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- 2021-06-17 发布
高三数学 三角函数（Ⅲ）
一、填空题
1、已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量，，,则＝ 。
2、下列四个命题，其中真命题的序号是 。
①； ②；
③； ④．
3、设f(x)=，且f(-2)=3，则f(2)= 。
4、在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上的一点，则＝ 。
5、不等式的解集是 。
6、函数在（0，）内的单调增区间为 。
7、若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是 。
8、若函数存在两个零点，则m的取值范围是 。
9、已知直线与平行，则的值
是 。
10、已知实数满足不等式组 且的最大值等于a,最小值等于b,则a＋b＝ 。
11、已知函数，给定条件：，条件：，若是的充分条件，则实数的取值范围为 。
12、若等比数列的各项均为正数，前项之和为，前项之积为，前项倒数之和为，下列关系成立的是 。(填序号)
①= ②＞ ③ ④＞
13、设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。
14、在等差数列中，≠0，当n≥2时，－＋＝0，若＝46，则k的值为 。
二、解答题
15、
已知在等差数列中，前7项和等于，数列中，点在直线上，项和（）.
（1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列；
（3）设 Tn为数列的前n项的和，求Tn 并证明：.
16、
已知不等式≤0的解集是A，函数的定义域为集合B。
（1）求集合A； （2）若AB求的取值范围。
17、在直角坐标系xoy中，若角的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=x (x≥0)。
(1)求的值；
(2)若点P，Q分别是角始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ面积最大时，点P，Q的坐标。
18、
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且。
（Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若向量m，n，试求|mn|的最小值。
19、
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（
）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件.
（1）求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值.
20、
设函数f（x）＝sinx＋cosx和g（x）＝2sinxcosx．
（1）若a为实数，试求函数F（x）＝f（x）＋ ag（x），x∈[0，]的最小值h（a）；
（2）若存在x0∈[0，]，使 | a f（x）－g（x）－3|≥ 成立，求实数a的取值范围．
以下是答案
一、填空题
1、
2、④
3、5
4、－
5、
6、
7、（a*b）＋c＝（a*c）＋（b*c）
8、
9、5
10、39
11、
12、③
13、
14、12
二、解答题
15、
已知在等差数列中，前7项和等于，数列中，点在直线上，项和（）.
（1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列；
（3）设 Tn为数列的前n项的和，求Tn 并证明：.
解（1）设数列的公差为d，则由题意知：得
∴
（2）∵点在直线上
∴----① ， -----②
①-②得，∴，
又当时， ∴
∴数列是以为首项，为公比的等比数列。
（3）由（2）知，，
∴
-----------③
------④
③—④得，
∴=
==
由③知的最小值是
∴
16、
解：（1）∵，∴，∴
∴．
（2）由题意可知：，∴，∴，
∵AB，∴．
17、
在直角坐标系xoy中，若角的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=x (x≥0).(1)求的值；(2)若点P，Q分别是角始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ面积最大时，点P，Q
的坐标．
．(1)由射线的方程为，可得，
故＝.
(2)设.
在中因为，
即，所以≤4
．当且仅当，即取得等号.
所以面积最大时，点的坐标分别为．
18、
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若向量m，n，试求|mn|的最小值．
解：（Ⅰ），
即，
∴，∴．
∵，∴．
（Ⅱ）mn ，
|mn|．
∵，∴，∴．
从而．
∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．
所以，|mn|．
19、
解：（1）分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：
，.
（2）.
令得或(不合题意，舍去).
∵，∴.
在两侧的值由正变负.
所以（1）当，即时，
.
（2）当即时，
，
所以.
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值(万元)；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值(万元).
20、
设函数f（x）＝sinx＋cosx和g（x）＝2sinxcosx．
（1）若a为实数，试求函数F（x）＝f（x）＋ ag（x），x∈[0，]的最小值h（a）；
（2）若存在x0∈[0，]，使 | a f（x）－g（x）－3|≥ 成立，求实数a的取值范围．
解：（1）F（x）＝sinx＋cosx＋2asinxcosx，
令sinx＋cosx＝t，t∈[1，]，则2sinxcosx＝ t2－1，
F（x）＝m（t）＝at2＋t－a，t∈[1，]．
①当a＜0时，m（t）＝at2＋t－a＝a（t＋）2＋－a是开口向下，对称轴t＝－的抛物线．
若t＝－≥，即1－≤a＜0， 则h（a）＝ m（1）＝1．
若t＝－＜，即a＜ 1－，则h（a）＝ m（）＝ a＋．…4分
②当a＝0时，m（t）＝at2＋t－a是[1，]上的增函数，h（a）＝ m（1）＝1．
③当a＞0时，m（t）＝at2＋t－a＝a（t＋）2＋－a是开口向上，对称轴t＝－＜0的抛物线，故在区间[1，]上是增函数，所以h（a）＝ m（1）＝1．…7分
综上所述，
（2）令sinx＋cosx＝t，t∈[1，]，
| a f（x）－g（x）－3|＝| a（sinx＋cosx）－2sinxcosx－3|
＝| t2－at＋2|≥，t∈[1，]，
∴ t2－at＋2≥，或t2－at＋2≤－．∴ a≤t＋，或a≥t＋．
当t∈[1，]时，t＋∈[，]，t＋∈[，]．
∴ a≤，或a≥．