米 测试中，成绩 全部介于 13 秒与 18 秒之间，抽取其中 50 个 样本，将测试 结果按如下方式分成五组：第一组 ； 第二组 …；第五组 ，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. （Ⅰ）若成绩小于 14 秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中优秀的人数； （Ⅱ）请估计本年级这 800 人中第三组的人数； （Ⅲ）若样本第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各组取一名 学生组成一个实验组，求在被抽取的 2 名学生中恰好为一名男生和一名女生的概率. 18. （本小题满分 12 分） 等差数列 中， ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 . 19. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ， ，点 是 的中点，点 在边 上移动． （Ⅰ）当点 为 的中点时，试判断 与平面 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）证明：无论点 在 边的何处，都有 . 20. （本小题满分 13 分） 已知椭圆 （常数 ）的离心率为 ， 是椭圆 上的两个不 同动点， 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）已知 ，满足 （ 表示直线 的斜率），求 取值的范围. 21．（本小题满分 14 分） 已知函数 ， . （Ⅰ）若函数 在 处的切线与直线 平行，求实数 的值； （Ⅱ）试讨论函数 在区间 上最大值； （Ⅲ）若 时，函数 恰有两个零点 ，求证： . 文科数学八模参考答案 一、选择题 BADBC ADADC 二、填空题 11. 12. 13. 1－π 6 14. 15. 三、解答题:本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） . ………………4分 故 的最小正周期为 ………………6分 令 ，解得 ， 所以函数的对称中心为 ………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,当 时， ………10分 因此 在 上的最大值为 . ……………12分 17.解：（Ⅰ）由题可知成绩小于 14 秒的频率为 0.06， 所以该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为 50 0.06=3(人) ………2 分 （Ⅱ）样本成绩属于第三组的频率为 0.38，故本年级 800 名学生中成绩属于第三组的人数为 800 0.38=304(人) ………4 分 (3) 由题可知第一组中有一女二男，第五组一男三女 设第一组学生为 x，1，2，第五组学生为 a，b，c，3，（用字母表示女生，用数字表示男生）， 则所有抽取结果为：xa，xb，xc，x3，1a，1b，1c，13，2a，2b，2c，23 共 12 种，……7 分 其中仅有 x3，1a，1b，1c，2a，2b，2c 表示一男一女共 7 种。………10 分 所以所求事件的概率为 . ………12 分 18. 解:(Ⅰ)设数列 且 ………2 分 解得 ………4 分 所以数列 ………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 所以所求通项公式为 ………6 分 所以 两式相减得 ………9 分 ………12 分 19. (Ⅰ)解：当点 为 的中点时， 与平面 平行， 在 中，∵ 分别为 的中点，∴ ． ………2 分 又 平面 ，而 平面 ， ∴ 平面 ………4 分 (Ⅱ)证明：∵ 平面 平面 ， ∴ ， ………5 分 又 平面 ， ∴ 平面 ． 又 平面 ，∴ ． ………8 分 又 ，点 是 的中点，∴ ， 又∵ 平面 ， ∴ 平面 ． ………10 分 ∵ 平面 ，∴ ………12 分 20. （Ⅰ）由题意得 ，解得 ； ………2 分 ]∴椭圆 的方程为 . ………4 分 (Ⅱ)解法一：由（1）得： ，故 ①当 的斜率不存在时，不妨设 且 ，得： ，由 在椭圆上得 联立方程解得 得 （为定值）. ………6 分 又 ，得 ， ……9 分 即 解得 ， ……10 分 代入（*）得 ，且 ，故 ， ∴ ……12 分 综上所述， . ……13 分 21. （Ⅰ）由 ， ， 由于函数 在 处的切线与直线 平行， 故 ，解得 . ……4 分 (Ⅱ) ，由 时， ； 时， ，……6 分 所以①当 时， 在 上单调递减， 故 在 上的最大值为 ； ②当 ， 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 在 上的最大值为 ； ……8 分 ……10 分 ∴ ，记函数 ，因 ， ∴ 在 递增，∵ ，∴ ， ……13 分 又 ， ，故 成立. ……14 分